第1章 整式的乘除章末重点题型复习（20大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大2024版）七年级下册数学 第1章：整式的乘除章末重点题型复习 题型一 同底数幂的乘法及其逆运算 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）若，则（    ） A．8 B．15 C．35 D．53 4．（24-25七年级下·吉林·期中）如果，那么 ． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知，则的值为 ． 题型二 幂的乘方及其逆运算 1．（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 5．（1）已知273×94＝3x，求x的值． （2）已知10a＝2，10b＝3，求103a+b的值． 题型三 积的乘方及其逆运算 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 5．（2024春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 题型四 同底数幂的除法及其逆运算 1．（2025·安徽马鞍山·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，则的值为 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 题型五 零指数幂与整数指数幂 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·河南周口·阶段练习）计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是 ． 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅 花》，梅花的花粉直径约为 ，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ． 5．（24-25七年级下·江西抚州·期中）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为 ． 题型七 与幂有关的混合运算 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2)． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型八 整式乘法的计算 1．（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 整式乘法与看错问题 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，求a，b的值． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：(x3+ax2+1)÷(x+1)=x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值． 3．欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题：，由于欢欢错把前的加号抄成减号，得到的结果为，乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 (1)你能否知道式子中的，的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 4．（22-23七年级下·河南郑州·期中）小明计算一道整式乘法的题，由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)计算这道整式乘法的正确结果． 5．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 题型十 整式乘法与不含某项问题 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 2．（x2+px-2）（x2-5x+q）的展开式中，不含x3和x2项，则p-q的值是（　　） A．22 B． C．32 D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 题型十一 整式乘法与新定义问题 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 4．规定：对于依次排列的多项式，，，(,,,是常数)，当它们满足(是常数)，则称,,,是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式,,，因为，所以3，2，5，4是一组平衡数，2是该组平衡数的平衡因子． (1)已知1，2，5，6是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)当，，，是一组平衡数，当， ，请直接写出一组,的值； (3)当，，，ｄ之间满足什么数量关系，它们是一组平衡数，并说明理由． 题型十二 整式乘法与几何表示问题 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 3．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式． （1）请写出图1中的几何图形所表示的面积恒等式． （2）请用图2中的正方形与长方形（可重复使用）画出面积等于的长方形． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 题型十三 利用平方差公式计算 1．（24-25七年级下·广东茂名·期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 4．若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 5．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 题型十四 利用完全平方公式计算 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·河南周口·一模）计算的结果是 ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）直接写出结果： ， ． 题型十五 乘法公式表示的几何意义 1．我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 3．图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 4．将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（　　） A．（m+n）（m﹣n））＝m2﹣n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mm D．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 5．比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，CF为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分的面积是②（　　） A．①（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；②26 B．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；② C．①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；② D．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；②26 题型十六 利用乘法公式变形求值 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·二模）若，则 ． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 4．已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 题型十七 乘法公式的实际应用 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 2．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 3．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 5．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）． （2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立． （3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值． 题型十八 整式的除法 1．（2025·江西·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十九 整式的混合运算 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2) 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 4．（22-23六年级下·山东泰安·期中）计算下列各式． (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型二十 整式的乘除的化简求值 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值，其中，． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大2024版）七年级下册数学 第1章：整式的乘除章末重点题型复习 题型一 同底数幂的乘法及其逆运算 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）若，则（    ） A．8 B．15 C．35 D．53 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，掌握计算公式是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法运算可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，同底数幂相乘，先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8 题型二 幂的乘方及其逆运算 1．（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方运算依次判断选项即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，此选项错误； B．，此选项正确； C．，此选项错误； D．，此选项错误． 故选B． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算的应用，理解题意，掌握幂的乘方法则是关键；由题意知，经5个小时，1个细菌分裂成5个个细菌，即可得解． 【详解】解：由题意得：（个）； 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算．先计算幂的乘方，然后再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 5．（1）已知273×94＝3x，求x的值． （2）已知10a＝2，10b＝3，求103a+b的值． 【答案】（1）17； （2）24. 【分析】（1）先变形，再根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后求出x即可； （2）先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1）∵273×94＝3x， ∴（33）3×（32）4＝3x， ∴39×38＝3x， ∴317＝3x， ∴x＝17； （2）∵10a＝2，10b＝3， ∴103a+b ＝103a×10b ＝（10a）3×10b ＝23×3 ＝8×3 ＝24． 题型三 积的乘方及其逆运算 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算，正确应用运算法则是解题关键． 【详解】解：不能合并同类项，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握运用幂的运算法则成为解题的关键． （1）直接运用积的乘方法则计算即可； （2）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （3）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （4）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，灵活逆用积的乘方运算法则进行简便运算成为解题的关键． （1）直接逆用积的乘方运算法则即可解答； （2）先把原式写成可以用积的乘方运算法则的形式，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（2024春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 【答案】（1）ab.（2）.（3）. 【分析】（1）根据积的乘方的法则计算； （2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算； （3）根据积的乘方的法则计算． 【详解】解：（1）50x＝10x×5x＝ab； （2）2x； （3）20x． 【点评】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则． 题型四 同底数幂的除法及其逆运算 1．（2025·安徽马鞍山·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方．根据同底数幂的乘法，合并同类型法则及同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方注意计算可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不能合并，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方计算，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】解：（1）， ∴， ， ． （2），， ． 题型五 零指数幂与整数指数幂 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方的运算根据法则求出a、b、c,进而比较大小即可求解． 【详解】解：，，， 故， 故选：A ． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4．（22-23八年级下·河南周口·阶段练习）计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂，有理数的除法运算，掌握其运算法则是关键． 计算负指数幂，再根据有理数除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅 花》，梅花的花粉直径约为 ，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数：当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 4．（2025·四川成都·二模）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江西抚州·期中）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 题型七 与幂有关的混合运算 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先根据积的乘方和同底数幂的乘法和除法法则计算，再合并同类项即可； （2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂，积的乘方的逆运算，掌握以上计算方法是关键． （1）先去绝对值，负指数幂，零次幂，除法运算结果，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先算负指数幂的结果，再运用积的乘方的逆运算得到的结果，最后根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2)8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用，有理数的乘方，零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和同底数幂除法运算法则进行进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型八 整式乘法的计算 1．（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D 2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式运算法则． 根据单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算法则进行计算得出答案． 【详解】A．，选项正确，不符合题意； B．，选项错误，符合题意； C．，选项正确，不符合题意； D．，选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项进行化简； （2）计算单项式乘多项式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算单项式乘单项式，积的乘方，再合并即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，再合并即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型九 整式乘法与看错问题 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意列出代数式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：甲：，乙：， ∵， ∴， ∴，． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：(x3+ax2+1)÷(x+1)=x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值． 【答案】a=0，b=1． 【分析】由题意得出x3+ax2+1=(x+1)•(x2﹣bx+1)，利用多项式乘多项式法则计算，根据对应系数相等可得答案． 【详解】∵x3+ax2+1=(x+1)•(x2﹣bx+1)=x3+(1﹣b)•x2+(1﹣b)•x+1， ∴a=1﹣b，1﹣b=0 解得：a=0，b=1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 3．欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题：，由于欢欢错把前的加号抄成减号，得到的结果为，乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 (1)你能否知道式子中的，的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为，可知，于是①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得②，解关于①②的方程组即可求、的值； （2）把，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为， 那么， 可得①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的的系数，得到的结果为， 可知， 即， 可得②， 解关于①②的方程组，可得，； （2）正确的式子：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．（22-23七年级下·河南郑州·期中）小明计算一道整式乘法的题，由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）根据题意可得，应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得，由已知常数项相等可得，计算即可得出答案； （2）由（1）可知的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， 解得： （2）解： 5．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意： ， ∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是 ∴， ∴， ， ∵乙错把看成了，得到的结果是， ∴， ∴． （2）解：根据， 可知： 题型十 整式乘法与不含某项问题 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算．准确展开多项式的乘积是解题的关键． 先将两个多项式相乘展开，得到一个三次多项式，然后根据“不含x的二次项”和“一次项系数为5”这两个条件，分别·列出关于、的方程，求解出、的值，最后计算的值即可． 【详解】解： 因为展开式中不含x的二次项，所以，即， 又因为一次项系数为5，所以， 将代入，得到， 解得：， 将代入，解得：， 所以， 故选D． 2．（x2+px-2）（x2-5x+q）的展开式中，不含x3和x2项，则p-q的值是（　　） A．22 B． C．32 D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，根据题意列出算式，计算即可． 【详解】（x2+px-2）（x2-5x+q） =x4-5x3+qx2-5px2+px3+pqx-2x2+10x-2q =x4+（p-5）x3+（q-5p-2）x2+（pq+10）x-2q， 由题意得，p-5=0，q-5p-2=0， 解得，p=5，q=27， 则p-q=-22， 故选B． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则和不含某项就让这一项的系数为零是解本题的关键． 先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项系数等于零列式求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项可得，则该项系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， 由于结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：A． 题型十一 整式乘法与新定义问题 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴ ． 故答案为：3． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义将原式变形为，再利用平方差公式进行简便运算； （2）根据新定义将原式变形为，通过整理可得一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 所以当时，． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 4．规定：对于依次排列的多项式，，，(,,,是常数)，当它们满足(是常数)，则称,,,是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式,,，因为，所以3，2，5，4是一组平衡数，2是该组平衡数的平衡因子． (1)已知1，2，5，6是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)当，，，是一组平衡数，当， ，请直接写出一组,的值； (3)当，，，ｄ之间满足什么数量关系，它们是一组平衡数，并说明理由． 【答案】（1）-4；（2）b=1，c=-2（答案不唯一）；（3）当a+d-b-c=0时，a，b，c，d是一组平衡数．理由见解析． 【分析】（1）直接根据定义计算M的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为0，代入a=-4，d=3可得结论； （3）根据（2）可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1）∵1，2，5，6是一组平衡数， ∴M=（x+1）（x+6）-（x+2）（x+5）=（x2+7x+6）-（x2+7x+10）=-4； （2）∵a，b，c，d是一组平衡数， ∴（x+a）（x+d）-（x+b）（x+c）=M， M=x2+（a+d）x+ad-[x2+（b+c）x+bc] =（a+d-b-c）x+ad-bc， ∴a+d-b-c=0， ∵a=-5，d=4， ∴-5+4-b-c=0， ∴b+c=-1， 如b=1，c=-2； （3）当a+d-b-c=0时，a，b，c，d是一组平衡数．理由如下： 由（2）得：M=x2+（a+d）x+ad-[x2+（b+c）x+bc] =（a+d-b-c）x+ad-bc， ∴当a+d-b-c=0时，a，b，c，d是一组平衡数． 题型十二 整式乘法与几何表示问题 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案； （2）由（1）知绿化的总面积为，将，代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米， 当，时，原式， 绿化成本为100元/每平方米， 完成绿化工程共需要（元）． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积；代数式求值； （1）根据长方形面积减去两个边长为的正方形面积，即可求解； （2）将米，米，代入（1）中的结论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，实验操作区的面积为 （2）当米，米， 实验操作区的面积为平方米 3．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式． （1）请写出图1中的几何图形所表示的面积恒等式． （2）请用图2中的正方形与长方形（可重复使用）画出面积等于的长方形． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】（1）直接求得矩形的面积，然后再根据矩形的面积=各矩形的面积之和求解即可； （2）利用因式分解得出=（a+b）(2a+3b)，画出长为a+b，宽为2a+3b的矩形即可. 【详解】.(1) (2)如图： 4．（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2) ； ； ． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 题型十三 利用平方差公式计算 1．（24-25七年级下·广东茂名·期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式判断即可． 【详解】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查 了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 因为，，所以，得到，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式计算，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式，先在算式前面添加，通过连续用平方差公式计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 4．若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 【答案】4，8． 【分析】根据平方差公式，即可解答． 【详解】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4） ＝（x2﹣y4）（x2+y4） ＝（x4﹣y8）， 则m＝4，n＝8， 故答案为：4，8． 5．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【答案】（1）9x2﹣25a2b2；（2）x2﹣y4；（3）5x+9；（4）1+b2﹣a2﹣a2b2． 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解； （3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解； （4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算． 【详解】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 题型十四 利用完全平方公式计算 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列乘法公式运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用乘法公式，利用乘法公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项正确； C、，本选项错误； D、，本选项错误， 故选：B． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）若，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据 ，再判断、的关系即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算、完全平方公式等知识，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．根据多项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式分别进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴所有式子中，计算正确的只有算式④， 故选：A． 4．（2025·河南周口·一模）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）直接写出结果： ， ． 【答案】 249991 248004 【分析】本题考查了平方差公式，以及完全平方公式，第一个算式变形后，利用平方差公式化简即可得到结果；第二个算式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果． 【详解】解：； ． 故答案为：259991；248004 题型十五 乘法公式表示的几何意义 1．我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择． 【详解】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴选项A不符合题意； ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴选项B符合题意； ∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴选项C不符合题意； ∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【答案】A 【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可． 【详解】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b）， 图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 3．图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【答案】C 【分析】阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个小长方形的面积，四个小长方形的面积＝图1中的长2m、宽2n的长方形的面积，图2中的大正方形的面积＝（m+n）2，化简后求得阴影的面积． 【解答】解：方法一： 图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn， 图2的大正方形的面积＝（m+n）2， 图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和 ＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2． 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n）， ∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2． 故选：C． 4．将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（　　） A．（m+n）（m﹣n））＝m2﹣n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mm D．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 【答案】D 【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可． 【详解】解：图1中“大正方形”的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，图2中阴影部分的面积为m2﹣2mn+n2， 所以有（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2， 故选：D． 5．比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，CF为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分的面积是②（　　） A．①（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；②26 B．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；② C．①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；② D．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；②26 【答案】B 【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题． 【详解】解：①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2， 大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2， 因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 即（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab， ②设AC＝a，CF＝b， 因为AB＝8，S1+S2＝26， 所以a+b＝8，a2+b2＝26， 因为（a+b）2＝a2+b2+2ab， 所以64＝26+2ab，解得ab＝19， 由题意：∠ACF＝90°， 所以， 故选：B． 题型十六 利用乘法公式变形求值 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，把等号左边展开后整理为完全平方和公式即可得到m的值． 【详解】解： ， ∴． 故选：A． 2．（2025·广东深圳·二模）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将等式两边平方，得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a，b满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 4．已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值． 【答案】（1）；（2）2；（3）. 【分析】（1）把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可计算出ab的值； （2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣42； （3）a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（）2 ＝9 ． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （2）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （3）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 题型十七 乘法公式的实际应用 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 【答案】D 【分析】根据图形的拼接，可得出答案． 【解答】解：由拼图过程可得，长为（a+2）+a＝2a+2， 故选：D． 2．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】A 【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解． 【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34， 根据题意得：（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， ∴2ab＝30， ∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30， 故选：A． 3．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算后即可得出结果； （2）根据题意列出算式，化简后把a＝5，b＝2代入计算，即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2 ＝5a2+4ab﹣2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株； （2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2 ＝13a2﹣4ab， 当a＝5，b＝2时， 原式＝13×52﹣4×5×2 ＝325﹣40 ＝285， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗． 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把a＝2，b＝3时代入计算即可． 【解答】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米． 5．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）． （2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立． （3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值． 【分析】（1）根据题意可得，方法一：阴影部分的面积等于4个长为a宽为b的长方形面积，即可得出S阴＝4×ab＝4ab；方法二阴影部分面积等于长为a+b的正方形面积减去长为a﹣b的正方形面积即可得出：S阴＝（a+b）2﹣（a﹣b）2； （2）根据题意可得（1）中两次计算阴影部分的面积相等即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（a+b）2﹣（a﹣b）2根据完全平方公式进行计算可得a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2），即可算出答案； （3）由（2）中结论可得mn[（2m+n）2﹣（2m﹣n）2]代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得， 方法一：S阴＝4×ab＝4ab； 方法二：S阴＝（a+b）2﹣（a﹣b）2； （2）4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2． （a+b）2﹣（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2） ＝4ab； （3）mn[（2m+n）2﹣（2m﹣n）2]（12﹣4）＝1． 题型十八 整式的除法 1．（2025·江西·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式除单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·陕西汉中·一模）若，则括号里应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式的乘除法，根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， ∴括号里应填的单项式是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握多项式乘单项式乘法运算法则，是解题的关键．根据被除式除式商，求出结果即可． 【详解】解：被除式应该为： ． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，掌握其运算法则是关键．根据整式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 题型十九 整式的混合运算 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后，再合并同类项即可得到答案； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）根据完全平方公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（22-23六年级下·山东泰安·期中）计算下列各式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则，完全平方公式进行计算即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算以及零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握相关法则即可求解； （1）分别计算零指数幂和负整数指数幂即可； （2）利用整式的混合运算法则即可求解； （3）利用整式的混合运算法则即可求解； （4）利用整式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解:原式    题型二十 整式的乘除的化简求值 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式，多项式除以单项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再求解，，代入计算即可. 【详解】解： ； ∵． ∴，． ∴，， ∴原式． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$