第三章 1 图形的平移-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第三章 图形的平移与旋转 》生活中的平移、旋转运动 旋转的摩天轮、荡起的秋千、开动的火车、上下的电梯、转动的风扇… 这些现象中蕴含着怎样的运动和变化形式？ 我们已经学习过图形的轴对称。除了轴对称，平面内的图形运动还有其他 不同的形式。本章将进一步学习图形的平移和旋转，探究它们的性质和应用， 以及图形变化与坐标变化之间的关系，建立形与数的联系，构建数学问题的直 观模型。在学习过程中，你除了要关注图形运动的过程，更要关注在图形运动 变化过程中不变的量，想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系，感 知并描述图形的运动和变化规律，发展空间观念等。 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 。借助平移或旋转研究图形，对认识图形特征有哪些帮助？ 在平面图形的平移、旋转和轴对称过程中，有哪些量是不变的？为 什么要关注这些不变量？ 图形的平移 图3-1反映的是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什么 共同特点？你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流。 图3-1 图形平移的方向不限于水平或竖 直方向，但必须是直线方向 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移(translation)。平移不改变图形的形状和大小。 >有两个要素：(1)平移的方向。(2)平移的距离 如图3-2，△ABC经过平移得到△DEF,点A,B, C分别平移到了点D,E,F。点A与点D是一组对应点， 线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF 是一组对应角。 图3-2 你还能从图3-2中找出其他的对应点、对应线段和 对应角吗？平移前后两个图形中能 平移前后两个图形中能 够互相重合的点称为对 够互相重合的线段称为 应点 对应线段 平移前后两个图形中能够互相重 操作·思考 合的角称为对应角 将图3-3所示的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离。 图3-4画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH。 (1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样 图3-3 的关系？ (1)对应线段平行（或在一条直线上）且相等。 74 教材笔记数学八年级下册BS 也可以用数学软 D 件进行探索。 图3-4 （2)对应 (2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？角相等。 (3)线段AE,BF,CG,DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎 样的关系？ （3)对应点所连的线段平行（或在一条直线上)且相等。 改变硬纸片的形状，再试一试。 -)注意对应关系，必须对应准确 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一 条直线上)且相等；对应线段平行（或在一条直线上)且相等，对应角相等。 例1 如图3-5，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D。 （1)指出平移的方向和平移的距离； 指明了△ABC平移的方向和平 (2)画出平移后的三角形。 移的距离 解：(1)如图3-6，连接AD,平移的 方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段 AD的长度。 (2)如图3-6，分别过点B,C按射线 B AD的方向作线段BE,CF,使它们与线段AD C 平行且相等，连接DE,DF,EF,△DEF就 图3-5 是△ABC平移后的图形。 平行且相等的线段有：AB与DE,BC与EF, AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF; D 相等的角有：∠BAC与LEDF,∠ABC与 ∠DEF,∠ACB与∠DFE等。 请在图中找出平行且 E 相等的线段，以及相 等的角。 图3-6 第三章图形的平移与旋转 75 对于例1，你还有画△DEF的其他方法吗？✉ 过点D按射线AB的方向作线段DE平行且等于AB,过点D按射线 思考·交流 AC的方向作线段DF平行且等于AC,连接EF,△DEF就是△ABC 平移后的图形。 确定一个图形平移后的位置，需要哪些条件？与同伴进行交流。 )除需要图形原来的位置外，还需要平移的方向和平移的距离。 随堂练习 1.如图，点A,B,C,D,E,F都在方格 D 纸的格点上·，你能平移线段AB,使得AB B 与CD重合吗？你能平移线段AB,使得AB 与EF重合吗？请你画一画。 1.可以平移线段AB,使得AB与CD重合，但不能 平移线段AB,使得AB与EF重合。 E (第1题) 图3-7中的“鱼”是将坐标为(0,0)，(5,4)，(3,0)，（5,1)， (5,-1),(3,0)，(4,-2),(0,0)的点用线段依次连接而成的。 将这条“鱼”向右平移5个单位长度。 5 3 图3-7 (1)画出平移后的新“鱼”。→如图3-7。 ①如无特别说明，本章中方格纸上图形的顶点都在格点上。 76 教材笔记数学八年级下册BS (2)在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表。 原来的“鱼” 0,0 (3， 0 5 向右平移5个单位 (5,0) (8,0) (10,1 长度后的新“鱼” 小平移后的点与平移前的对应点相 (3)你发现对应点的坐标之间有什么关系？比，纵坐标没变，横坐标分别增 加了5 如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？请你先想一想，然后再具 体做一做。 平移后的点与平移前的对应点相比，纵坐标没变，横坐标分别 减少了4。 观察·思考 -》类比左右平移的情形 如果将图3-7中的“鱼”向上或向下平移若干单位长度，那么平移前后的 两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？ 尝试·思考 (1)将图3-7中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加 3,再将得到的点用线段依次连接起来，从而画出一条新“鱼”，这条新“鱼” 与原来的“鱼”相比有什么变化？如果纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢？ 形状、大小相同，位置发生变化。← (2)将图3-7中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加 3,所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化？如果横坐标保持不变， 纵坐标分别减2呢？ )形状、大小相同，位置发生变化。← 思考·交流 在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度 后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系？如果图形沿y轴方向平移 a(a>0)个单位长度呢？与同伴进行交流。 设（x,y)是原图形上的一点，经过平移后，这个点的坐标与其对应点的坐标之间 有如下关系： 平移方向 平移距离 对应点的坐标 向右平移 沿x轴方向 (x+a,y) 向左平移 a个单位长度 (x-a,y) 向上平移 (a>0) (x,y+a) 沿y轴方向 向下平移 (x,y-a) 第三章 图形的平移与旋转 77 随堂练习 1.四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0,3),B(-3,0),C(0,-3), D(3,0)。 （1)将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边形ABC,D1,写 出四边形ABC,D1各顶点的坐标； （2)将四边形AB1CD1向上平移6个单位长度，得到四边形ABC2D2, 写出四边形A,B2C2D2各顶点的坐标。 1.(1)A1(6,3),B1(3,0),C1(6,-3),D1(9,0)。 (2)A2(6,9),B2(3,6),C2(6,3),D2(9,6)。 2.（1)将第1题中的四边形A,B2C,D2各顶点的纵坐标保持不变，横坐标 分别减4，得到四边形AB,C,D3,它与四边形AB2CD2相比有什么 变化？ (2)将四边形AB,C,D,各顶，点的横坐标保持不变，纵坐标分别减4，得 到四边形AB,CD4,它与四边形AB,C3D3相比有什么变化？ 2.（1)形状、大小相同，只是位置发生了变化：向左平移了4个单位长度。 (2)形状、大小相同，只是位置发生了变化：向下平移了4个单位长度。 先将图3-8中的“鱼”F向下平移 2个单位长度，再向右平移3个单位长度， 得到新“鱼”F。 )如图3-8 （1)在图3-8所示的平面直角坐标 系中画出“鱼”F'。 》能。 678910 (2)能否将“鱼”F'看成是“鱼” F经过一次平移得到的？如果能，请指 出平移的方向和平移的距离，并与同伴 图3-8 进行交流。平移的方向是点(0,0)到点(3，-2)的方向，平移的距离是V3。 (3)在“鱼”F和“鱼”F'中，对应点的坐标之间有什么关系？ 改变“鱼”F最初的平移方向（仍沿坐标轴方向）和平移距离，再试一试， 并与同伴进行交流。横坐标分别增加了3，纵坐标分别减少了2。 78 教材笔记数学八年级下册BS 尝试·思考 确定一个图形平移后的位置需要三个条件：(1)图形原来的位置。 (2)平移的方向。（3)平移的距离。这三个条件缺一不可。 先将图3-8中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变， 得到“鱼”G;再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3，横坐标保持不变， 得到“鱼”H。 平移的方向是点（0,0)到点（2,3)的方向，平移的 刀距离为√13。 将“鱼”F经过怎样平移能得到“鱼”H？你有哪些不同的平移方法？ 如果横坐标分别加2、纵坐标分别减3呢？请你先想一想，然后再具体做一做。 变化规律如下：左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加； 思考·交流 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减。 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比， 位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 例2如图3-9，四边形ABCD各顶点的坐 标分别为A(-3,5),B(-4,3),C(-1, 1),D（-1,4),将四边形ABCD先向上 A 平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 得到四边形A'B'C'D'。 (1)四边形A'B'CD与四边形ABCD对应 点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写 -5-4-3-2-101 2345 图3-9 出点A',B',C',D'的坐标。 (2)如果将四边形A'B'CD'看成是由四边形ABCD经过一次平移得 到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离。 解：(1)四边形A'B'C'D与四边形ABCD 相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标 分别增加了3；A'(1,8),B'(0,6),C(3, 4),D(3,7)。 （2)如图3-10，连接A4',由图可 知，A4'=√42+3=5。因此，如果将四边形 A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移 -5-4-3-2-10 12345￥ 得到的，那么这一平移的平移方向是由A到A' 图3-10 的方向，平移距离是5个单位长度。 第三章图形的平移与旋转 79 随堂练习 1.（1)在平面直角坐标系中描出点A(6,0),B(10,3),C(9,1), D(12,0),E(9,-1),F（10,-3),然后用线段依次连接A, B,C,D,E,F,A各，点。1.(1)（2)图略。 (2)将（1)中所画图形先向左平移12个单位长度，再向上平移5个单 位长度，画出第二次平移后的图形。 (3)如何将（1)中所画图形经过一次平移得到（2)中所画图形？平移 前后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？ (3)将(1)中所画图形沿由A到A的方向平移13个单位长度，即可 得到(2)中所画图形。平移后的点与平移前的对应点相比，横坐标分 别减少了12，纵坐标分别增加了5。 平面直角坐标系中的平移画图的两种方法：(1)根据平移的方向和距离画出平移后 的图形。(2)借助图形平移与坐标间的变化关系，我到每个关键点的对应点，再按 原图形的顺序依次连接各关健点的对应点，得到求作的图形。 习题3.1 >知识技能 1.如图，经过平移，△ABC的边AB移到了EF,画出平移后的三角形。你有几 种画法？ 1.有多种画法，图略。如画法1：分 别过点E,F作与AC,BC平行的直线， 两条直线相交于点G。△EFG就是所 要求的三角形；画法2：以EF为一边 B F 在其右侧作与△ABC全等的△EFG。 (第1题) 2.如图，将字母A按箭头所指的方向平移3cm,画出平移后的图形。2.如图所示。 A (第2题) (第3题) 3.如图，经过平移，五边形的顶点A移到了点F,画出平移后的五边形。3.图略。 80教材笔记数学八年级下册BS 4.如图所示的图形是将坐标为（0,3)，（1,1)，（3,0)，（1，-1)， (0,-3),（-1,-1),（-3,0),（-1,1),（0,3)的点用线段 之右小 依次连接而成的。将上述各“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3， 再将得到的点用线段依次连接起来，这样得到的图形与原图形相比有什么变 化？如果原图形各“顶，点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？ -)上办加 4.形状、大小相同，只 是位置发生了变化：向 右平移了3个单位长度； 形状、大小相同，只是 -3 位置发生了变化：向上 平移了3个单位长度。 -》下减 (第4题) 5.将第4题中的原图形向下平移3个单位长度，写出平移后图形各“顶点”的 坐标。如果将原图形向左平移3个单位长度呢？ 一-)左减 5.（0,0),(1,-2),(3,-3),（1,-4),(0,-6),(-1,-4) (-3,-3),（-1,-2)；(-3,3),(-2,1),(0,0),(-2,-1), (-3,-3),（-4,-1)，(-6,0)，(-4,1)。 6.（1)在平面直角坐标系中描出，点A（-8,7),B（-7,3),C（-6,7), D（-5,3),E（-4,7)，并将它们用线段依次连接。 (2)将(1)中所画图形先向右平移10个单位长度，再向下平移10个单位长度， 画出第二次平移后的图形。>右加 〉下减 6.(1)(2)图路。 (3)如何将（1)中所画图形经过一次平移得到（2)中所画图形？平移前 后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？ （3)将(1)中所画图形沿由A到A'的方向平移10√2个单位长度即可得到(2) 中所画图形。平移后的点与平移前的对应点相比，横坐标分别增加了10，纵 坐标分别减少了10。 7.四边形ABCD的顶，点坐标分别为A(-5,-1),B（-1,-1),C(-3,-4), D(-7,-4),将四边形ABCD先向上平移5个单位长度，再向右平移 8个单位长度，请直接写出第二次平移后四个对应顶，点的坐标。 》右加 7.设平移后对应顶点分别为A,B,C,D,则A'(3,4),B(7,4),C(5,1), D'(1,1)。 第三章图形的平移与旋转81 >数学理解 8.小明挪动家里的桌子，对应的四条腿移动的距离分别是10.8cm,11.1cm, 11.1cm,11.2cm,这样的挪动是平移吗？为什么？ 8.这样的挪动不是平移。因为平移前后对应点所连的线段平行（或在一条直线上） 且相等，而这里四条腿移动的距离不相等。 9.（1)把图(1)中的图形平移后，“顶，点”A(4,4)的对应，点是A'(4,0), 写出另外6个“顶点”的对应点的坐标。 9.(1)（1,-2),（2,-2),（2,-4),(6,-4),(6,-2),(7,-2)。 4 3 -7-6-5-4-3-2 (1) (2) (3) (第9题) (2)图（2)与图（1)对应“顶，点”的坐标之间有什么样的关系？它可以由 图（1)如何变化而来？ （2)横坐标没变，纵坐标分别减少了5；它可以由 图(1)向下平移5个单位长度得到。 (3)图（(3)与图(1)对应“顶点”的坐标之间有什么样的关系？它可以由 图（1)如何变化而来？ （3)纵坐标没变，横坐标分别减少了8；它可以由图(1)向左平移8个单 位长度得到，或以y轴为对称轴经过轴对称得到。 10.四边形的顶，点坐标分别为A（1,8),B(0,6),C(3,4),D(3,7)。 将四边形ABCD平移后得到的四个对应顶点的坐标可能分别是A'（1,5), B(0,3),C(3,1),D(3,4)吗？可能分别是A”(8,8), B”（7,6),C”（9,4),D”（3,7)吗？10.可能；不可能 11.五边形ABCDE的顶，点坐标分别为A(0,6),B(-3,-3),C(-1,0), D(1,0),E(3,3)。将五边形ABCDE进行一次平移后顶，点A的对应 点是A'（8,12)，请你写出其他对应顶点的坐标，并求出这一平移的平移 距离。11.设平移后对应顶点分别为B,C,D八，E,则B'(5,3)，C(7,6), D'(9,6),E(11,9)o 82教材笔记数学八年级下册BS