第一章 1 三角形内角和定理-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第 一章 三角形的证明 〉等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 我们曾经探索过三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于180°、等 腰三角形“三线合一”等。你还记得这些结论的探索过程吗？你能根据已有的 基本事实和定理证明这些结论吗？ 本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明：三角形内角和定理及 其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线 和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊判定方法。在这 一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论 据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 普一个几何命题被提出来的过程对证明它有什么帮助？ 曾在证明一个几何命题时，你是如何获得证明思路的？ 三角形内角和定理 在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其 中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已 经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 尝试·交流 我们知道，三角形三个内角的和等于180°。 你还记得这个结论的探索过程吗？ A (1)如图1-1，如果只把∠A移动到∠1的 位置，那么你能说明这个结论吗？如果不移动 e ∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果？ (2)你能说说这个结论的证明思路吗？请试 图1-1 着写出证明过程，并与同伴进行交流。 已知：如图1-2，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 分析：你学过哪些与180°有关的结论？曾经 的撕角拼图活动对你有什么启发？ 证明：如图1-3，延长BC到D,过点C作 射线CE,使CE∥BA,则 图1-2 这里的CD,CE称 为辅助线，辅助线 通常画成虚线。 B D 图1-3 2 教材笔记数学八年级下册BS ∠1=∠A,∠2=∠B。 利用“两直残平行，内借角相等”和“两 点B,C,D在同一条直线上， 直线平行，同位角相等”，将三角形 的三个内角转化为一个平角 .∠1+∠2+∠ACB=180°。 .∠A+∠B+∠ACB=180°。 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。 与三角形的大小、形状没有关系 思考·交流 ∠PAB+∠BAC+∠OAC=180 (1)如图1-4，在证明三角形内角和定理时，小明 的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线 PQ,使PQ∥BC,他的想法可行吗？如果可行，你能 写出证明过程吗？ )可行。证明过程略。 (2)对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法 B 吗？与同伴进行交流。 图1-4 例1 如图1-5，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线， 求∠ADB的度数。 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。 .∠B=38°，∠C=62°， ∴.∠BAC=180°-38°-62°=80°。 .·AD平分∠BAC, 图1-5 ∠BAD=∠CAD=7∠BMC=7×80=40. 2 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）。 .∠B=38°，∠BAD=40°， ·.∠ADB=180°-38°-40°=102°。 第一章 三角形的证明 3 尝试·思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS) 根据全等三角形的定义，我们可以得到 -)能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 随堂练习 1.如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是 ->400 .-50 它们的交点，求∠ABD,∠COD的度数。 2.已知：如图，在△ABC中，∠A= 60°，∠C=70°，点D,E分别在 边AB和AC上，且DE∥BC。 D 求证：∠ADE=50°。 证明略。提示：根据三角形内角和 B 定理求出∠B的度戴，再利用“两 (第1题) (第2题) 直线平行，同位角相等”可证得结论。 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成 A 89 的角，称为△ABC的外角(exterior angle)。如图1-6， ∠1是△ABC的一个外角。你能在图中画出△ABC的其 他外角吗？ 63 41 y如图1-6所示，∠5，∠6，∠7，∠8，∠9是 . D △ABC的其他外角。 图1-6 教材笔记数学八年级下册BS 思考交流 观察图1-6，∠1与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行 交流。 y∠1+∠4=180°，∠1=∠2+∠3。 由三角形内角和定理，可以得到 推论·三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 由此可得 可用于推断角的大小关系 推论三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 例2 已知：如图1-7，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外 E 角LEAC 求证：AD∥BC。 分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC? 证明：.∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它 图1-7 不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C, 六LC=2∠BAC 还有其他证 法吗？ ,·AD平分∠EAC, ∴LDAC=2∠EAC. ∴.∠DAC=∠C。 .AD∥BC。 例3 已知：如图1-8，P是△ABC内一点，连接 PB,PCo 图1-8 ①像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。 第一章三角形的证明5 求证：∠BPC>∠A。 分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？你遇到 的困难是什么？你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？ 证明：如图1-9，延长BP,交AC于点D。 :∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义)， .∠BPC>∠PDC（三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角)。 :∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义)， B ∴.∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个 图1-9 和它不相邻的内角)。 .∠BPC>∠A。 还有其他证法吗？ 如图，连接AP并延长，交BC于点D。 ∠1是△ABP的外角，.∠1>∠3。 .∠2是△APC的外角，.∠2>∠4， .∴∠1+∠2>∠3+∠4。 .·∠1+∠2=∠BPC,∠3+∠4=∠BAC, ∴.∠BPC>∠BAC 随堂练习 1.如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的 度数。 LDCA=LA+∠B,← 550.80°」 ∠DCA+∠ACB=180° 3 B B (第1题) (第2题) 2.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和 是多少度？ >∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB 360°。 ∠3=∠ABC+∠BAG 三角形的外角和等于360°。 6 教材笔记数学八年级下册BS 习题1.1 >知识技能 340° 80°。←、60°。< 1.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的度数之比为4：3：2，求∠A,∠B和 ∠C的度数。别为4x,3x,2 见比可设参，设∠A,∠B,∠C的度数分 2.如图，在△ABC和△CDA中，AB∥CD,LB=∠D,AB=3,求CD的长。 ∠BAC=∠DCA← y3。 D E B D (第2题)》 (第3题) 3.如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D的直线分别交AC和AB于点E, F。下列哪个结论一定不正确？ -->∠ACD=∠A+∠B (1)∠B>∠ACD; >结论（1)。 (2)∠B+∠ACB=180°-∠A;根据“三角形的一个外角大于任何一个和它不 (3)∠B+∠ACB<180°； 相郁的内角”，可知∠B<∠ACD (4)∠FEC>∠B。 4.已知：如图，D是△ABC的边BC上的一，点，∠DAC=∠B。 求证：∠ADC=∠BAC ∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）， .·∠ADC=∠B+∠BAD(三角形的一个外角等于和它不 相外的两个内角的和)。 ,∠DAC=∠B, (第4题) ∴.∠ADC=∠DAC+∠BAD=∠BAC。 >数学理解 5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。 )证明略。提示：要证明∠A=∠DCB,可利用“直角三角形 求证：LA=∠DCB。的两个锐角互余”和“同角的余角相等”进行证明。 ∠A+∠B=90° ∠DCB+∠B=90° D (第5题) 第一章三角形的证明 > 证明略。提示：可利用平行线的 >∠A+∠C=180° {》性质和三角形内角和定理进行证明。 6.已知：如图，AB∥CD,点E在AC上。求证：∠A=LCED+∠D。 7.如图，在△ABC中，BF平分LABC,CF平分LACB,∠A=65°，求∠F的 度数。 ∠FBC=2ABC LLFCB=∠ACB 122.5°0 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=115 A B E B (第6题) (第7题) >问题解决 8.如图，AD,AE分别是△ABC的角平分线和高。)10° (1)已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。你还能求出哪些角的度数？ (2)∠DAE与∠B,∠C有怎样的关系？为什么？ 如∠DAC=40°，∠CAE=30°， 当LC>∠B时，∠DAE=(∠C-∠B), ∠ADC=80°等。 理由略。 B DE (第8题) >联系拓广 9.已知：如图，，点D在∠BAC内部。求证： B (1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠B+∠C+∠A。 9.证明略。提示：可延长BD交AC于点E,利用“三角形的一 E 个外角大于任何一个和它不相邻的内角”和“三角形的一个外 (第9题)》 角等于和它不相外的两个内角的和”进行证明。 ※10.在上题中，如果点D在线段BC的另一侧，又会有怎样的结论？ 略。上 8 教材笔记数学八年级下册BS