第四章 1 因式分解-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第四 章 因式分解 你能把99-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成 几个整式乘积的形式吗？ 因式分解 我们已经学习过整式的乘法运算。本章将学习如何把一个多项式化为几个 整式乘积的形式。你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决 相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力。 整式乘法 图 因式分解 3x3-3x=? 993-99=？ ma+mb-m=？ a3-a=? m2-16=? y2-6y+9=？ 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 。将一个数或式子写成乘积的形式，在解决什么问题时更方便？ 曾将一个代数式进行恒等变形，你有哪些方法和依据？ 整式乘法。 提公因式法、公式法。 因式分解 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流。 小明是这样做的： 993-99 =99×992-99×1 993-99还能被哪些正 =99×(992-1) 整数整除？ =99×9800 =98×99×100。 98,99 所以，993-99能被100整除。 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数乘积的形式。 尝试·交流 你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？与同伴进行交流。 a3-a=a(a+1)(a-1)。 观察·思考 观察下面拼图过程，写出相应的代数式。等号两边的代数式有什么不同？ (1) -a b a+6+c- am bm cm m(a+b+c)】 1 1 1 x2+x+x+1或x2+2x+1 (x+1)(x+1)或(x+1)2 第四章因式分解 105 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解 (factorization)。例如，a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式。 因式分解的要求： (1)结果一定是积的形式，分解对象是多项式。 操作思考 （2)结果中的每个因式必须是整式，且每个因式的次数都 必须低于原多项式的次数。 1.计算下列各式： (3)因式分解必须分解到不能再分解为止。 (1)3x(x-1)= 3x2-3x (2)m(a+b-1)= ma+mb-m (3)(m+4)(m-4)=m2-16 (4)(y-3)2=Y-6y+9 2.根据上面的算式进行因式分解： (1)3x2-3x=(3x)(x-1); (2)ma+mb-m=(m)(a+b-1); (3)m2-16=(m+4)(m-4); (4)y2-6y+9=(y-3)(y-3)。 3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。 因式分解 3.因式分解与整式乘法互为逆变形。例如：a2-b2 (a+b)（a-b)。 随堂练习 整式乘法 1.连一连： x2-y2 (x+3)2 2.从左到右的变形，（1)不是 9-25x2 因式分解，是整式乘法。（2) y(x=y) 是因式分解。（3)不是因式分解， x2+6x+9 (3-5x)(3+5x) 因为最后结果不是几个整式乘 xy-y2 (x+y)(x-y) 积的形式。(4)是因式分解。 2.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ (1)(a+3)(a-3)=a2-9; (2)m2-4=(m+2)(m-2); (3)a2-b+1=(a+b)(a-b)+1; (4)2mR+2mr=2m(R+r)o 106 教材笔记数学八年级下册BS 习题4.1 >数学理解 1.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)a(x+y）=ax+ay; 1.（2)（3)是因式分解。 (2）10x2-5x=5x（2x-1); (3)y2-4y+4=(y-2)2; (4)t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t。 2.250. 2.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中R1=24.2,R2=36.4,R3=39.4,I=2.5。 3.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。 3.图路。x2+3x+2=（x+1)(x+2)。 ←1 ←1 ① ② ③ ④ (第3题) >问题解决 4.(1)19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？ (2)16,9×日+151×日能被4整除吗？ P 4.（1）能。能。因为1999+1999=1999×(1999+1)=1999×2000，所以19992+ 1999能被1999整除，能被2000整除。 11 (2)能。因为16.9×8+15.1×8=8×(16.9+15.1)=4，所以16.9×8+ 151×日能被4整徐。 第四章 因式分解 107