第一章 1 幂的乘除-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

第 章 整式的乘除 比外星与地球的距离约为4.22光年 光在真空中的传播速度大约是3×103m/s,比邻星发出的光到达地球大约 需要4.22年，它距离地球有多远？十位数字相同、个位数字之和等于10的两 个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数的 乘积作为积的后两位。例如，79×71=5609。你能解释其中的道理吗？ 本章将在整式加减运算的基础上，继续研究整式的乘除运算，并利用整式 的运算解决一些实际问题。你将经历由特殊到一般的推理过程，理解运算法则 及其道理，提高运算能力，建立形与数的联系，感悟几何直观的作用，逐步养 成重论据、合乎逻辑的思维习惯。 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 3×10m/s 7×(7+1)=56 平 79×71=5609 金 9×1=09 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 。本章是按照怎样的顺序研究整式乘除的？ 管总结乘法公式有什么意义？这些公式是如何得到的？它们与整式运 算的法则有怎样的关系？乘法公式是多项式乘法法则在特殊情形中 应用的结果，由多项式乘法法则得到乘法 公式，是由一般到特殊的认识过程 幂的乘除 n个相同的因数a相乘的积记作a”,这种运算叫作乘方，乘方的结 果叫作幂。在d”中，a叫作底数，n叫作指数(n位于底数a的右上角) 光在真空中的传播速度约为3×103/s。太阳系以外距离地球最近的恒星 是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。 一年以3×10s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 距离=速度时间 小颖认为，比邻星与地球之间的距离大约是 3×108×3×10×4.22=37.98×(108×10)（m)。 可是108×10？等于多少呢？ 尝试·思考 1.计算下列各式： (1)102×103;（2)103×108; (3)10m×10”（m,n都是正整数)。 你发现了什么？ 2.2”×2”等于什么？（号）严×（号）》”和(-3)×(-3)呢？(m,n都是正整数) 尝试·交流 如果m,n都是正整数，那么a”·a”等于什么？为什么？与同伴进行交流。 ?a可以是单项式，也可以是多项式 am·a=(a·a·…·a）·（a·a·…·a）=a·a·…·a=amtn, m个a n个a (m+n)个a 即 同底裁幂的乘法与整式的加法不能混淆，如a3+a=a是锴误的 am·a=am"(m,n都是正整数)。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ①在本章中，如果没有特别说明，幂的指数中的字母都是正整数。 2 教材笔记数学七年级下册BS 例1 计算小先痛定式子中的底悬和指载，再根据“同底 悬幂相乘，底悬不变，指裁相加”计算 (1)(-3)7×(-3)6; (2)(品)'× (3)-x3·x; (4）b2m.b2m*1。 解：(1)（-3)7×（-3)6=(-3)76=(-3)3； (2)(市x=(品m(击兴 (3）-x3·x5=-x3+5=-x8; (4）b2m·b2m1=b2m*2m+1=b4n+1。 方法不唯一，如 思考·交流 am·a"·d a”·a·d等于什么？为什么？与同伴进行交流。=(a·a）·d心 ->=an·ad 二amintp 例2光在真空中的传播速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需 要5×102s。地球距离太阳大约有多少米？ 解：3×108×5×102=15×1010=1.5×101(m)。 速度← →时间 )不要漏单位 因此，地球距离太阳大约有1.5×10”m。 随堂练习 1.计算：→同底发幂的乘法法则的使用条件：(1)底表相同。(2)乘法 (1)52×5;59。 (2)7×73×72;7。 (3)-x2·x3;-x5。 (4)(-c)3·(-c）m。(-c)3*m。 2.2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以1.25× 10”次s的峰值计算能力和9.3×1016次s的持续计算能力，第三次名 列世界超级计算机排名榜单TOP500第一名。该超级计算机按持续计算 能力运算2×102s可做多少次运算？1.86×1019次。 3.解决本课提出的比邻星与地球之间的距离问题。3.798×1016m。 第一章整式的乘除 3 如图1-1，地球、木星、太阳可以近似地看成球体。木星、太阳的半径分 别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？ 木星 球的体积公式是 地球O =号m,其中 V是球的体积，T 太阳 是球的半径。 图1-1 木星的半径约为地球的10倍，它的体积约为地球的103倍。 太阳的半径约为地球的102倍，它的体积约为地球的(10)3倍。那么， 你知道（102)3等于多少吗？ 尝试·思考 (62)4=6×62×62×62=62*22*2=6×4 1.计算下列各式，并说明理由g(a2)=a222=a2×3。(a”)2=am=a2。 (1)(62)4; (2)(a2)3; (3)(am)2。 2.如果m,n都是正整数，那么（a)”等于什么？为什么？ n个am n个m (a)”=a·am…·a=a+mttm=am, 即 )读作“a的m次幂的n次方” (am)”=amm（m,n都是正整数)。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 推广：[(a")门P=am(m,n,p都是正整数)。 例3 计算： (1)(102)3; (2)(b)5; (3)(a)3; (4)-（x2)"; (5)(y2)3·y (6)2(a2)5-(a3)4。 4 教材笔记数学七年级下册BS 解：（1)(102)3=102x3=10; (2)(b5)5=b5x5=b25; (3）(a)3=a3=a3; (4)-（x2)m=-x2m=-x2m; (5)(y2)3.y=y2x3·y=y·y=y; (6)2(a2)6-(a3)4=2a2x6-a3x4=2a2-a2=a2。 式子中同时含有乘法和乘方运算时， 要先算乘方，再算乘法 随堂练习 1.计算： (1)（103)3;10。 (2)-(a2)5-a。(3）(x)4.x2。x4。 2.已知x=2,求x2”的值。4。 >(x)2 幂的乘方的逆用：am=（am)”=（a”)m(m,n都是正整数)。 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km,它的体积大约是 多少立方千米？ 根据球的体积公式，地球的体积 V=号m7=专π×(6×103(km)。 那么，(6×103)3等于多少呢？ (6×103)3=62×(103)3=216×10=2.16×10"。 尝试·思考 1.完成下列各式，并说明理由。 (1)(3×5)4=3(4)×54); (2）(3×5)m=3m)×5m)。 2.如果n是正整数，那么(ab)"等于什么？为什么？ (ab)"=(ab)·(ab)·…·(ab) n个ab 0○ 底裁是乘积的形式 你能说明理由吗？ =（a·a·…·a）·（b·b·…·b) n个a n个b 运用了乘法的交换律与结合律 =a"b",--------3 运用了同底数幂的乘法法则 第一章整式的乘除 即 积的乘方的逆用： (1)ab=(ab)P(n是正整数）。(2)abc.…=(abc…)P(n是正整数)。 （ab)”=a"b”（n是正整数)。 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方的易储点： 网计笋：轮客夏集复拿1叶，不可发 (1)(3x)2; (2)(-2b)5; (3)(-2xy)4; (4)(3a2)”。 解：（1)（3x)2=32x2=9x2; （2)(-2b)5=(-2)6=-32b; (3)（-2y)4=（-2)4xy=16xy; (4)(3a2)=3”(a2)r=3a2”。 底製中含负号时，带负号进行乘方 回顾·反思 回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究 过程？这些运算与数的运算有什么联系？你还想探究幂的什么运算？ )这些运算与数的运算的意义、原理是一致 随堂练习 的，它们是裁的相关运算的抽象化、一般化 1.计算： (1)（-3n)3;-27n3。 (2）(5xw)3;125xy。 (3)-a3+(-4a)2a。15a3。 2.解决本课提出的地球的体积问题(T取3.14)。9.0432×10km3。 种液体每升含有102个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家 进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死10°个有害细菌。要将1L液体中的有 害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？你是怎样计算的？ >1012÷10。 尝试·思考 1.计算下列各式，并说明理由(m,n都是正整数，且m>n)。 (1)102÷10°；103。 (2)10m÷10;10m-"。 (3)(-3)m÷(-3)”。(-3)m-。 6 教材笔记数学七年级下册BS 2.如果m,n都是正整数，且m>n,那么a÷a等于什么？你是怎么得 到的？ m个a 同底数幂的除法运算与同底 a"÷a”= a"a·…·a a"a……a =a°a"·a=am-n。 数幂的乘法运算互为逆运算。 n个a (m-n）个a a÷a=am-"(a≠00，m,n都是正整数，且m>n)。 同底数幂相除 底数不变，指数相减。 90不能作除数，否则除法无意义，因此a≠0 例5计算： 当底数是乘积的形式时，可将其看成一个整体进行计算 (1)a7÷a （2)（-x)6÷(-x)3; (3)(y)4÷(y); (4)b2m+2÷b2。 解：（1)a7÷a=a74=a3; [x（n为偶裁)， (2)(-x)6÷(-x)3=(-x)6-3=(-x)3=-x; -x”（n为奇数)》 (3)（y)4÷(y)=（xy)41=(y)3=xy; (4）b2m2÷b2=b2m+2-2=b2m。 思考·交流 1 1 1o 722。 1。 72 (1）计算：23÷2,23÷2，a3÷a3,a÷a。 3 3 (2)要使得当m=n或m<n时，a"÷a”=am-n（a≠0，m,n都是正整数) 仍然成立，(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示？ (3)比较（1)(2)各式的对应结果，你有什么发现？与同伴进行交流。 我们规定： 任何非零裁的p次幂(p是正整裁)， 都等于这个数的p次幂的倒数 任何建素美的。-1(a≠0)，。7=7(a≠0，P是正整数)。 零次幂都等于1 零次幂与负整数次幂的底裁既可以是单项式，也可以是多项式，但是都不能为0 有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m,n就 从正整数扩大到全体整数了，即 am·a”=amn,a÷a”=am-n（a≠0，m,n都是整数)o ①在本章中，当除式含有字母时，字母均不为0。 第一章整式的乘除 例6 用小数或分数表示下列各数： (1)103; (2)7×82; (3)1.6×104。 解： (1)10=立=0=001；(2)7×8=×京=6 (3)1.6×10=1.6×0=1.6×0.0001=0.0016 零次幂的运算 》负整裁次幂的运算 尝试·思考 有的细胞直径只有1微米(um),即0.000001m; 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(s),即0.000000001s; 一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg。 你能用负指数表示这些数吗？ 用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数 法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。例如， 00001=0=1×10 0000001=0=1×10, 0.00000000000000000000000002657=2.657×- =2657×10%。 一般地， )从左数起第一个非零数前 面的0的个数的相反裁 一个小于1的正数可以表示为a×10'的形式，其中1≤a<10,n是 负整数。 从左数起第一个非 零裁后面加上小数 点后得到的裁 大于-1的负数也可以用类似的方法表示，如-0.00000256可以表示成 -2.56×106。 →用科学记数法不仅可以表示小于1 随堂练习 的正数，还可以表示大于-1的负裁 1.计算： (1)x2÷x4;x。 (2)(-y)3÷(-y)2;-y（3)-(÷k);-1。 (4)(-r)5÷r4;-r。(5)m÷m°；mo (6)(mn)5÷(mn)。mn 8 教材笔记数学七年级下册BS 2.1个电子的质量约为0.000000000000000000000000000000911kg, 请用科学记数法表示这个数。9.11×10引kg0 习题1.1 >知识技能 1计算：>利用同底装幂的乘法法则计算 (1)c·c";c2。 (2)104×102×10;107。 (3)(-b)3·(-b)2;-b。 (4)-b3.b2;-b。 (5)xm-1·xm1(m>1);x2m(m>1)。(6)a·a3·a。a4。 2.已知a"=2,a=8,求amt"m。amn=am·a”=16。 3.计算：心利用幂的乘方法则计算 ()[(号]3,7 (2)-(b5)2;-b。 (3)(y2)2;y"。 (4)(x3)3n。x9 4.计算：心晚有乘方又有乘法或减法的，先算乘方，再算乘法或减法 (1)-p·(-p)4;-p5。 (2)(a2)3.(a3)2;a2。 (3)(t)2·t;2m1。 (4)(x4)6-(x3)8.0。 5.计算： (1)(36)2;962。 (2)-(ab)2;-a2.。 (3)(-4a2)3;-64a。 (4)（y223)3。y29。 6.计算： (1)(y2)m;xy4m。 (2)-(p2q)";-p2nq。 (3)（xy3)2+(y);xy+xym。 (4)(-3x3)2-[(2x)2]3。-55x6。 7.计算： 当除数的幂的指数是 1)2:264.质时指数相减有(2)(-2÷(-多月器 (3)a÷;。再相藏。去括号时。 6要先给减裁加上括号 (4)(-x)7÷(-x);x。 (5)a4÷a;a2。括号内的特号要变号(6)61÷6；6m。 第一章整式的乘除 9 (7）5m+1÷53m1;52n。 (8)9÷92.1 1o 8.计算： (1)(号丹1. (2)3；7 (3)52；25 (4)1.3×105;0.000013。 (5)73÷75;49。 (6)3÷39287 (7)(3)5÷(2)2128。 (8)(-8)°÷(-8)2.64。 9.用科学记数法表示下列各数： (1)0.007398;7.398×103。 (2)0.0000226;2.26×105。 (3)0.0000000000542; (4)0.0000000000000000000001994。 5.42×1011 1.994×102 >数学理解 10.下面的计算是否正确？如有错误请改正。 (1）a3.a2=a;借误，a。 (2)b4·b4=2b4;酷误，b8。 (3)x5+x5=x1;酷误，2x。 (4)y2·y=y；正确。 (5)（x3)3=x5；错误，x。 (6)a6·a=a24；错误，a10。 (7）(ab4)4=ab8;错误，ab16。 (8)（-3p9)2=-6p2g。借误，9p2g2。 11.请你用几何图形直观地解释(3b)2=9b2。图略。 12.下面的计算是否正确？如有错误请改正。 (1)a6÷a=a；错误，a。 (2)6÷b3=b2;腊误，b。 (3)a0÷a°=a;正确。 (4)（-bc)4÷（-bc)2=-b2e。 错误，b2c2。 >问题解决 13.在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3× >9.6×10 108kg的煤所产生的能量。我国约960万km2的陆地，一年从太阳得到的能 量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量（结果用科学记数法表示）？ 3.1.3×108×9.6×10=1.248×105(kg)。 14.某种细菌每分钟由1个分裂成2个 (1)经过5min,1个细菌分裂成多少个？这些细菌再继续分裂tmin,共分 2个。← 1个蜘菌经过5min分裂成的细菌 10 教材笔记数学七年级下册BS