第二章 1 不等式及其基本性质-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第二章不等式与不等式组 对于跷跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物方案的选择等生 活场景，你也许并不陌生，但你是否想过它们与某种“不等关系”有关？其实， 与相等关系相比，不等关系更为普遍，灵≠“表示不李美聚的式子也是不学 本章将结合具体问题了解不等式的意义，探索不等式的基本性质，研究一 元一次不等式（组）的解法，运用一元一次不等式解决一些简单的实际问题， 体会一元一次不等式与一次函数、一元一次方程之间的内在联系。在这个过程 中，你将进一步发展运算能力、几何直观、模型观念等。 m 在本章学习过程中，你可以持续思考以下间题： 普为什么要研究现实生活中的不等关系？如何建立一个一元一次不等式？ 警研究不等关系的思路与之前的哪些学习经历类似？你有哪些感悟？在数 学学习中，你还能举出这样的例子吗？ 不等式及其性质 如图2-1，用两根长度均为lcm的绳子分别围成一个正方形和一个圆。 边长为子em 半径为2元cm 图2-1 (4)'cm (1)如果要使正方形的面积不大于·25cm2,那么绳长l应满足怎样的关 系式？ 2m(2元Pem 6≤25。← 4m≥100。 (2)如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？ (3)当1=8时，正方形和圆的面积哪个大？如果1=12呢？改变1的取值 再试一试，由此你能得到什么猜想？→都是圆的面积大。 )无论1取何值，圆的面积总大于正方形的面积， 尝试思考 >6。 (1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的 长、宽、高之和不得超过160cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分别为acm, bcm,ccm,请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式。a+b+c≤160。 (2)通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规 定以树干离地面1.5m的地方为测量部位。某树栽种时的树围为6cm,在一定 生长期内每年增加约1cm,设经过x年后这棵树的树围超过10cm,请你列出 x满足的关系式。76+x>10 ①“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示。例如，x不大于10 可以表示为x≤10（读作“x小于或等于10”)。类似地，“不小于”指的是“等于或大 于”，通常用符号“≥”表示（读作“大于或等于”)。 第二章不等式与不等式组 49 观察·交流 由上述问题分别得到如下关系式： m·(2元)2>（子）只，a+6+c≤160,6+x>10, 观察这几个关系式，它们有什么共同特点？与同伴进行交流。 )都是用不等号连接的式子。 一般地，用符号“<”（或“≤”)，“>”（或“≥”）连接的式子叫作 不等式(inequality)。 用不等式表示不等关系时，尤其要注意条件中是否含有“不” 尝试·交流 宇，如不小于、不低于用“≥”表示，不大于、不超过用“≤” 表示 生活中存在许多不等关系，请你举几个用不等式表示的例子，并与同伴进 行交流。(1)某市身高不超过1,2m的儿童可免费乘坐公交车，记可以免贵乘坐公 交车的儿童的身高为h（单位：m),则h≤1.2。 (2)在高速上，小型载客汽车最高限速为120km/h,最低限速为60km/h, 记小型载客汽车速度为v(单位：kmh),则60≤v≤120。 随堂练习 1.用适当的符号表示下列关系： （1)a是非负数；1.(1)a≥0。 （2)直角三角形斜边c比它的两直角边a,b都长；（2)c>a,c>b。 （3)x与17的和比x的5倍小；(3)x+17<5x。 (4)两数的平方和不小于这两数积的2倍。(4)a2+b2≥2ab。 被为, 2.根据下列信息，写出有关不等式：2021年，我国自主研制的“海斗一号” 全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下 潜深度达到10908m,海底连续作业时间超过8h,近海底航行距离超 过14km。 2.没h(单位：m)表示潜水器下潜深度，t(单位：h)表示潜水器海底连续作业时间， s(单位：km)表示潜水器近海底航行距离，则h≤10908，t>8,s>14。 在上一课由树围估算树龄的问题中，我们得到不等式：6+x>10。你能找 到满足这个不等式的x的一些值吗？ >如5,5.5,6。（答案不唯一） 50 教材笔记数学八年级下册BS 尝试·思考 )不成立。，>成立。 (1)x=3,4,5,5.5能使不等式6+x>10成立吗？ (2)你能找出多少个使不等式6+x>10成立的x值？你是怎样找的？ )略。 在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等 式的解。一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（solution set)。 不等式的解集必须满足两个条件：(1)解集中的每一个数值都使不等式成立。 (2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中。 例如：5是不等式6+x>10的一个解，4.2,5.5,6,7,8，…也是这 个不等式的解，不等式6+x>10的解集是x>4;不等式x-1≤2的解集是 x≤3；不等式x>0的解集是所有非零实数。 求不等式解集的过程叫作解不等式。 思考·交流 你能在数轴上表示不等式6+x>10的解集吗？不等式x-1≤2的解集又 该如何表示呢？与同伴进行交流。 不等式的解集在数轴上的表示方法： （1)画数轴。（2)定边界点。（3)定方向。 不等式6+x>10的解集x>4可以用数轴上表示4的点右边的部分来表示 (如图2-2)，在数轴上表示4的点的位置上画空心圆圈，表示4不在这个解 集内。 -1012345678910 -10123456 图2-2 图2-3 不等式x-1≤2的解集x≤3可以用数轴上表示3的点及其左边的部分 来表示（如图2-3），在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点，表示3在这 个解集内。 记忆口诀：大于向右，小于向左；有等号画点，无等号画图。 第二章不等式与不等式组 51 随堂练习 1.判断正误： (1)不等式>号的解有无数个： v) （2)x=4是不等式x+5>10的解。 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：2.略。 (1)x>4; (2)x<-1; (3)x≥-2； (4)x≤6。 根据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程。类似地，为了 对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质。 我们不难理解以下结论： (1)如果a>b,那么b<a。-7对称性 (2)如果a<b,b<c,那么a<c。-7传递性 除此之外，你认为不等式还有哪些性质呢？ 尝试·交流 (1)如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗？请 你举几例说明。成立，如-3>-5，-3+2>-5+2，-3+0>-5+0，-3-4>-5-4。 (2)如果在不等式的两边都乘同一个不等于0的数，那么不等式还成立吗？ 请你举几例说明，并与同伴进行交流。当乘同一个负数时，不等号的方向变，如 -2<3,-2×4<3×4,-2×(-0.5)>3×（-0.5)。 不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个代数式， 不等号的方向不变。 可以是单项式或多项式 不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变。 可简记为“负支正不变”{ 不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或除以)同一个负数， 不等号的方向改变。 “除以”是被除裁在前，除裁在后；“除”是除数在前，被除数在后 52 教材笔记数学八年级下册BS 不等式的基本性质用字母可以表示为： 如果a>b,那么a±c>b±c; 如果a>b,c>0,那么ac>bc,a÷c> b÷c; 如果a>b,c<0,那么ac< bc,a÷c<b÷co 拓展：（1)如果a<b,c>0,那么ac<bc,a÷c<b÷co (2)如果a<b,c<0,那么ac>bc,a÷c>b÷c。 在前面的学习中，我们猜想，无论绳长取何值，圆的面积总大于正方形 的面肌，即行>6 你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？ 相信。因为42>T卫，根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都除以 4.π2 16π，可得 例根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上： (1)x-5>-1; (2)-2x≥3。 解：（1)根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x>-1+5, 即 x>4。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图2-4所示。 -101234567 图2-4 (2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 x≤-2 3 ,之可以集分，即-2 这个不等式的解集在数轴上的表示如图2-5所示。 (-7)≤3x(-7) -3 -2-3-1 0 12 图2-5 思考·交流 不等式的基本性质与等式的基本性质有什么区别和联系？与同伴进行交流。 第二章不等式与不等式组 53 随堂练习 1.已知x>y,下列不等式一定成立吗？为什么？1.理由略。 (1)x-6<y-6;-7不成立。 (2)3x<3y;-7不成立。 （3)-2x<-2y;7成立。 (4)2x+1>2y+1.7成立。 2.解下列不等式，并将解集表示在数轴上：2.裁轴表示略。 (1)x-1>2;7x>3。 (3)7x<3.7<6 习题2.1 >知识技能 1.用适当的符号表示下列关系： 3x+8>5xo x2≥0。 (1)x的3倍与8的和比x的5倍大；A (2)x2是非负数； 11 (3)地球上海洋面积大于陆地面积；7S>S2 （4)老师的年龄比你年龄的2倍还大；7x>2y。 (5)铅球的质量比篮球的质量大；7m>m2 M1>M2o< (6)中国人民解放军海军福建舰的满载排水量比山东舰的满载排水量大。 M M2 2.在0,4,3，-3，写，-5,4，-10中， -4 是方程x+4=0的解； 0,-4,3,-3,5,4是不等式x+4≥0的解；-5，-10是不等式x+4<0的解。 3.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：3.略。 (1)x≤0； （2)x>-2.5; (3)x<号： （4)x≥4。 4.已知a<b,用“<”或“>”填空： (1)a-3<b-3; （2)6a< 6b; (3)-a>-b; (4)a-b<0。 拓展：当a>b时，a-b>0;当a=b时，a-b=0;当a<b时，a-b<0。 54教材笔记数学八年级下册BS 5.解下列不等式，并将解集表示在数轴上：5.最轴表示略。 (1)x+3<-1;.x<-4。 (2）3x>27;7x>9。 (3)-等>5；<-15 （4)5x<4x-6。.-7x<-6。 >数学理解 6.请给下列不等式赋予不同的实际背景：6.略。 (1)x+y≤5； (2)2x+1≥3。 7(1)不等式x<9有多少个解？持找出几个： 71)有无数个解，如x=3,三，0，-8等都是它的解。 5 (2)不等式x<0有多少个正整数解？请一一写出来。 3气2)有3个正整悬解。x=1,2,3。 8.（1)比较a与a+2的大小； （2)比较2与2+a的大小； a<a+2。 ※（3)比较a与2a的大小。 ->当a>0时，2<2+a; 当a=0时，2=2+a 当a>0时，a<2a;当a=0时，a=2a; 当a<0时，2>2+ao 当a<0时，a>2ao >问题解决 9.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购 买这两种原料的价格如下表所示： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg) 600 100 原料价格/（元/kg) 8 4 (1)现配制这种饮料10kg,要求至少含有4200单位的维生素C,试写出 所需甲种原料的质量x（单位：kg)应满足的不等式； 9.(1)600x+100(10-x)≥4200 (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，请你写出x(单 位：kg)应满足的另一个不等式。(2)8x+4(10-x）≤72。 10.某弹簧测力计的测量范围是0~50N。小明未注意弹簧测力计的测量范围， 用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状。你知 道这个物体所受的重力在什么范围吗？ 10.大于50N。 第二章不等式与不等式组 55 >联系拓广 包含5m,用“≤”表示 11.在通过桥洞时，我们往往会看到如图(1)所示的标志，这是限制车高的标志。 在通过桥面时，我们往往会看到如图(2)所示的标志，这是限制车重的标志。 请用不等式分别表示通过该桥洞的车高x（单位：)的范围，以及通过该 桥面的车重y(单位：t)的范围。 包含10t,用“≤”表示 m 10t (1) (2) 11.（1)x≤5。 (第11题) (2)y≤10 12.利用不等式的基本性质证明：一个数加一个正数，所得的结果比原来的 数大。 12.证明：设这个数为a,正数为b。由正数的定义，可知b>0。根据不等式的基 本性质1，对b>0的两边同时加上a,可得a+b>a+0,即a+b>a。综上， 个数加一个正数，所得的结果比原来的数大。 56教材笔记数学八年级下册BS