第六章 2 三角形的中位线-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

三角形的中位线 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式， 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 思考·交流 小明的做法是：如图6-19(1)，在△ABC中，连接每两边的中点，看 上去就得到了四个全等的三角形。如图6-19(2)，将△ADE绕点E按顺时 针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与△ABC面积相等的 □DBCF。 D E E B (1) (2) 图6-19 从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样 的关系吗？与同伴进行交流。 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 )一个三角形有三条中位线 可以发现：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。请你尝 三角形的中线与中位线的区别：三角形中线的一个端点 试证明这一结论。是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点； 而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点。 已知：如图6-20(1)，DE是△ABC的中位线。 求证：DE∥BC,DE=)BC。 164 教材笔记数学八年级下册BS 分析：为证明一条线段等于另一条线段的一半，可否把问题先转化为证明 与之有关的某两条线段相等？怎样获得与目标线段相等的线段？前面小明的做 法对你有哪些启发？ 1 B B (1) (2) 图6-20 证明：如图6-20(2)，延长DE到F,使FE=DE,连接CF。 在△ADE和△CFE中， .·AE=CE,∠1=∠2，DE=FE, ..△ADE≌△CFE。 ∴.∠A=∠ECF,AD=CF。 .CF∥AB。 BD=AD, ∴.CF=BD。 ·.四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形）。 .DF∥BC(平行四边形的定义)， DF=BC(平行四边形的对边相等)。 DE∥BC,DE=号BC 三角形的中位线定理的应用：（1)可以证明两条直线平行。（2)可以证明线段 的相等或倍分关系。（3)可以求线段的长度或角的度数。 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三 边的一半。 →位置关系 裁量关系←☑ 利用三角形的中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等。 第六章平行四边形 165 例 如图6-21，☐ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,E为AB的中点，∠ADB=90°， 0 AC=6,OE=1。求AD和BD的长度。 B E 解：：□ABCD的对角线AC与BD相交于 图6-21 点0， .AO=OC,D0=OB（平行四边形的 对角线互相平分)。 E为AB的中点， :.OE是△ADB的中位线（三角形的中位线的定义）。 .AD=2OE=2（三角形中位线定理)。 .AC=6,A0=0C, :A0=分AC=7×6=3。 在Rt△AD0中，由勾股定理可得 D0=A02-AD=32-2=5。 .BD=2D0=2J5。 随堂练习 1.已知三角形的各边长分别为8cm,10cm和12cm,求以各边中，点为顶 点的三角形的周长。15cm。 2.如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的 距离：先在AB外选一，点C,然后步测出AC,BC的中，点M,N,并步测 出MN的长，由此他就知道了A,B间的距离。请解释其中的道理。 M,N分别是AC,BC的中点，.MN←-- 是△ABC的中位线，MN=号AB,即AB= 2MN。这样只要测出MN的长，就可以知 道A,B间的距离。 N （第2题) 166教材笔记数学八年级下册BS 习题6.2 >知识技能 1.已知：在△ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点。 求证：四边形AFDE的周长等于AB+AC。 1.略。提示：证明DE=BF,DF=CE。 2.求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 2.已知：如图，在△ABC中，EF是△ABC的中位线， AD是BC边上的中线。 求证：AD与EF互相平分。 B 证明：如图，连接DE,DF。AD是BC边上的中线， EF是△ABC的中位线，.D,E,F分别是BC, AB,AC的中点，.ED,DF也是△ABC的中位线， ∴.ED∥AC,FD∥AB,.四边形DEAF是平行四边形， .AD与EF互相平分。 B >数学理解 3.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点。 四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论。 3.四边形EGFH是平行四边形。证明如下： E,G分别是AB,AC的中点，∴.EG是△ABC 的中位线，.EG∥BC,且EG=1BC。:H,F G H 分别是BD,CD的中点，HF是△BDC的中位线， HF∥BC,且HF=号BC,EG∥HR,EG= E HF,.四边形EGFH是平行四边形。 (第3题) >问题解决 4.在本节随堂练习第2题中，如果M,N两点之间还有阻隔，你有什么解决 办法？请说明理由。 4.略。 第六章平行四边形 167