第三章 2 图形的旋转-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

图形的旋转 图3-11反映的是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什 么共同特点？你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流。 @ 图3-11 〉顺时针方向或逆时针方向 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形 运动称为旋转(rotation)，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋 转不改变图形的形状和大小。 )旋转中心可以是平面内的任意一个 定点，可以在图形外、图形上或图 旋转有三个要素：（1)旋转中心。 形内 (2)旋转方向。（3)旋转角。 如图3-12，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角 度，得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E, F。点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一 组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角。在这一旋 转过程中，点O是旋转中心，∠AOD,∠BOE,∠COF 都是旋转角。 图3-12 操作·思考 如图3-13，两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸 上选取旋转中心0，并将其固定。把其中一张纸片绕点0旋转一定角度（如图 3-14)。 84 教材笔记数学八年级下册BS % 0 D(H) A(E) B(F) C(G) 图3-13 图3-14 (1)观察图3-14中的两个四边形，你能发现哪些相等的线段和相等的角？ (2)连接AO,B0,CO,DO,E0,FO,G0,HO,你又能发现哪些 相等的线段和相等的角？ (3)在图3-14中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段， 你又能发现什么？ 改变透明纸上所画图形的形状，再试一试。 也可以用数学软 件进行探索。 →旋转前后的两个图形全等 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等， 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等， 对应角相等。 注意：(1)旋转中心是两对对应点所连线段垂直平分线的交点。 (2)旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角（旋转角还等于旋转图形对应线段 所连直线夹的其中一角)。 观察·思考 在图3-15（(1)~（4)的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋 转得到？ >图（2)。 (1) (2) (3) (4) 图3-15 第三章图形的平移与旋转 85 随堂练习 1.如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合。 （1)指出这一旋转的旋转中心和旋转角； 1.（1)旋转中心是点A,旋转角是∠BAD或∠CAE或∠DAF。 (2)写出图中相等的线段和相等的角。 不能判定BC=CD （第1题) （第2题) (2)相等的线段：AB=AD,AC=AE,AD=AF,BC=DE,CD=EF。 相等的角：∠BAD=∠CAE=∠DAF,∠ABC=∠ADE,∠BCD=∠DEF, ∠CDA=∠EFA,∠BCA=∠DEA,∠ACD=∠AEF。 2.如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合吗？为什么？ 2.不能。因为旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，而图中OA与OC不 相等，OB与OD也不相等。 我们已经学习了平面内图形旋转的概念和性质，怎样才能画出一个图形按 一定条件旋转后的图形呢？ 旋转中心的位置不同，旋转后图形的位置也不同。画旋转后的图形的 一般步骤：一我，二连，三转，四载，五画，六写。 例1 在图3-16中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。 B B 图3-16 图3-17 解：（1)如图3-17，以AB为一边按顺时针方向画LBAX,使得∠BAX=60°。 （2)在射线AX上取点C,使AC=AB。 旋转角 86教材笔记数学八年级下册BS 线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。 操作·交流 如图3-18，△ABC绕点0按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D。 (1)指出这一旋转的旋转角。 ->∠AOD。 (2)画出旋转后的三角形。如图3-18。 (3)与同伴交流你的画法，你们的画法都一样吗？还有其他画法吗？ 0 图3-18 轴对称、平移和旋转，都只玫变图形的位置，不玫变图形的形状和 思考·交流 大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件？你的依据是什么？与同伴进 行交流。 尝试·思考 甲 观察图3-19，甲图案进行怎样的运动变化， 可 以与乙图案重合？写出你的操作过程。 A 随堂练习 图3-19 7旋转方向 1.在图中画出线段AB绕，点0按顺时针方向旋转50°后的线段。1如图所示。 旋转中心 旋转角 B' B (第1题) 第三章图形的平移与旋转87 2.将如图所示的五边形绕，点0按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。 2.如图所示 (第2题) 观察图3-20，图（1)经过怎样的运动变化就可以与图（2)重合？观察图 3-21,再试一试。你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流。 (2) (1) 图3-20 图3-21 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这个点对称或成中心对称(central symmetry),这个点叫作 它们的对称中心(centre of symmetry)。如图3-22，△ABC与△A'B'C'成中 心对称，点O是它们的对称中心。 中心对称只有一个对 →旋转角是180 称中心，这个对称中 心可能在两个图形的 外部、内部或图形 上，但对应点一定在 对称中心的两侧或与 0 对称中心重合 对称中心 图3-22 88 教材笔记数学八年级下册BS 尝试·思考 （1)自己画一个图形，选取一个旋转中心， 把所画的图形绕旋转中心旋转180°。 也可以利用数学软 件进行操作，请你 (2)连接旋转前后一组对应点，你发现了 试一试。 什么？再选几组对应点试一试。 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中 心平分。 例2 如图3-23，点0是线段AE的中点， 以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成 B 中心对称的图形。 )绕对称中心旋转180° 0 解：如图3-24，连接B0并延长至B'，使 图3-23 得OB'=OB; 连接C0并延长至C',使OC=0C; B 连接DO并延长至D',使OD'=OD; 顺次连接E,B',C,D',A。 图形EB'CD'A就是以点O为对称中心、 与五边形ABCDE成中心对称的图形。 图3-24 画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤： 连线并延长，裁线段，顺次连接。 观察·交流 观察图3-25，这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？ 与同伴进行交流。 图3-25 第三章图形的平移与旋转 89 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合， 那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 一)指一个图形 如果把成中心对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个中心 对称图形；如果用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成 观察·思考 两个图形，那么这两个图形就成中心对称。 (1）观察你所学过的平面图形，哪些图形是中心对称图形？平行四边形，圆等。 (2)在上面例2中，图形ABCDEB'C'D是中心对称图形吗？ 〉是。 随堂练习 1.下面哪些图形是中心对称图形？ 1.(1)(2)(3)。 X中④】 (2) (3) (第1题)》 2.下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？ 9 学 8 （第2题) →是中心对称图形。 90 教材笔记数学八年级下册BS 中心对称是“旋转180°后 阅读·思考 重合”，而旋转对称是“旋 )转一定角度（小于360°） 后重合”，因此，旋转对 旋转对称图形 称比中心对称更具一般性 观察图3-26中的等边三角形，点0是它的角平分线的交点，将这个 三角形绕着点0旋转120°，可以发现，旋转后的图形与旋转前的图形重合。 类似地，观察图3-27中的正六边形，点0是它的内角平分线的交点， 将这个正六边形绕着点0旋转60°，旋转后的图形也与旋转前的图形重合。 图3-26 图3-27 一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360°)后， 能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形，这个点叫作它的 对称中心。 等边三角形和正六边形都是旋转对称图形，图3-28所示的图形也都 是旋转对称图形。 ★ (2 (3) 正八边形，可回收垃 图3-28 圾标志等。 想一想，在你所学过的几何图形中，哪些图形是旋转对称图形？ 你能设计一个旋转对称图形吗（要求它不是中心对称图形)？请你 试一试。 第三章图形的平移与旋转 91 习题3.2 >知识技能 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，，点D在斜 边AB上。如果△ABC经过旋转后与△EBD重合，那么这 一旋转的旋转中心是哪个点？旋转角是多少度？)全等 1.旋转中心是点B;旋转角是40°。 2.如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点D。 (第1题) (1)指出这一旋转的旋转角：2.（)连接CD,凌转角为LACD, 对应点《 (2)画出旋转后的三角形。（2)如图所示。 B B C (第2题) (第3题) 3.如图，△ABC为等边三角形，点O是△ABC角平分线的交，点。将△ABC绕，点 0按逆时针方向旋转，分别画出旋转30°，60°，90°后的图形。 3.图略。 4。如图，图案（1)进行怎样的运动变化，可以与图案（2)重合？写出你的操 作过程。 4.可以先将图案(1)绕点A 按顺时针方向旋转90°，然 后再沿射线AB方向将所得 图案平移到B处，即可与图 案(2)重合。 (1) (2) (第4题) 92 教材笔记数学八年级下册BS 5.在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？ 5.H,I,N,0,S,X,Z。 ABCDEFG HIJKLMN 0 OPQRSTU VWXYZ (第5题) (第6题) 6.以线段AB的中点O为对称中心，画出与如图所示图形成中心对称的图形。 6.图略。 >数学理解 7.在吊扇运转过程中，相同时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 7.不一样，在相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个 角度反映了平移与旋转的差异。 8.举出现实生活中旋转的一些实例。8.略。 9.如图所示的四个四边形形状、大小完全相同。图（2)~（4)中，哪个图形 可以由图（1)经过平移或旋转得到？9.图(3)(4)。 (1) (2) (3) (4) (第9题) (第10题) 10.敦煌莫高窟中有如图所示的三兔造型。图中的一只“免子”经过旋转能够 与相邻的“免子”重合，请指出旋转中心，并写出旋转的方向和角度。 10.略。 11.有的图形是轴对称图形但不是中心对称图形，有的图形既是轴对称图形又 是中心对称图形。请分别举例说明。 11.答案不难一，如等腰三角形、边数为奇数的正多边形等都是轴对称图形但不是 中心对称图形；而线段、边数为偶数的正多边形等既是轴对称图形又是中心对称 图形。 第三章图形的平移与旋转93