第一章 整式的乘除 回顾与思考+复习题-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

回顾与思考 1.本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何 理解的？ 2.举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎样得到这些运算法则的？ 3.举例说明如何进行整式的乘法运算。 4.整式乘法公式有哪些？它们的特点是什么？ 5.举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式。 6.举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算。 7.用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行交流。 复习题 >知识技能 1.计算： (1)(-)2·(-2)月；（-)。 (2）(-a5)5;-a25。 (3)(a+b)3÷(a+b);(a+b)2。(4)(-a2·b)3;-a%。 (5)(-a)2·(a2)2;a。 (6)(y2)3÷y;1o (7)a+1.a-1(n>1);a2n(n>1)。(8）(-e2)2n。cm。 2.计算： (1)10÷101×10°；10。 (2)16×24;1。 (3)(号÷(-3)。号 3.一个正方体的棱长为2×10mm。 (1)它的表面积是多少平方米？ (2)它的体积是多少立方米？ 2.4×101m2。 8×103m3。 第一章整式的乘除 29 4.计算：》x2+ax+bx+abo 79x2-49y2。 (1)(x+a)(x+b); (2)(3x+7y)(3x-7y): (3)(3x+9)(6x+8); (4)（2y-2yr+):3xy: 18x2+78x+72。 xy2-6x2y2+3xy2。 3 (5)3a8.(-15a0);-5a。 (6)（4a3b-6a2b2+12ab3）÷2ab; 2a2-3ab+6b2。 (7）(a2bc)2÷ab2c;aco （8)（3mn+1)(3mn-1)-8m2n2。 22 m'n2-1。 5.计算： (1)10÷（103÷102);10。 (2)(x-yP(x-y尸（y二*：y。 (3)4×2×2-(n>1);22m+(n>1)。(4）(-x)3·x2-1+x2m·(-x)2;0。 (5)(y2·y3)÷(y·y);1 (6)x2·x3+x7÷x2;2。 (7)m3÷m2·m;m。 (8)a+(a2)4-(a2)2。a。 6.计算： ->2x6-12x3-6x4。 -→x2+2y+y2-2。 (1）(2x2)3-6x3(x+2x2+x); (2)(x+y+z)（x+y-z); (3)[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy;2。(4)a2(a+1)2-2(a2-2a+4)。 7.桌下列各式的值：>原式=+-子 9a+2a3-a2+4a-8。 (1)3x+(-3x+3)(2x-号y),美中x=2,y=-1:-合 ,>原式=-y (2)[（w+2)(y-2)-2+4],共中x=10,y=-25:寻 >原式=2xy-1 (3)x(x+2)-(x+1)2+2,其中x=25y=-25。-3 8.利用整式乘法公式计算： (2000+1)×(2000-1)(99+1)×(99-1) ->(2000+1)2 (1)20012;4004001。 (2)2001×1999;3999999。(3)992-1;9800。 (4)899×901+1;810000.(5)1232-124×122.1。 ->(123+1)×(123-1) 9.把下图左框里的整式分别乘（α+2b)，将所得的积写在右框相应的位置上。 (900-1)×(900+1) (a+2b) ·(a+2b) a+4ab+462 (a-2b) a2-462 (-a+2b) -a2+462 -a-2b) a2-4ab-46 (第9题) 30 教材笔记数学七年级下册BS 10.分别计算下图中阴影部分的面积。(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b） 3a+2b b(2a+3b)+2·2a·a a+2b 3b 2+0 (1)5a2+4ab。 (2)4a2+2ab+3b。 (第10题) 等式：(a+b)2=(a-b)2+4ab。 >数学理解 >验证：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2+4ab=a2-2ab+ b2+4ab=a2+2ab+b2,所以(a+b)2=(a-b)2+4ab。 11.如图，4个长为a、宽为b的小长方形围成了一 b> 个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积。 你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。 12.请在下列横线上填上适当的式子： (1）(2a+3b)(2a-3b)=4a2-962; (2）(2x+5y)2=4x2+20y+25y2; (第11题) 观察等号左右两边的式 (3)(x+2)(x+1)=x2+3x+2；子，边展开边我对应项 (4)（3x+4y）(x+2y）=3x2+10xy+8y2。 >问题解决 13.如图，我国自主研发的500m口径球面 射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之 称，它的反射面面积约为2.5×103m2; 一个11人制正规足球场的面积约为 7.14×103m2。“中国天眼”的反射面 面积大约相当于多少个11人制正规足 (第13题) 球场的面积（结果精确到1个)？35个。 2.5×103÷(7.14×103) 14.某种原子的质量约为0.00000000000000000000001993g,请用科学记数 法把它表示出来。1.993×1023g0 第一章整式的乘除 31 15.分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。 (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积；略。 (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2+3ab)的长方形。 略。 由此可知需要2个边长为a的正方 形和3个长为a、宽为b的长方形 （第15题) 边长为a的正方形有1个，边长为b的正方形有 9个，两边长分别为a和b的长方形有6个，这 可以由公式(a+3b)2=a2+9b2+6ab得到验证。 16.请在图中指出面积为（a+3b)2的图形，并指 出图中有多少个边长为α的正方形，有多少个 边长为b的正方形，有多少个两边长分别为a 和b的长方形，然后用相应的公式进行验证。 >(n++L2 (第16题) )分别为n和n+1 2 n2+(n+1)2 >联系拓广 -> 17.两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？ 若不相等，相差多少？不相等，首者北后者少4。 18.根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢)已经被耗尽，在 外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体。 如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩。 当这种坍缩使得它的半径达到施瓦西（Schwarzschild)半径后，其引力就 会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星 体—黑洞。施瓦西半径（单位：m)的计算公式是R=2,其中G= 6.67×101N·mkg2,为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：kg); 。3x10的，为先在臭空中的传满建定之许中开钟入 已知太阳的质量为2×1030kg,计算太阳的施瓦西半径。约为2964m。 19.整式乘法运算的研究思路是什么？整式乘法运算与幂的运算、数的运算之 间有什么联系？请撰写一篇小短文阐述你的观，点。略。 32教材笔记数学七年级下册BS