第四章 3 公式法-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

公式法 观察多项式x2-25,9x2-y2,它们有什么共同特征？尝试将它们分别写成 两个因式的乘积，并与同伴进行交流。 )平方差公式 事实上，把乘法公式（a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到 两个数的平方差，等于这两个戴的和与这两个戴的差的积 a2-b2=(a+b)(a-b)。 注：公式中的a,b可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式。 例1 把下列各式因式分解： (1）25-16x2; (2)9如-4。 解：（1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x); (2)902-46=(3a)2-(36)产=(3a+26)(3a-76。 4 例2 把下列各式因式分解： (1)2x3-8x; (2)9(m+n)2-(m-n)2。 解：（1)2x3-8x=2x(x2-4) 当多项式的各项含有公因式 =2x(x2-22) 时，通常先提出这个公因式， =2x(x+2)(x-2); 然后再进一步因式分解。 (2)9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =（4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n）(m+2n)o 112教材笔记数学八年级下册BS 操作·思考 如图4-2，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪 去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6, b=0.8时，剩余部分的面积是多少？ >10.4cm2. (a+2b)(a-2b)cm2。 b 图4-2 随堂练习 1.判断下列等式是否一定成立： (1)x2+y=(x+y)(x+y);(×) (2)x2-y2=(x+y)(x-y);（V 2.(1)(ab+m)(ab-m)。 (3)-x2+y2=(-x+y）(-x-y);(×）(2)(m-a+n+b)(m-a-n-b)。 （4)-产-(x+y)(x-yh（×）85ebe0 (4)(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)。 2.把下列各式因式分解： (1）a2b-m2; (2)(m-a)2(n+b)2; (3)x2-(a+b-c)2; (4)-16x4+81y。 分别把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反过来， 就得到 》完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2。 两个裁的平方和加上（或减去）这两个数的乘 例3 把下列各式因式分解： 积的2倍，等于这两个裁的和（或差）的平方 （1）x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m+n)+9。 解：（1)x2+14x+49=x2+2×7x+7=(x+7)2; (2)(m+n)2-6(m+n)+9 =(m+n)2-2×3(m+n)+32 =[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2。 第四章 因式分解 113 例4 把下列各式因式分解： (1)3ax2+6axy +3ay; (2)-x2-4y2+4xy。 解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y）2 (2)-x2-4y2+4y=-(x2+4y2-4xy） =-（x2-4xy+4y2） =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2。 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因 式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。 用公式法因式分解的一般步骤如下： (1)一提：看有无公因式，若有，则先提公因式。（2)二套： 考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑逆用平方差公式，三项 考虑逆用完全平方公式。（3)三查：检查是否分解彻底，若没有， 回顾·反思 则继续分解。 (1)回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ (2)在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明。 随堂练习 1.下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ （1)2-*子 (2)9a2b-3ab+1;1.(1)(3)可以。 (3)⊥m2+3mn+9n2; (4)x6-10x3-25。 4 (3)(2m+3n)。 2.把下列各式因式分解： (1)x2-12y+36y2; (2）16a4+24a2b2+9b; 2.（1)(x-6y)2。 (2)(4a2+362)2。 (3)-2xy-x2-y2; (4)4-12(x-y)+9(x-y)2。 (3)-(x+y)2。 (4）(2-3x+3y)2。 114 教材笔记数学八年级下册BS 阅读·思考 智慧数 如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为 “智慧数”。例如，16=52-32,16就是一个智慧数。如果将智慧数从小 到大进行排列，那么第1000个智慧数是哪个数？ 下面是小颖的思考过程。 设p是一个智慧数，则p能表示成两个正整数m,n的平方差，即p= m2-n2=(m+n)(m-n),其中，m,n是正整数，且m>n。她知道， m+n与m-n有相同的奇偶性，所以p只能是奇数或4的倍数。 （1)当p为奇数时，设p=2k+1(k为自然数)，怎样把它表示成两 个正整数的平方差呢？经过尝试，她发现：1不是智慧数，3=4-1=22- 12,5=9-4=32-2,7=16-9=42-32,…于是，她猜想，除1以外 的奇数都是智慧数，且2k+1=(k+1)2-k2,k为正整数。事实上 (k+1)2-2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1。 所以小颖的猜想是正确的。 (2)当p为4的倍数时，… 你认为当p为4的倍数时，它一定是智慧数吗？请你说明理由，并找 到第1000个智慧数。 >不一定。 1336。 习题4.3 >知识技能 1.把下列各式因式分解： 把7(a-b)和4(a+b)分别看成一个整体 (1)36-x2; (2)0.25g2-121p2; 1.(1)(6+x)(6-x)。 (2)(0.5g+11p)(0.5q-11p)。 (3)169x2-4y2; (4)49(a-b)2-16(a+b)2; (3)(13x+2y)(13x-2y)。(4)(11a-3b)(3a-11b)。 (5）3ax2-3ay; (6)p-1。 (5)3a(x+y2)(x-y2)。 (6)(p2+1)(p+1)(p-1)。 第四章 因式分解 115 2.把下列各式因式分解： (1)9-12t+42;2.(1)(3-2t)2。 (2)y2+y+4 1 (4)(x+y+3)2。 (3)25m2-80m+64;(3)(5m-8)2。 (4)(x+y)2+6(x+y)+9; (5)a2-2a(b+c)+(b+c)2; (6)-a+2a2-a3。 (5)(a-b-c)2。 (6)-a(1-a)2。 >数学理解 3.已知多项式x+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，请你找出一个满 足条件的单项式。3.如2x或-2x等。 >问题解决 4.如图，大、小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rcm和 rcm,求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45,r=3.45呢（T 取3.14)？4.T(R+T)(R-r)cm2.186.83cm2。 (第4题) 5.观察下列各等式，你发现了什么规律？请用代数式表示，并说明其正确性。 22-42=-4×3, 5.n2-(n+2)2=-4(n+1),n为大于或等于2的 32-52=-4×4, 整裁。说明略。 42-62=-4×5, 52-7=-4×6,6.设两个连续奇装为2n-1和2n+1(n为整数)，则(2n+1尸- (2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n。 e 因为n为整数，所以8n是8的倍数整数。结论得证。 6.证明：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数。 7.今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问：为田几何？（选 自《九章算术》) 题目大意：如图，有一块圆环形田，内圆周长92步， 径 外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面 积是多少？ 中周 外周 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半 径的差的积，即圆环形田的面积。请说明这种算法的道理。 略。 (第7题)》 116教材笔记数学八年级下册BS