第四章 2 提公因式法-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

提公因式法 >b。 >尤8 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+ b-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴进行交流。 >b。 b(a+c),x(3x+1),b(mb+n-1)o 多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b。我们把多项式各项都含有的相 )公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式 同因式，叫作这个多项式各项的公因式（common factor)。如b就是多项式ab+ bc各项的公因式。 确定公因式的一般步骤如下： (1)定“系数”，当各项系数是整数时，取各项系数的最大公因 裁为公因式的系数。（2)定“字母”，取各项的相同字母（或多 尝试·交流 项式)。(3)定“字母的次戴”，公因式中字母的次数是各项相同 字母（或多项式）的最低次数。 （1)多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？-)2，x,x2,2x或2x2。 (2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴进行交流。 2x2+6x3=2(x2+3x3)或2x2+6x3=x(2x+6x2)或2x2+6x3=2x(x+3x2)或 2x2+6x3=x2(2+6x)或2x2+6x3=2x2(1+3x）。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作 提公因式法。-.->字母表示为pa+pb+pc=p(a+b+c) 用提公因式法因式分解的一般步骤如下：(1)确定公因式。(2)提取公因式。 (3)确定另一个因式：用原多项式除以公因式，所得的商就是提取公因式 后剩下的另一个因式。(4)将多项式写成这两个因式乘积的形式。 例1把下列各式因式分解： (1)2mn+4m2; (2)7p2-21p; (3)8ab2-12ab'c+ab (4)-24x3+12x2-28x。 解：（1）2mn+4m2=2m·n+2m·2m=2m(n+2m); (2)7p2-21p=7p·p-7p·3=7p(p-3); (3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1 =ab(8a2b-12b2c+1); 108 教材笔记数学八年级下册BS (4)-24x3+12x2-28x =-(24x3-12x2+28x) 当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“-”号，使括号内第 =-（4x·6x2-4x·3x+4x·7) 一项的系数成为正数。在提出“-” =-4x(6x2-3x+7)。 号时，多项式的各项都要变号。 思考·交流 注意：提完公因式后，除公因式外的因式的项数与原 多项式的项数相同，由此可以检验是否漏项。 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？与同伴进行交流。 随堂练习 1.(1)m（a+b)o 1.把下列各式因式分解： (2)5y2(y+4)。 (1)ma+mb (2)5y3+20y; (3)3x(2-3y)。 (4)ab(a-5)。 (3)6x-9xy; (4)a2b-5ab; (5)2m2（2m-3)。 (5)4m3-6m2; (6)a2b-5ab+9b; (6)b(a2-5a+9)。 (7）-a2+ab-ac; (8)-2x3+4x2-6x (7)-a(a-b+c)。 (8)-2x(x2-2x+3)。 例2 把下列各式因式分解： (1)a(x-3)+2b(x-3); (2)y(x+1)+y2(x+1)2。 解：(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b); (2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1) 例3 把下列各式因式分解： (1)a(x-y)+b(y-x); (2)6(m-n)3-12(n-m)2。 解：(1)a(x-y）+b(y-x)=a(x-y）-b(x-y）=(x-y)(a-b); (2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2)。 确定公因式时，注意以下结论：(a-b)2=(b-a2,(a-b+1=-(b-a+1。(n 为正整数) 第四章因式分解 109 思考交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 尝试·思考 如图4-1，有三张不同型号的长方形卡片。 能，选①②。 (1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ (2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ 能。 (3)依据（1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？ 你是怎样想的？na+nb=n(a+b);na+nb+m(a+b)=(m+n)(a+b) L 几 -a+6- ① ② ③ 图4-1 随堂练习 1.把下列各式因式分解： 1.(1)(x+y)(a+b)。(2)(3a-1)(x-y)。 (1)x(a+b)+y(a+b); (2)3a(x-y)-(x-y); (3)6(p+q)2-12(q+p);(4)a(m-2)+b(2-m); (3)6(p+g)(p+g-2)。 (4)(a-b)(m-2)。 (5)2(y-x)2+3(x-y); (6)mn(m-n)-m(n-m)2。 (5)(x-y)(2x-2y+3) (6)m(m-n)(2n-m）。 习题4.2 >知识技能 1.(1)ay(ax-y）。(2)3x(x2-x+3)。 1.把下列各式因式分解： (3)-4y(6x2+3xy+7y2)。(4)-2ab(2a232-3a+1)。 （1）a2x2y-axy2; (2)3x3-3x2+9x; (3)-24x23y-12y2-28y; (4）-4a3b3+6a2b-2ab; 110 教材笔记数学八年级下册BS (5）-2x2-12xy2+8xy; (6）-3ma3+6ma2-12ma。 (5）-2x(x+6y2-4y3）。(6)-3ma(a2-2a+4)。 2.（1)利用因式分解进行计算： mR+mR+mR,其中R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14; 2.（1)原式=m(R+R2+R)=2512。 《2)求g=z的值，其中x=178,y=28.8,a= (2)原式=z(x-y)=-7。. (3)已知ab=7,a+b=6,求多项式a2b+ab2的值。 (3)原式=ab(a+b)=7×6=42。 3.把下列各式因式分解： (1)7(a-1)+x(a-1）; (2)3(a-b)2+6(b-a); (3)2(m-n)2-m(m-n); (4)x(x-y)2-y(y-x)2; 3.(1)(a-1)(x+7)。 (5)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b); (2)3(a-b)(a-b-2)。 (3)(m-n)(m-2n)o (6)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2。 (4)(x-y)3。 (5)-(2a+b)(a+3b)a 4.先因式分解，再计算求值： (6)-2xy(x+y)。 (1)4x(m-2)-3x(m-2)2,其中x=1.5,m=6; (2)(a-2)2-6(2-a),其中a=-2。 4.（1)x(m-2)(10-3m),-48。 (2)(a-2)(a+4),-8。 >数学理解 5.下列因式分解是否正确？为什么？ 5.（1)不正确。因为提取的公因式2m 不对。 (1)2n2-nm-n=2n(n-m-1）; (2)不正确。因为提取公因式-b后， (2)-ab2+2ab-3b=-b(ab-2a-3);第三项汝有变号。 (3)正确。 (3)x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2; (4)不正确。因为最后结果不是乘积 (4)a2-a-2=a(a-1)-2。 的形式。 >问题解决 6.某大学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b)2m2,第二块草坪的面积 为a(a+b)m2,第三块草坪的面积为b(a+b)m2,求这三块草坪的总面积。 7写一个可以进行因式分解的多项式，并用图形解释。 6.2(a+b)2m2。 7.略。 第四章 因式分解 111