第六章 平行四边形 回顾与思考+复习题-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

回顾与思考 1.平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？此外，平行四边 形还有哪些性质？ 2.一个四边形满足什么条件时是平行四边形？这些结论与平行四边形 的性质之间有什么样的关系？ 3.回顾平行四边形的研究过程，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 4.你是怎样得到三角形中位线定理的？ 5.多边形的内角和与边数有怎样的关系？多边形的外角和呢？哪一个 更能反映多边形的共同特征？ 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行 交流。 复习题 >知识技能 1.在口ABCD中，已知AB=6,AD为口ABCD周长的号，求BC的长度。 1.BC=8。 2.在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=150°，∠C=30°，AB=2,求DC 的长度。 2.在四边形ABCD中，∠A+∠B=30°+150°=180°，∠B+∠C=150°+30°=180°， .AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形，.DC=AB=2。 3.如图，在□ABCD中，，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,AD上， EF∥AD,GH∥CD,EF与GH相交于点O,图中共有多少个平行四边形？ 3.图中共有9个平行四边形，分别是□AE0G, ☐GOFD,□AEFD,□EBHO,□OHCF, 0 ☐EBCF,□ABHG,□GHCD,□ABCD。 H c (第3题) 第六章平行四边形 173 4.已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F。求证： ∠BAE=∠DCF。4.在☐ABCD中，AB=CD,AB∥CD,∠ABE=∠CDF。 AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD=90°。'∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°， ∠CDF+∠CFD+∠DCF=18O°，∴.∠BAE=∠DCF。A (第4题) （第5题) 5.已知：如图，点E在□ABCD边BC的延长线上，且CE=BC。 求证：四边形ACED是平行四边形。 5.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC。又CE=BC, AD=CE。AD∥CE,.四边形ACED是平行四边形。 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=2,BC=5,∠C= 60°，求CD的长度。6.如图，过点D作DE∥AB交BC于点E。AD∥BC, ∴.四边形ABED是平行四边形，.EC=BC-BE=BC-AD=5-2=3。.∠B 90°，∠C=60°，∴.∠DEC=∠B=90°，∠EDC=30°，∴.CD=2EC=2×3=6。 A D E (第6题) (第7题) 7.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合 的部分构成了一个四边形。线段AB和CD的长度有什么关系？ 7.AB=CD。提示：四边形ABCD是平行四边形。 A D 8.如图，在□ABCD中，已知AB=4cm, C BC=9cm,∠B=30°，求□ABCD的面积。8.18cm2。 (第8题) 9.画一个□ABCD,使∠B=45°，AB=2cm, BC=3cm。9.略。 A 10.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，P, Q是对角线BD上的两，点，且BP=DQ。 求证：AP业QC。10.略。 (第10题) 174教材笔记数学八年级下册BS 11.已知：如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分 线交AD于点F,交BE于点G。求证：AF=DE。 11.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,DC=AB,∴∠DFC=∠FCB,∠AEB= ∠EBC。·CF平分∠BCD,BE平分∠ABC,∴.∠DCF=∠FCB,∠ABE=∠EBC, ∴.∠DFC=∠DCF,∠AEB=∠ABE,∴.DC=DF,AB=AE。又·DC=AB,.DF= AE,∴.AD-DF=AD-AE,即AF=DE。 A (第11题) (第12题) 12.如图，△ABC的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶，点组成一个新 三角形，再以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形。求这个 小三角形的周长。12.这个小三角形的周长为子(a+b+c)。 13.分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边形…的内角和，以及正三角形、 正四边形、正五边形、正六边形…每个内角的度数，并填入下表。 边数 3 5 6 多边形的内角和 180° 360° 540° 720° 正多边形每个内角的度数 60 90° 108° 120° 14.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多 边形是几边形？14.九边形。 15.以正八边形为“基本图形”构成的一种图案如图所示。图中的白色缝隙所 形成的图形的轮廓是怎样的四边形？15.正方形。 （第15题) (第16题) 16.已知：如图，点O是□ABCD的对角线BD的中，点，E,F分别是BC和AD 上的点，且AE∥FC。求证：EF经过点O。 16.如图，连接BF,DE。四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD= BC。又·AE∥FC,∴.四边形AECF是平行四边形，∴.AF=EC,∴.AD-AF= BC-EC,即FD=BE。又：FD∥BE,∴.四边形FDEB为平行四边形。，点O是 BD的中点，∴.EF经过点O。 第六章平行四边形175 17.已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC, BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF, ∠ADB=∠CBD。求证：四边形ABCD是平 (第17题) 行四边形。17.略。提示：证明△ADE≌△CBF。 入>数学理解 18.如图，DE是△ABC的中位线，过，点E作AB的平行线交BC于点F,过点A 作BC的平行线交直线EF于，点G。线段DE,BF,FC之间有怎样的关系？ 请证明你的结论。18.DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等， BF与FC相等且在一条直线上。证明略。 M B N (第18题) （第19题) (第20题) 19.用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出其中所有的平行四边 形，并选择其中之一加以证明。19.有6个平行四边形，分别是□ABC0, □BCDO,□CDEO,☐DEFO,□EFAO,□FABO。证明路。 20.已知：如图，直线MN与□ABCD的对角线AC平行，延长DA,CB,AB, DC,分别交MN于点E,F,G,H。求证：EF=GH。 20.略。提示：证明四边形AEFC与四边形AGHC都是平行四边形。 >问题解决 21.小华要做一个平行四边形木框，他有七根木条，长度分别为：①3cm, ②5cm,③3cm,④6cm,⑤5cm,⑥8cm,⑦9cm。请你帮他选一选， 用哪四根木条可以组成一个平行四边形木框？请说明理由。 21.①②③⑤。理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 22.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3cm, 将纸片沿对角线AC折叠，BC边与AD边交于 点E,此时△CDE恰为等边三角形。 (1)求AD的长；22.(1)AD=6cm。 (2)求重叠部分的面积。(2)3cm。 (第22题) 176教材笔记数学八年级下册BS 23.如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶 点A,B,C,D处均有一棵大树，村里准备 开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍， 又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后 的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现 这一设想？若能，请你设计出所要求的平行 (第23题) 四边形；若不能，请说明理由。 23.能。设计方案略。提示：如图，连接原四边形的两条对角线，再分别过四边形 四个顶点作对角线的平行线，所作四条线围成的四边形为满足条件的平行四边形。 24.人们往往借助三角形来研究平行四边形或一般的多边形。对此你有哪些感 悟？请写一篇小短文与同学分享。24.略。 >联系拓广 25.如图，点M,N分别在□ABCD的边AB和CD上。 (1)已知AM=2AB,CN=号CD,求证：四边 D 25.(1)略。提示：AM∥CN,M 形AMCW是平行四边形；AM=CN=号CD。 (2)当AM=}AB,CW=}CD时，四边形AMCN B (第25题) 是平行四边形吗？如果AM=1AB,CN=1CD m (2)是；是。提示：在□ABCD中，如果AM=CN, （m>1)呢？那么四边形AMCW是平行四边形。 你能得出一个一般性的结论吗？试一试！略。 26.已知：如图，将□ABCD纸片折叠，使得点C落在，点A的位置，折痕为 EF,连接CE。求证：四边形AFCE为平行四边形。 26..四边形ABCD为平行四边形，∴.AE∥CF,∴.∠AEF=∠CFE。由 折叠可知，∠CFE=∠AFE,AF=CF,∴.∠AEF=∠AFE,∴.AF=AE, ∴.AE=CF,∴.四边形AFCE为平行四边形。 D D （第26题) 第六章平行四边形177