第五章 2 分式的运算-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

分式的运算 类比分数的运算，你认为分式能进行哪些运算？如何进行这些运算呢？ 尝试·交流 （1)两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明。 (2)你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流。 与分数乘法、除法的法则类似，分式乘法、除法的法则是： 分子乘分子，分母乘分母← 运用分式的乘除法法则时，要注意符号的变化。 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作 为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 类似于除以一个戴等于乘这个数的倒裁 这一法则可以用式了表示为：台·品，冬是上总·音品 a c ac a >简记为“颠倒相乘” 思考·交流 (名)”与公有什么关系？与同伴进行交流。 n个 a >相等。()=6·b6=b·b…b= aa a a.a....·a 例1 计算： n个 n个 (1)30.22 4y3a25 (2)3xy÷ 解：(1)3,2头-3a2头=之 4y3a=4y·3a=2a (2)32÷6=3y2·之 注意：(1)分式的分子、分母是单项式时，先按分式的乘除法法则计算， 再通过约分化为最简分式或整式。(2)当整式与分式相乘（相除）时， 整式可以看成分母为1的分式。 第五章分式与分式方程 127 例2 计算： (1)0+4. 1 ； a-4a2+4a (2)不2+吾是老交 子、分母为多项式 解：(1)0+4.，1=a+4.1 1 a-4 a+4a a-4'a(a+4)-a(a-4)i 时，通常要先因式 分解，再按分式的 2)a4+= 乘除法法则计算， 最后化为最简分 (a-1)(a2-4) =a-4a+4)(a2-1 式或整式。 =a-1a-2)(a+2) (a-2)2(a-1)(a+1) a+2 =Ta-2)(a+1)° 尝试·交流 购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们 把西瓜都看成球体，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d,已知 球的体积公式为V=号πR（其中R为球的半径)，那么 (1)西瓜瓢与整个西瓜的体积的比是多少？(1-只户。 (2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴进行交流。 >买大西瓜合算。 随堂练习 1.计算： (1)a.b:1 、32 (2)(会户云： 2x' (3)(a2-a)·a=1; (4)+2x ÷2-4 x2-6x+9 x2-3x a2-2a+1。← x2-5x+60下. 128教材笔记数学八年级下册BS 我们已经学习了分式的乘法和除法运算，那么分式的加法和减法运算该如 何进行呢？ 尝试·交流 (1)两个分数如何相加减？请举例说明。 (2)你认为两个分式应该如何相加减？与同伴进行交流。 与同分母的分数加减法法则类似，同分母的分式加减法法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 这一法则可以用式子表示为：6±c=b±c。 a 例3 计算： (1)a+b+a-b (2)2-4 ab ab x-2x-2 解：(1)a+b+0=b=a+b+a-b=20=2: ab ab ab (2)8)-4,=-4=x-2)(x+2)=x+2。 x-2x-2-x-2 x-2 结果要化成最 例4计算： 简形式哟！ (1)x+y (2)2-1-24 x-y y-x a-11-a 解：(1)+yy===1: x-y y-x x-y x-y x-y (2)。2-1-2a=d+1-20=2-2a+1=a-1)2=a-1。 2 a-11-aa-1a-1a-1 a-1 提示：当两个分式的分母互为相反数时，可 通过变号将其化为同分母分式，再进行运算。 第五章分式与分式方程 129 随堂练习 1.下列计算正确吗？如果不正确，请改正。 不正确， 2a (1)+6=0+b;不正痛，@+b (2)a-a=0: x-y mm 2m m x-Y Y-x---- (3)1+日=2：不焉南， (4)x+Y=1。正确。 x+y x+y、.-7 2.计算： (1)2+2。 (2)3b-b,26 (3) 2a 6 aa’ xx- 2a-6+b-2a 我们学习了同分母分式的加减法运算，你认为应该如何进行异分母分式的 加减法运算呢？ 观察·交流 在计算3+1时，小颖和小亮的做法如下。 a Aa (1)你明白他们是怎么做的吗？ (2)你对这两种做法有何评论？与同伴进行交流。 3+1=3×4恤+，a Aa a·4a4a·a 12a a 13a-13 4a2 402= 4a2 4a P 3+1=3×4+1 a 4aa·44a =2+1=13 Aa 4a Aa 130 教材笔记数学八年级下册BS 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称 为分式的通分。为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简 称最简公分母)作为它们的共同分母。 八>确定几个分式的最简公分母是通分的关健所在 与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分 母分式的加减法法则进行计算。 通分的步骤：(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时， 应先进行因式分解。(2)确定各分式的最简公分母，即各分母的所有因式的 最高次幂的乘积。(3)用这个最简公分母除以各分式的分母。(4)用所得的 商分别去乘原来各分式的分子、分母。 这一法则可以用式子表示为： b±L=bc±u=bc±ad a c ac ac ac 现在你能理解为什 异分母分式相加减的一般步骤：(1)寻我最简公分母。 么先学同分母的分 (2)通分，将异分母分式化成同分母分式（注意整式 式加减法了吧！ 项也要通分)。(3)按同分母分式的加减法法则计算。 (4)分子、分母约分，将结果化简为最简分式或整式。 例5计算： (1)3+a-15 (2)1-1 a 5a x-3x+39 (3)2a-1 a2-4a-2° 解：(1)3+a-15=15+4-15=15+a-15=a=1； a 5a5a 5a 5a 5a-5 (2)1-1 x+3 x-3 x-3x+3=(x-3)x+3)(x-3)(x+3 =x+3-（x-3) 6 Γ(x-3)(x+3)(x-3)(x+3) (3)20-1 2a a+2 a2-4a-2(a-2a+2)-(a-2)a+2 2a-（a+2) =(a-2)(a+2) a-2 =(a-2)(a+2) 注意：异分母分式化为同分母分式时， 1 要保证每个分式都和原分式相等。 a+2 第五章分式与分式方程131 例6小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽骑车走的是平路， 速度是2mkmh；小刚骑车需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上 的速度是vkmh,在下坡路上的速度是3ukmh。 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？ 解：(1)小刷队家到学校需要+品-3若是=条(h)。 3v (2)小丽从家到学校需要3h。 2 因为多>》，所以小丽在路上花费的时间少。 小丽在路上花费的时间比小刚少乏-3=10-9=上(h)。 3v 2v 6v 6v 随堂练习 1.将下列各分式通分： 3a 1 7262n-6 (1)x-1 2 ax-a 6x (2) _3a 1 3x2,0a3a2 3ax2 2a-b’-b-2a (3)1 2 X a-3’ a2+6a+93y (4字44产2 (a+32 2a-6 2 x2+2x (a+32(a-3)’(a+32(a-3) 2(x+2(x-2),-2(x+2)(x-2) 2.计算： 2b2+3a2 (2)1- 2 6ab 例7 计算： (1)x2 x+1~x+1; 1-·a+3 (2)a23+a-9&- 解：(1）x2 x+1二x+1三x工一(x二1) 注意：(1)分式相减时， 若分子是多项式，则要把 =2-(x-1)(x+1) 多项式加上括号再相减。 x+1 x+1 (2)分式和整式相加减时， 先把整式看成分母是1的 分式，整体通分后再加减。 132教材笔记数学八年级下册BS =x2-(x-1)x+1 x+1 、1 x+15 1.a+3=a (2)。23+a98=a23+(a+3a-3‘a 1 .a+3 =-a 1 a3+(a-3)(a-1) a(a-1) 1 =a3(a-1D+(a-3)(a-1) a2-a+1 =(a-3)(a-1)° 例8 已知兰=2，求上的值。 x-y xty x2-y 解：xy y2 yx+y22=x+y）=y(x-y）-s x2-Y2 x2-Y0 因为x=2,即x=2y, 2 (2y)2 所以，原式2序之4 还有其他解法吗？ 3。 尝试·思考 工作时间= 工作总量 工作效率下 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道。由于采用新的 施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m,从而缩短了工期。 假设原计划每天修建盲道xm,那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了 几天？ 11201120-20(天)。 x+10x2+10x 缩短的时间=原计划的工期-实际工期 回顾·反思 回顾分式运算的学习过程，你对代数式的运算有哪些感悟？ 第五章分式与分式方程 133 随堂练习 1.计算： (1)2，-1;3-x x-1.x-19 2a+品 2.先化简，再求值： (1)已知a= 动条导背-肚的导a=品，原式-子 Γ10 (2》尼=，求告的随子当动叶，原支合 习题5.2 >知识技能 1.计算： 2 ②)”÷8： (e)之g-0- (4)+÷y;+ x-y x-y y (5)a,·(b=a);2-b .7b2 (6)44+y÷(4-y)。 a-b b-- 2x+y 2.计算： (1)m-1+n-m;n-1 (2)3-5 2 mn nmmn 8)6+6 (4)x+2y- 3y-龙；1。 2x-y2x-y’ (5)2n-m+”m;-1。 (6)2+5-1+4托。2+4托+6 m-n n-m x-22-x97x-29 3.先化简，再求值： 计-子其中x=03原式=-红+》--1。 x2+12 x+1 x+1 时，原式=- 当x=100 99 134教材笔记数学八年级下册BS 4.计算： (1)飞+y:bx+ay a+6b (2)0+b-b+;-a。 ab bc ac (3，+2x22 x+2 (4)+-2x+,-xT 1 2 -2 5)m29m-33m+3 (6)✉23产，9 x2 5.用两种方法计算(3x2-x。）·-4。 x-2x+2 5.方法-：原式=3x（x+2)-（2).x+2x-2)=2x+8。 （x-2)(x+2) 方法-：原式=3%·24-·24=2x+8。 龙-2xx+2x 6.计算： (1)2-6 2x x-3297-9 (2)1-+1÷2-1；-2 a a2+aa-1 (31-）a24a+2+)a-: a-1 a a+1 7.先化简，再求值： -7 a-To （1)e知r=10.求平+7+r的值7=10时，原式=10m m+2n。当m= (2)已知m=号n,求m+2n+n的值。n- 5n时， m+2n2n-m4n2-m2- 原式=1 >数学理解 8.对于a÷b“合小明是这样计算的：a÷b·方=a÷1=a。他的计算过程正确 =a. 吗？为什么？不正确，因为运算顺序不对。正确的是÷b·} 11a 9.按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题： 输入x(x≠0) 平方 、1 →答案 输入x 3 2 -2 3 输出答案 1 1 1 第五章分式与分式方程135 (1)由上述计算你发现了什么规律？无论x取何值，最终答案都是1。 (2)请说明(1)中规律的正确性。：+x-1=1。 7x2 >问题解决 10.由甲地到乙地的一条铁路全程为skm,火车全程运行时间为ah；由甲地到 乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh。 (1)火车速度是汽车速度的多少倍？6倍。 --7m.a (2)根据这一情境提出一个问题，并解决这个问题。略。 11.某人用电脑录入汉字的速度相当于手写的3倍，设他手写的速度为α字h, 那么他录入3000字比手写少用多长时间？3000-3000=2000(h)。 3a 12.甲、乙两地相距50km,一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流 返回甲地。已知水流速度为4km/h,如果轮船在静水中的速度为xkm/h, 那么该轮船从甲地到乙地所需的时间比从乙地到甲地所需的时间少多少？ )50-50 400 x-4-x+4=（x-4)(x+4) (h)o 13.一项工程，甲单独做ah完成，乙单独做bh完成，甲、乙两人一起完成这 项工程需要多长时间？ a+6(h)。 1÷(+)= 14.某蓄水池装有A,B两个进水管，每小时可分别进水am3,bm3。若单独开 放A进水管，ph可将该蓄水池注满。如果同时开放A,B两个进水管，那 么能提前多长时间将该蓄水池注满？叩h。 ->a+b >联系拓广 ※I5.有一杯糖水的含糖量为号(a<b)，往杯中加入c(c>0)g糖，经验告诉我 们现在糖水的含糖量比原来高了。试用所学的数学知识解释其中的道理。 15.设杯中原有糖水mg,加入cg糖后，杯中糖水变为(m+c)g,此时糖水中含 糖(m×+c)g,即am+bcg,含糖量为am+bc÷(m+c）=am+bc b b bm+bc 因为am+bc-4=am+bc-am-ac=c(b-a）>0, bm+bc b b (m+c) b (m+c) 所以am+bc>4,即含糖量比原来高了。 bm+bc b 136教材笔记数学八年级下册BS