第一章 3 乘法公式-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

乘法公式 计算下列各式： (1)(x+2)(x-2);x2-4。 (2)(1+3a)(1-3a);1-9a2。 (3)(x+5y)(x-5y）;x2-25y。（4)（2y+z)(2y-z)。4y2-z2。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子 吗？与同伴进行交流。 平方差公式的右 (a+6(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2边是平方的差， 不要把a2-b2与 平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b。(a-b)2混清了 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 )公式中a和b既可以是单项式，也可以是多项式 例1 利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(5-6x); (2)（x-2y）(x+2y）; (3)(-m+n)(-m-n).e 与公式中的字母 解：（1)（5+6x)(5-6x)=52-(6x)2=25-36x2 b对应，6x不是 单个戴字或字母， (2)(x-2y）(x+2y）=x2-(2y)2=x2-4y2; 利用平方差公式 (3)(-m+n）(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2。 展开计算时要加 括号。去括号后， 例2 利用平方差公式计算： 裁字和字母都要 进行平方运算 (1)(-4x-y)(-4x+); (2)(ab+8)(ab-8)。 解：(1)(-4x-y）(-4x+y）=(-4x)2-y2=6-: (2)(ab+8）(ab-8)=(ab)2-82=a2b-64。 (a-b)(-a-b)=(-b+a)（-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2或 尝试·思考 (a-b)(a-b)=-(a-b)(a+b)=-(a2-b2)=b2-a2。 如何计算(a-b)(-a-b)?你是怎样做的？ 平方差公式的其他变形如下。 (1)位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2。 (2)系数变化：（2a+3b)（2a-3b)=(2a)2-（3b)2=4a2-92。 (3)指数变化：(a2+62)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b。 18教材笔记数学七年级下册BS 随堂练习 1.计算： (1)（a+2)(a-2);a2-4。 (2)（3a+2b)（3a-2b);9a2-462 (3)（-x-1)(1-x);x2-10 (4)(-4k+3)(-4k-3)162-9 如图1-7，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形。 (1)请表示图1-7中阴影部分的 面积。a2-b2。 (2)小颖将图1-7中的阴影部分 ←b eb习 图1-7 图1-8 拼成了如图1-8所示的长方形，如何 (1)(2)表示的都 表示这个长方形的面积？（a+b)(a-b)。 一)是阴影部分的面积 (3)比较（1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ 因此相等。由此可 验证平方差公式 (4)对于图1-7阴影部分的面积，你还有其他计算方法 例3 利用平方差公式计算： (1)103×97; (2)118×122。 解：（1)103×97 (2)118×122 =(100+3)(100-3) =(120-2)（120+2) =1002-32 =1202-22 =9991; =14396。 当整体上不能用平方差公式时，可把特合条件 例4计算： 入的部分套入公式，通过拆项进行简便计算 (1)a2(a+b)(a-b)+a22; (2)(2x-5)'(2x+5)-2x(2x-3)。 解：(1)a2(a+b)(a-b)+a2b(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =a2(a2-b2）+a2b2 =（2x)2-52-(4x2-6x) =a4-a2b2+a2b2 =4x2-25-4x2+6x =a4; =6x-25。 第一章整式的乘除 19 观察·思考 (1)计算下列各组算式： 7×9=63 11×13= 143 79×81=6399 8×8=64 12×12=144 80×80=6400 (2)观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？ (3)请用字母表示你发现的规律。 对于相外的三个自然数，最小数与 最大数的乘积比中间裁的平方小1。 (a-1)(a+1)=a2-1。 随堂练习 1.计算： 704×696=(700+4)×(700-4)=7002-42=489984。 (1)704×696; (2)（x+2y)(x-2y）+(x+1)(x-1); (3)x(x-1)-(x-})(x+3)。-+1 ->2x2-4y2-10 0 计算下列各式： (1)(m+3)2;m2+6m+9。 (2)（2+3x)2.4+12x+9x2。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子 吗？与同伴进行交流。 用自己的语言叙述 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 这一公式！ (a+b)2=a2+2ab+b2。 口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央。 思考·交流 S大正形=(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。 ab 62 （1)你能用图1-9解释上面的公式吗？ (2)如何计算（a-b)2?你是怎样做的？与同伴 ab 进行交流。 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。 a 十eb习 图1-9 20 教材笔记数学七年级下册BS (1)(a-b)2+2ba2+2+2ab(a+b)2。 4ab (2)a2+b=（a+b)2+(a-b2 2 用自己的语言叙述 (3)ab=（a+b)2-(a-b)2 这一公式！ 4 (a-b)2=a2-2ab+b2。 语言叙述：两个裁的和（或差） 的平方，等于它们的平方和加 尝试·思考 上（或减去）它们的积的2倍， 请你设计一个图形解释这一公式。 这两个公式叫作完全平方公式 平方差公式和完全平方 以上两个公式称为完全平方公式。 公式都是重要的整式乘 法公式。 例5 利用完全平方公式计算： (1)(2x-3)2; (2)(4x+5y)2; (3)(mn-a)2。 解：（1)（2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9; (2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2; (3）(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2。 回顾·反思 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些 感悟？ 随堂练习 1.计算： 1x2+2xy+4y2。 4时+ 9m2-6mn+n2。 、 (1)(3+2)3; (2)(2g-月 (3)(-3m+n)2。 2.已知a+b=-3,求2a2+4ab+2b2的值。18。 ->可变形为2(a+b)2 第一章整式的乘除 21 阅读·思考 杨辉三角 我们已经知道(a+b)2展开后等于a2+2ab+b2,请你利用多项式乘 法法则将(a+b)3展开。进一步，你能展开(a+b)4,(a+b)卢吗？你 一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨 找找规律！ 如果将(a+b)”（n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小 排列，就可以得到下面的等式： (a+b)°=1，它只有一项，系数为1； (a+b)'=a+b,它有两项，系数分别是1,1； (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别是1,2,1； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项，系数分别是1,3,3,1。 如果将上述每个式子的各项系数排成如图1-10所示的形式，那么你 能发现什么规律？ 观察图1-10中的数，可以发现每一行的首末都是1， 并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行 21 两数的中间，且等于它们的和。按照这个规律继续写下去， 331 可以得到下面的数表： 图1-10 11 121 1331 14641 15101051 第n行有n个裁，前n行 1615201561 共有n(n+1个裁 2 你能根据这个数表得到(a+b)4,(a+b)的结果吗？利用多项式乘 法法则验证你的结果是否正确。 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b。 a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 22 教材笔记数学七年级下册BS 上述数表在我国南宋数学家杨辉(13世纪)1261年的著 作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学 家贾宪（约11世纪上半叶)著的《黄帝九章算经细草》中的 “开方作法本源”图（如图1-11)，因而人们把这个数表叫 O⊙L0E 作杨辉三角或贾宪三角。在欧洲，这个数表叫作帕斯卡三角形。 帕斯卡（Blaise Pascal,1623一1662)是1654年发现这一规 律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600多年。 图1-11 计算一些数的平方时，根据数的特 点，可把已知数拆成两数和或差的 怎样计算102,197更简单呢？ 形式，运用完全平方公式进行计算。 (1)1022=（100+2)2 (2)1972=(200-3)2 =1002+2×100×2+22 =2002-2×200×3+321 =10000+400+4 =40000-1200+9 =10404; =38809。 你是怎样做的？与同伴进行交流。 例6计算： (1)(x+3)2-x2; (2)(a+b+3)(a+b-3); (3)(x+5)2-(x-2)(x-3); (4)[(a+b)(a-b)]2。 解：(1)（x+3)2-x2 (2)（a+b+3)(a+b-3) =x2+6x+9-x2 =[(a+b）+3][(a+b）-3] =6x+9; =(a+b)2-32 给a+b 结果能展开的要展开 =a2+2ab+b-9; 加上括 号，将其 (3)(x+5)2-(x-2)(x-3) (4)[(a+b)(a-b)门者作 =x2+10x+25-（x2-5x+6) =(a2-b2)2 个整体 =x2+10x+25-x2+5x-6 =a-2a2b2+b4。 =15x+19; 利用完全平方公式计算时， 去括号后各项都要变号 将a2和b2分别看作一个整体 第一章整式的乘除23 观察·思考 习点数为(m+n)月 7点戴为m 观察图1-12，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、 n×n点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。 点裁为n2前者比后者< (m+n)2=m2+2mn+n2。← ●●● 多2mn个。 ● ● ● ●● ● ● ● ● 1×1 2×2 3×3 图1-12 随堂练习 可将a-b看作一个整体 1.利用整式乘法公式计算： (1)962;9216。 (2)(a-b-3)(a-b+3)。 a2-2ab+b2-9 (100-4)2 习题1.3 >知识技能 1.计算： (1)(x+7y）(x-7y);x2-49y2。(2)(0.2x-0.3)(0.2x+0.3); 0.04x2-0.09。 (3)(mn-3n)(mn+3n);mn2-9n2.(4)（-2x+3y）（-2x-3y）,; 429y2。 (5)(-子x-2y)(-1x+2y);(6)(5m-n)(-5m-n)n2-25m2。 2.计算： 62-4。 可先将式子转化为(a+b)(a-b)】 (1）(2m+3)(2m-3);4m2-9。 的形式，再利用平方差公式计算 (2)x(x+1)+(2-x)(2+x);x+4。 (3)(3x-y）(3x+y）+y(x+y）;9x2+xyo (4)(a+号b)(a-2b)-(3a-2b)(3a+2b）。-8a2+5。 4 24 教材笔记数学七年级下册BS 3.计算：4x2+20y+25y2。 3m*1 -m2、 >42+4t+1。 (1)(2x+5y)2 +、 2 3m-乃： （3)(-2t-1)2; 35 2万 1003 ac'd-cd+ 。 (4)(3x+0(5)(7b+2 (6)(-d+2。 y49a2b2+28ab+ 4.一个圆的半径为r(r>2)cm,半径减少2cm后，这个圆的面积减少多少？ 5.计算： m72-T(r-2)2=4Tr-4T(cm2)。←1 (1)(2x+y+1)(2x+y-1);,(2)(x-2)(x+2)-(x+1)（x-3); 4x+4xy+y 2x-1 (3)(ab+1)2-(ab-1)2, (4)(2x-y)2-4(x-y）(x+2y)。 4ab。 9y2-8xyo >问题解决 6.利用平方差公式计算： (1000+7)×(1000-7)=999951。 (110-2)×(110+2)=12096。 (1)1007×993;- (2)108×112。-- 7.一个底面是正方形的长方体，高为6cm,底面正方形的边长为5cm。如果 它的高不变，底面正方形的边长增加acm,那么它的体积增加多少？ (60a+6a2)cm。 8.利用完全平方公式计算： (1)632;(60+3)2=3969。 (2)9982。(1000-2)2=996004。 9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是 否也可以用几何图形直观解释呢？请举例说明你的思考。略。 >联系拓广 10.计算： (1)(a+b)(a-b);a2-b2.(2)(a+1)(a-1)(a2+1)oa4-1。 11.观察下列各式： 152=225,252=625,352=1225,…末尾两位数是25。 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什 么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例。举例略。 →设个位数是5的两位数为10a+5,则(10a+5)2= 100a2+100a+25,由此可知末尾两位数是25。 12.计算：(a+b)4。a+4ab+6a2b2+4ab+b。 ※13.计算：(a+b+c)2。a2+b2+c2+2ab+2ac+2bco 第一章整式的乘除 25