第五章《图形的轴对称》——问题解决策略：转化（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦图形的轴对称，核心解决利用轴对称转化策略求同侧两点到直线上一点的线段和最短问题。通过古希腊海伦饮马故事导入，从实际问题抽象为数学模型，结合知识回顾（两点之间线段最短、异侧两点问题）搭建学习支架，引导学生逐步掌握转化方法。 其亮点在于以“转化思想”为主线，通过“分析问题—寻找转化—实施转化—推理求解”四步法，培养几何直观与推理能力，如将军饮马问题中作对称点化同侧为异侧，体现模型意识。课堂小结系统总结核心模型与步骤，学生能提升问题解决能力，教师可依托实例高效开展教学。

问题解决策略：转 化 第五章 图形的轴对称 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 进一步巩固轴对称的基本性质，理解轴对称变换可实现点的位置转化，且不改变线段长度.掌握利用轴对称转化，解决同侧两点到直线上一点的线段和最短问题，能规范完成作图、推理并说明依据. 能识别简单变式中的转化模型，初步运用转化策略解决同类几何问题. 经历“实际问题—数学抽象—转化建模—推理论证—总结策略”的探究过程，提升几何直观与逻辑推理能力.体会转化、化归、数形结合、建模数学思想，学会用已有知识解决陌生问题.归纳轴对称问题中“转化策略”的一般解题步骤，形成规范解题思维. 通过探究活动，感受概率计算的简洁美和数学模型的普适性；在小组合作中培养交流能力；了解概率的数学史，感受数学文化的魅力. 知识回顾 轴对称性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿＿ ； （2）如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线＿＿＿＿＿，那么这两个图形关于这条直线对称。 垂直平分 （3）对称点到对称轴上任意一点的 相等. 垂直平分线 距 离 P1 P M N C ∟ A B （1） 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ ① ② ③ 知识回顾 两点之间,线段最短 (2)如图，A、B两点在一条直线MN异侧， 在MN上求一点P，使得PA+PB最小 P A B M N 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求点。 为什么这样做就能得到最短距离呢？ 选走AB路最近 两点之间,线段最短 导入新课 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ ——今天我们学校借助轴对称，用转化策略破解难题 B A l 新知探究 探究点1 分析问题（理解问题） 议一议 如图 ，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短? 大门 车间 道路 (1)如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题? A B l C 已知直线l，同侧两点A、B，在l上找一点P，求AC+CB的最小值。 在已知直线上找寻一点，使得该点到另两个已知点的距离之和最短的问题. 新知探究 探究点2 寻找转化（拟订计划） 议一议 (1)你以前遇到过类似的问题吗?关于“最短”，你有哪些认识? 两点的所有连线中，_______最短. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短. 线段 垂线段 (2)下面这两个问题有什么区别和联系? A B l C 图① A B l C 图② 点A，B在直线l 的同侧 点A，B在直线l 的异侧 解决的问题相同：都是要求在直线l 上找一点C，使得AC+BC最小。 新知探究 探究点2 寻找转化（拟订计划） 议一议 (3)下面图①问题如何解决？ A B l C 图② 点A，B在直线l 的同侧 A B l C 图① 点A，B在直线l 的异侧 解决方法： 连接AB,线段AB与直线l的交点C ，就是所求点。 理论依据：两点之间,线段最短 直接连接 A、B 两点，发现线段AB完全在直线l上方，与直线l没有交点。 能否将同侧转化为异侧？ 新知探究 探究点3 实施转化（实施计划） 议一议 （5）哪种图形变换能改变点的位置，且不改变与直线l上点的连线段的长度？ A B l C 图② 点A，B在直线l 的同侧 A B l C 图① 点A，B在直线l 的异侧 (4)下面图②问题图形如何转化为图①问题图形？ 改变其中一个点的位置，将同侧转化为异侧 B 关于某条直线成轴对称的两点与对称轴上任意一点的距离都相等 作点B关于直线的对称点B′， CB=CB′ （6）作点B关于直线的对称点B′，CB和CB′有何数量关系？ 新知探究 探究点3 实施转化（实施计划） 议一议 A B l C 图② B′ （7）有了点B关于直线的对称点B′，问题“在直线l 上找一点C，使得AC+BC最小”可以转化为什么问题？ ——转化为“在直线l 上找一点C ，使得AC+CB ′最短.” 直接连结A、B ′，线段AB与l的交点就是所找的C点 （8）此时如何确定C点位置？ 新知探究 探究点3 实施转化（实施计划） 议一议 A B l C 图② 直接连结A、B ′，线段AB与l的交点就是所找的C点 （8）此时如何确定C点位置？ B′ （9）说说作图的理由 如图，作点B关于 l 的对称点B'， 根据轴对称的性质，对于l 上任意一点C，都有BC=B'C， 因此AC+BC=AC+B'C。 根据“两点之间线段最短”， 连接AB'，与 l 交于点C，点C就是所要确定的点。 新知探究 议一议 已知直线l，同侧两点A、B，在l上找一点P，求AC+CB的最小值。 作法： ①作点B关于直线的对称点B′； ②连接AB′，交直线于点C； ③点C即为所求储物点，此时CA+CB最短。 l A B A B' C C 规范解题 探究点4 推理求解（作图求解，推理论证) 新知探究 议一议 已知直线l，同侧两点A、B，在l上找一点P，求AC+CB的最小值。 l A B A B' C C 严格推理 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点C 不重合）连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′中，AB′ ＜ AC′ + B′C′， ∴ AC + CB ＜ AC′ + BC′． 即 AC + BC 最短． C′ 探究点4 推理求解（作图求解，推理论证) 新知探究 探究点4 推理求解（作图求解，推理论证) 归一归 转化解题四步法 ① 分析问题：找准已知条件、求解目标、思维障碍； ② 寻找转化：借助轴对称变换，突破障碍； ③ 实施转化：将陌生问题转化为熟悉基本模型； ④ 推理求解：用基本事实或定理完成证明计算。 同侧转化异侧 A l B A B l 新知探究 探究点4 推理求解（作图求解，推理论证) 归一归 转化解题四步法 轴对称 两点之间 线段最短 同侧转化异侧 实际 问题 数学 问题 将同侧点 转化到异侧 化折 为直 A l B C A B l C 通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 典例分析 例1：某地计划新建一所学校，如图直线，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置点需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置并说明作图依据（不写作法，保留作图痕迹）． 解：尺规作图如图所示， 点的位置即为学校的位置． 作图依据： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 所以P点为的平分线与线段MN的垂直平分线的交点 A B 新知巩固 将军将军饮马问题：从A地出发到河边饮马，然后再到B地，求怎样走使路线最短，并且求如何确定饮马的地点。 转化为数学问题：从数学的角度看，如果把河边 l 近似地看成一条直线，问题就是要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 CB 的和最小. A B l C 点 C 应该在哪里？ 新知巩固 将军将军饮马问题：从A地出发到河边饮马，然后再到B地，求怎样走使路线最短，并且求如何确定饮马的地点。 已知：直线 l和直线一旁两点A、B，在直线 l 上找一点 C，使 AC + BC 最短， A B l B' C ①找到点 B 关于直线 l 的对称点 B′； ②连接 AB′，其与直线 l 的交点就是所求点 C. AC + BC 就是最短路程. 1．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．  (1)对方玩家根据地与关于直线成轴对称，请画出； (2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线； (3)在界线上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P． 拓展提升 1．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．  (1)对方玩家根据地与关于直线成轴对称，请画出； (2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线； (3)在界线上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P． 拓展提升 （1）解：如图所示，即为所求； 1．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．  (1)对方玩家根据地与关于直线成轴对称，请画出； (2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线； (3)在界线上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P． 拓展提升 O （2）解：如图所示，点O即为所求； ∴点O越过分界线l；   1．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．  (1)对方玩家根据地与关于直线成轴对称，请画出； (2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线； (3)在界线上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P． 拓展提升 （3）解：如图所示，点P即为所求； P 1．（2025·东莞统考一模）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E； （用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法） (2)连接，求的周长． 真题感知 解：（1）如图，为所作；   （2）∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ． 真题感知 2．（2025.威海联考）如图，在所给的方格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在上画出点P，使最小． （1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：的面积为： ； （3）解：如图所示： 连接，交点于点P，即点P为所求． 知 识 总 结 （1)核心依据： 轴对称性质（对称点到对称轴上任意一点距离相等）、两点之间，线段最短. (2)核心模型： 同侧两点→作对称点→化折为直→求线段最短. (3) 核心结论： 轴对称是实现线段等长转化的重要几何工具. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 (1)核心思想：转化思想（化归思想）. (2)通用策略： 陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、折线问题直线化. (3)解题步骤： ① 审清题意，抽象几何模型； ② 寻找对称关系，实施等长转化； ③ 构造基本图形，依托基本事实求解； ④ 规范推理，验证结论. 易 错 提 醒 课堂小结 (1)同侧两点不可直接连线找点，必须先作对称点转化； (2) 作图要规范，必须保留对称点、交点、连线痕迹； (3)解题不能只写答案，要写明轴对称性质和两点之间线段最短两大依据； (4) 转化的前提是线段长度保持不变，不可随意变换图形. 课后练习 教材Ｐ137－1 1.如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。 解：如图所示。 S阴影=4(S半圆-S三角形) = 2S圆-4S三角形 = 2S圆-S正方形 = π-1 课后练习 教材Ｐ138－2 2.如图，四边形 ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接AF。求图中阴影部分的面积。 解：图中阴影部分面积可以转化为求扇形BAC的面积。 S扇形BAC = π×22 = π 课后练习 教材Ｐ138－3 3. (1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么? 解：(1) 后取，采用“对称”的方法，不管对方取几个，我在另一堆取相同的个数。 (2) 如果两堆棋子的总数量是奇数个，采用先取的策略； 如果两堆棋子的总数量是偶数个，采用后取的策略。 (2)如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略是什么? 镜像制胜 课后练习 教材Ｐ138－4 4.如图 ，定点 P位于∠AOB的内部，在射线 OA 和 OB 上分别确定点M、N，使得△PMN的周长最小。 作法： 1.分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″； 2.连接P′，P″，分别交OA，OB于点M、点N 则点M、点N即为所求 谢谢聆听 $