第六章 1 平行四边形的性质及判定-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第六章平行四边形 ,>伸缩门、庭院的竹篱笆等。 生活中有哪些物体的形状是平行四边形？你想了解平行四边形的哪些方 面？怎样研究这些内容呢？ 本章将研究平行四边形的概念、性质和判定，以及三角形中位线的性质， 探索多边形内角和与外角和的规律。你将经历观察、实验、构造基本图形等几 何发现的过程，进一步感悟图形直观对发现图形性质的作用，理解几何证明的 基本形式和规则，体会数学的严谨性，感受几何证明之美，发展几何直观、推 理能力等。 有助于理解平行四边 形的性质与判定、计 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 算其面积，并研究它 的对称性及稳定性等。 管三角形的研究及有关知识对研究平行四边形有哪些帮助？ 普除了之前的方法外，你认为还可以从哪些方面研究一个平面图形？ 可以从位置关系、图形变换、实际应用等方面研究一个平面图形。 平行四边形的性质及判定 图6-1中含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，它们有怎样的共同 特点？ 图6-1 一组对边平行， 四边形 男一组对边之平行平行四边形< 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 (parallelogram)。平行四边形不相邻的两个顶 点连成的线段叫作它的对角线。如图6-2，四边 符号“☐”应 )与表示顶点的B 形ABCD是平行四边形，记作□ABCD,读作“平字年同时使用， 图6-2 行四边形ABCD”,线段BD就是□ABCD的一条不能单独使用 对角线。 根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容？ 思考·交流 (1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验 证你的结论吗？ (2)你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴进行交流。 >答案不唯一，如平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 第六章平行四边形147 我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等。 已知：如图6-3（1)，四边形ABCD是平行四边形。 求证：AB=CD,BC=DA。 分析：要证明两条线段相等，你常用什么方法？在平行四边形中能直接使 用这种方法吗？你能构造出可以使用这种方法的图形吗？ B (1)》 (2) 图6-3 证明：如图6-3（2)，连接AC。 .·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,BC∥DA（平行四边形的定义)。 .∠1=∠2，∠3=∠4。 AC=CA, ,)依据是“ASA” ..△ABC≌△CDA。 .AB=CD,BC=DA。 请你证明：平行四边形的对角相等。 如图6-3(1)。 一今性质定理 7AD=BC.AB=DC 定理平行四边形的对边相等。 定理 平行四边形的对角相等。如图6-3(1)。 )∠A=∠C,∠B=∠D 平行四边形的外角互补 例1已知：如图6-4，在口ABCD中，E, F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。 E 求证：BE=DF。 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 图6-4 .AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB∥CD（平行四边形的定义)。 148教材笔记数学八年级下册BS .∠BAE=∠DCF。 又AE=CF, ∴.△ABE≌△CDF。 ∴.BE=DF。 随堂练习 1.已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗？请说明 1.能。根据“平行四边形的对角相等”可以确定已知角的对角； 理由。 根据“两直线平行，同旁内角互补”可以确定已知角的部角。 30 2.如图，四边形ABCD是平行四边形。求： D （1)∠ADC和∠BCD的度数； 25 ☑56° B (2)AB和BC的长度。 (第2题) 2.(1)56°，124°。(2)25,30 在上一课的“思考·交流”中，我们还发现：平行四边形的对角线互相平分。 请你尝试证明这一结论。 已知：如图6-5，□ABCD的两条对角线AC 与BD相交于点O。 求证：OA=OC,OB=OD。 证明：：四边形ABCD是平行四边形， 图6-5 .AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB∥CD(平行四边形的定义)。 .·.∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO。 还有其他证 .∴.△AB0≌△CD0。 法吗？ .OA=OC,OB=OD。 还可以证明△AD0≌△CBO。 〉性质定理 定理 平行四边形的对角线互相平分。 3如图6-5。A0=C0=24C,B0=D0=2BD 2 平行四边形的两条对角线将其分成四个三角形，其中相对 的两个三角形全等，且这四个三角形的面积均相等。 第六章平行四边形149 例2已知：如图6-6，口ABCD的对角线AC与BD相交于点0，过点0的 直线与AD,BC分别相交于点E,F。 求证：OE=0F。 A 证明：四边形ABCD是平行四边形 .D0=B0(平行四边形的对角线互相平分)， AD∥BC(平行四边形的定义)。 .∠ODE=∠OBF。 图6-6 .∠DOE=∠BOF, .∴.△DOE≌△BOF。 .0E=0F。 尝试·思考 还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，将它与平行四边形比较， 并试着给出梯形的定义。 一组对边平行， 》四边形男二姐对超不手行 →梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作 上底 梯形（trapezoid)。如图6-7，平行的两边称为梯形的 腰 高 腰 底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。 下底 不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为 图6-7 等腰梯形。 尝试·交流 等腰梯形是轴对称图形吗？将等腰梯形纸片 U 等腰梯形是轴对称图形， 折一折，你有哪些发现？与同伴进行交流。 等腰梯形在同一底上的 两个角相等。 随堂练习 1.已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA,OB,AB的长分别为 3,4,5,求其他各边及两条对角线的长度。 1.其他各边的长均为5，两条对角线AC,BD的长分别为6,8。 150 教材笔记数学八年级下册BS 2.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b,∠1=110°，∠4= 125°，求∠2和∠3的度数。 70°。 55° (第2题) 如图6-8，要画出一个以线段AB,AD为邻边 的口ABCD,你有哪些想法？与同伴进行交流。 思考·交流 图6-8 依据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。除此之外，你还能 发现平行四边形的哪些判定条件？你是怎样想到的？与同伴进行交流。 我们发现：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。请你尝试证明这一 结论。 已知：如图6-9(1)，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 (1) (2) 图6-9 证明：如图6-9(2)，连接BD。 第六章平行四边形 151 在△ABD和△CDB中， AB=CD,AD=CB,BD=DB, .△ABD≌△CDB。 .∠1=∠2，∠3=∠4。 .AB∥CD,AD∥CB。 .四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义)。 )判定定理 定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 我们还发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。请你尝试证明 这一结论。 已知：如图6-10（1)，在四边形ABCD中，ABL0CD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 A A (1) (2) 图6-10 证明：如图6-10(2)，连接AC。 AB∥CD, 你还有其他证 ∴.∠BAC=∠DCA。 法吗？与同伴 又.AB=CD,AC=CA, 进行交流。 ..△ABC≌△CDA。 .'BC=DAo 还可以根据平行四边形的定义进行证明。 :.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四 边形)。 ①符号“业”表示平行且相等，读作“平行且相等”。 152 教材笔记数学八年级下册BS )判定定理 定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不一定是平行四边形，有可能是等腰稀形 例3已知：如图6-11，在口ABCD中，E, F分别为AD和CB的中点。 求证：四边形BFDE是平行四边形。 证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=CB(平行四边形的对边相等)， F AD∥CB(平行四边形的定义)。 图6-11 .E,F分别为AD和CB的中点， ED=7AD,FB=7 CB .ED=FB,ED∥FB。 :.四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形)。 1.四边形ABCD是平行四边形。理由：由平移的性 随堂练习 质可知，AD业BC,故四边形ABCD是平行四边形。 1.如图，线段AD是线段BC经过平移得到的，分别连接AB,CD,四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。 B (第1题) (第2题) 2.如图，AC=BD,AB=CD=EF,CE=DF。图中有哪些互相平行的线段？ 请说明理由。 2.AB∥CD∥EF,AC∥BD,CE∥DF。理由：根据“两组对边分别相等的 四边形是平行四边形”可判定四边形ABDC、四边形CDFE都是平行四边形， 则AB∥CD,AC∥BD,CD∥EF,CE∥DF,进而得到AB∥CD∥EF。 第六章平行四边形 153 通过上一课“思考·交流”的讨论，我们还发现：对角线互相平分的四边 形是平行四边形。请你尝试证明这一结论。 已知：如图6-12，四边形ABCD的两条 对角线AC与BD相交于点O,并且OA=OC, 0 OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：.OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB, 图6-12 .△AOD≌△C0B。 .AD=CB,∠ADO=∠CBO。 .AD∥CB。 .四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形)。 〉判定定理 定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例4已知：如图6-13(1)，E,F是ABCD对角线AC上的两点，且 AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。 分析：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要 满足什么条件？如果从对边的角度考虑呢？ >要满足对角线互相平分。 、>要满足两组对边分别相等或两组对边分别平行。 A A B (1) (2) 图6-13 证明：如图6-13(2)，连接BD,交AC于点0。 ,四边形ABCD是平行四边形， 154教材笔记数学八年级下册BS .OA=OC,OB=OD(平行四边形的对角线互相平分)。 AE=CF, .0A-AE=OC-CF, 即0E=0F。 ·.四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平 分的四边形是平行四边形)。 还有其他证 法吗？ 平行四边形判定方法的选择： 已知条件 选择的判定方法 可从对边的 两组对边分别相等的四边形是平行四边形或 角度，证明 一组对边相等 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 DE BF, 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形或 BE=DF,从 一组对边平行 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 而证得四边 形BFDE是 角 一 组对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形。 对角线 对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 思考·交流 比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行 交流。 》互为逆定理。 回顾·反思 回顾平行四边形性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明 思路的经验？ 随堂练习 1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于，点O,点E,F分别是 OA和OC的中，点，四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。 1.是。理由：四边形ABCD是平行四边形， D .OA=OC,OB=OD。点E,F分别是OA 和0C的中点，0E=10A=10C=0F, .四边形BFDE是平行四边形。 (第1题) 第六章平行四边形 155