第一章 2 整式的乘法-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

整式的乘法 一个长方形操场被划分成四个不同的小长 26 3a 方形活动区域，各边的长度如图1-2所示。如 A B 何计算整个操场的面积？你是怎样想的？与同 伴进行交流。 D 尝试·思考 小明认为可以先分别计算四个小活动区域 图1-2 的面积，再求整个操场的面积。你能求出A, B,C,D四个区域的面积吗？请解释你的运算过程。 S区战A=2ab,S区孩B=3a2,S区我c=6品2，S区我D=9ab。 操作·交流 >abc2。>6xy。 》-10a3b。 (1)你能计算abc·bc,3x2y·2xy,5a22·(-2ab)吗？ (2)一般地，如何进行单项式乘单项式的运算？与同伴进行交流。 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其 余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与单项式相乘的步骤：(（1)把系数（带符号)相乘。 (2)按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，把相 例1 计算： 同字母的幂分别相乘。(3)把其余字母连同它的指数写下来， 作为积的因式。 (1）2xy2·3y9 1 (2)-2a2b3·(-3a); 相同字母的幂分别相乘 (3）7xy2x·（2yz)2; 系裁相乘 (4)(-3ab)…号e(-2abce 把其余字母 解：(02背w=2x)·a)·=号的，婆年染 连同它的指 (2)-2a2b3.(-3a）=[(-2)×(-3)]·(a2a)·b=6a363; (3)7xy2z·（2yz)2=7y2z·4xy22>系裁相乘时，要带上特号 =（7×4)·（xx2）·(y2y2）·(z2)=28x3y2; 12 教材笔记数学七年级下册BS (4)(-3ab)·3ac·(-2c) [(-3)×号×(-2)]·(aia)·(6）·(ce)=2a8 单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用 观察·思考 如图1-3，一幅边长为am的正方形风景画，上 下各留有子am的空白区域作装饰，中间画面的面 积是多少平方米？a(a-1a-1a)=1a2(m2), 4 4 -a- 或a2-1a2-12=1a2(m2)。 图1-3 随堂练习 1.计算： (1）5x3·2x2y;10xyo (2）-3ab·(-462);12ab。 (3)3ab·2a;6a2b。 (4)y%·2y22;2y2。 (5)(2x2y)3.(-4xy2）;-32x7y。 (6)ab6m0c(-ac2)2。 (1)如图1-4，在计算操场面积的问题中，如 —2b 3a 何计算A和B组成的长方形区域的面积？你是怎 A B 么计算的？ 图1-4 (2)小明认为，这个长方形的面积既可以表 示为a(2b+3a)，,也可以表示为2ab+3a2,于是a(2b+3a）)=2ab+3a2。你 能用运算律解释吗？ 操作·交流 (1)你能计算ab·(abc+2x),c2.(m+n-p),(x2y+xy2)·（-xy)吗？ a'bc+2abxo c'm+e'n-cpo y-y。 (2)一般地，如何进行单项式乘多项式的运算？与同伴进行交流。 第一章整式的乘除 13 单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多 项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘的步骤：（1)利用分配律，将其转化为 例2 计算： 单项式乘单项式。(2)将单项式与单项式相乘的结果相加。 (1)2ab(5ab2+3a2b); (2)(号ab2-2ab)·7ab; (3)5m2n（2n+3m-n2); (4)2 (x+y+x).xyzo 解：（1)2ab(5ab2+3ab)->单项式与多项式的每一项分别相乘 =2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a2b+6ab2; (2)(号a8-2ab)·2ab =号a6…b+(-2b)·7ab=}a-a: (3)5m2n(2n+3m-n2)>计算时要带上每一项前面的符号 =5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(-n2) =10m2n2+15m3n-5m2n3; (4)2(x+yz+xy:)·xy电可以等子(x+y2+y2)·2y =（2x+2y2+2y2)·yz7 =2x·yz+2y2z·xyz+2xy223·xyz =2x2yz+2xy2+2x2y32。 尝试·交流 2a2±5ab+2b2。 x2-多+y-y0 a3-a26-ab2+b。 (1)如何计算(2a+b)(a+2b),(x+y)(x-1),(a2-b2)(a-b)? 你是怎么做的？ (2)一般地，如何进行多项式乘多项式的运算？与同伴进行交流。 (1)多项式与多项式相乘，结果仍是多项式。 (2)计算过程中若有同类项，需合并同类项，将结果化为最简形式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加。 14 教材笔记数学七年级下册BS 例3计算： -x与0.6-x (1)(1-x)(0.6-x);的各项相乘(2)(2x+y)(x-y)。 解：(1)(1-x)(0.6-x)个 (2)（2x+y）(x-y) =1×0.6-1·x-x·0.6+x·x =2x·x-2x·y+y·x-y·y 1与0.6-x =0.6-x-0.6x+x2 =2x2xy+x 的各项相乘 =0.6-1.6x+x2;合并同类项 二1 =2x2-y-y2。合并同美项 观察·思考 (1)如图1-5，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为若xm 的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米？(a2-1ax)m2。 中间画面的《 宽=a- -X·2 7画面的长=a-2x 画面的宽= b-2x a a 图1-5 图1-6 （2)如图16，一幅长为am、宽为bm的长方形风景画，画面的四周留有空白 区域作装饰，其中四角均是边长为x的正方形，正中间画面的面积是多少平方米？ 随堂练习 (ab-2bx-2ax+4x2）m2。 1.计算： (1)a(a2m+n）;am+ano (2)b2(b+3a-a2);b2+3ab2-a2z。 (3)xy(号y-1);2y-ty.(4)4(e+f2a)·efa4ed+4eff。 2.计算： ax+2bx+ay+2by。 (1)(x+y)(a+2b); (2)(2a+3)(36+5): 3ab+10a+9b+15。 (3)(2x+3)(-x-1)。-2x2-5x-3。 第一章整式的乘除 15 习题1.2 >知识技能 1.计算： (1)4xy·(-2y3）;-82y4。 (2）a3b·abc;a4bc (3)2x3·（-xw)2;2xy。 (4)号对·音：子。 (5)-y2z3·(-x2y)3;xyz。 (6)-ab3.2abc2.(a2c)3。-2a8bc5。 2.计算： 先写成（x-y)(x-y)的形式， 再用多项式乘多项式的法则计算 (1)5x(2x2-3x+4);10x3-15x2+20x.(2)月-6x(x-3y）;-6x2+18xy。 (3)-2(3b+6);-b-2。(4)(号-6)7 y-3xy。 (5)(-2m-1）(3m-2);6m㎡+m+2.(6)(x-y22-2y+} 3 2 3.分别计算下面图中阴影部分的面积。 可先将阴影部分分割成两个小长方 形，再列式求和；也可光将阴影部 用含a的式子分< 分补成一个大长方形，再列式求差 别表示出大的半 圆和小的半圆的 面积，二者的差 就是阴影部分的 a 面积 b 4.如图所示。 (1) (2) 3 (第3题) 32 Ta。 at+bt-t2。 >数学理解 C 4.请你用图形直观解释a(b-c)=ab-ac。 2y >问题解决 S卫生间=xy 卫生 间 卧室 5.(1）一套住房的部分结构如图所示（单位：m),这套 厨房 S房三2xy 房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖， 客厅 至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价 S8斤=8xy ->11xy m 4y 格是a元m2,那么购买所需地砖至少需要多少元？ (第5题) ->11axy元o 16教材笔记数学七年级下册BS (8xh+12yh)m2。 (2)已知（1)中房屋的高度为hm,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸， 那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是b元m,那 么购买所需壁纸至少需要多少元（计算时不扣除门、窗所占的面积）？ （8xbh+12ybh)元。← 客厅和卧室的墙壁都只有 4个侧面需要贴壁纸 6.下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有多少枚棋子？ 先根据各个图形中的棋子总数 (n2+n)枚。 与行数、每行的棋子裁之间的 ●●0●●4×5枚 关系我出规律，再列式计算●●。● 。o●0●个 ●● ●●000. 0000● o00e、oooo● ￥①② ③ ④7.(1)(10a+4)(10a+6) 1×2枚 2×3枚（第6题）3×4枚 =100a2+100a+24 =100a(a+1)+24 (a为非负整数)。 7.（1)观察：4×6=24,14×16=224,24×26=624,34×36=1224，… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用(1)中的规律计算124×126。 (2)124×126 =100×12×(12+1)+24 (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例。=15624。 （3)知①13×17=221,23×27=621,33×37=1221， 其中规律：（10a+3)(10a+7)=100a(a+1)+21（a为非负整数)。 ②12×18=216,22×28=616,32×38=1216， 其中规律：(10a+2)(10a+8)=100a(a+1)+16(a为非负整数)。 >联系拓广 ※8.计算：（a+b+c)（c+d+e)。 ac ad+ae bc+bd+be c2+cd+ceo 第一章整式的乘除 17