第五章 1 轴对称及其性质-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

第五章图形的轴对称 书本、圆形盘子等 故宫、埃菲尔铁塔等 轴对称现象在生活中广泛存在：无论是气势恢宏的大型建筑还是生活中随 处可见的各种标志，无论是传统的民间艺术还是现代的工业设计，都不乏轴对 称的身影。你能发现生活中的轴对称图形吗？对于轴对称，你有怎样的认识？ 本章将在小学学习的基础上，进一步研究轴对称的性质，从轴对称的视角 探索等腰三角形、线段和角的一些性质，开展搜集、欣赏、设计轴对称图案的 活动。在这一过程中，你将感知并描述平面图形轴对称的规律，积累研究平面 图形性质的经验，初步形成合乎逻辑地思考、表达与交流的习惯，发展空间观念、 几何直观和推理能力等。 从现实生活的轴对称现象中 抽象出轴对称的有关概念 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 管一个图形经过轴对称后，变化的是什么？不变的又是什么？ 管在研究图形的性质时，轴对称能发挥怎样的作用？ 轴对称及其性质 观察图5-1中的图片和图形，它们有什么共同特点？你还能举出一些类似 的例子吗？与同伴进行交流。 图5-1 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴(axis of symmetry))。 轴对称图形是对一个图形而言的， 是一条直线，一个轴对称图形的对 它反映的是图形自身的对称特性 称轴可以有一条，也可以有多条 图5-2是一个轴对称图形，直线1是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A 与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是点A'。类似地，线段AB关于对称 轴的对应线段是线段A'B',∠B关于对称轴的对应角是∠B'。 沿对称轴折叠后，能够重合的点叫作对应点，能够重合的 线段叫作对应线段，能够重合的角叫作对应角 你还能在图5-2中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？ C B 图5-2 对称轴 第五章 图形的轴对称121 观察·思考 图5-3是一个轴对称图形，直线1是它的对称轴。观察这个图形，回答下 列问题： 7相等 (1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系？为什么？ 相等 (2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系？说说你的理由。 (3)连接对应点A与A',线段AA'与对称轴之间有什么关系？连接其他 任意一组对应点再试一试。 与对称轴垂直，并且被对称轴平分。上 轴对称图形被 对称轴分成的 两部分全等 图5-3 “两个图形成轴对称”与“轴对称图形”的区别：两个图形成 轴对称是指两个图形的位置关系，涉及两个图形。轴对称图形 是指一个具有一定特征的图形，仅针对一个图形而言。 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对 观察·交流 称图形。把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图 形成轴对称。 观察图5-4中的每组图案，你发现了什么？与同伴进行交流。 图5-4 成轴对称的两个图形一定是全等图形，但全等的图形不一定成轴对称《 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成 轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 两个图形成轴对称的特点：（1)有两个图形。(2)存在一条直线，使一 个图形沿这条直线折叠后能与另一个图形重合。 122 教材笔记数学七年级下册BS 思考交流 如图5-5，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14”，再将纸打 开后铺平。 C .3 B E B 图5-5 在铺平的图中： ,>关于直线1对称。 (1)两个“14”之间有什么关系？ 之相 >相等 (2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的 线段与对称轴1之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流。 >连接对应点的线段与对称轴1垂直，并且被对称轴！平分。 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称 轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 》对应点到对称轴的距离相等 例图5-6是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称 轴， 请画出这个图形的另一半。光在已知图形上我出关健点，再根据“对应 点所连的线段被对称轴垂直平分”分别作出 )关健点关于对称轴的对应点，最后顺次连接 若两条不平行的 作出的点，即可得到图形的另一半 线段成轴对称， M 则其交点或其延 长线的交点在对 称轴上 'N B 图5-6 图5-7 解：如图5-7，延长A0至A,使OA'=OA;延长BN至B',使NB'=NB; 依次连接MA',MB',AB',A'P,BP。这样画出的图形就是这个图形的另一半。 第五章图形的轴对称123 随堂练习 1.下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴。 1.对称轴如图中虚线所示。 沁转西骏器 (第1题) 2.用笔尖扎对折的纸可以得到下面成轴对称的两个图案。 2.（1)答案不唯 一。如图所示，点 A与点A'是一组对 应点，点B与点 B是一组对应点； 线段AB与线段 AB是对应线段； ∠ABC与∠A'B'C (第2题) 是对应角。 (2)略。 (1)找出它的两组对应，点、两条对应线段和两个对疫角闲尺规道行套证 (（2)说明你找到的对应，点所连线段分别被对称轴垂直平分。 3.分别以图中直线1为对称轴，画出图形的另一半。先想一想，再画一画。 3.如图所示。 先在已知图形上我出关键 点，再分别作出关键点关于 对称轴的对应点，最后顺次 (第3题) 连接作出的对应点即可 124 教材笔记数学七年级下册BS 阅读·欣赏 艺术作品中的对称 法国画家维克托·瓦萨雷利（Victor Vasarely,1908一1997)于1969 年创作了《委加·派尔》（如图5-8），画中仅仅用了“圆”形图案，就 形成了一幅动态的轴对称图形！ 中式对称美，蕴含了中 华民族美学思想的精髓 图5-8 图5-9 在我国，大量的剪纸作品都具有轴对称的特点（如图5-9）。 实际上，在从古至今的艺术创作中，很多艺术家都会运用轴对称的 手法。请你查阅资料，了解更多艺术作品中的轴对称。 习题5.1 >知识技能 )从汉字结构的角度考虑 1.下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字。 1.草，木， 中可 草木水中 以看成轴对称图 形。类似汉字如 田、 2.在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点。 日、米等。 2.除图形（4)】 ☆○ 不是轴对称图 形外，其他四 个图形都是轴 (3) 4 (5) 对称图形，两 组对应点如图 (第2题) 所示。 第五章 图形的轴对称 125 >数学理解 折叠可以产生轴对称图形，EF所在的直线就是对称轴 3.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A,B分别落在点A',B'处。如 果∠EFB'=70°，那么∠CFB'是多少度？40°。 >∠EFB=∠EFB'=70° D B E B (第3题) (第4题) 对折后的图形为三角形，那么三角形三条边所在的直线都有可能是对称轴， 因此需要分类讨论，列出所有可能的情况 4.如图所示的图形是由一张纸对折后（两部分完全重合）得到的，展开折纸， 你能得到什么样的图形？4加因：者折痕是直角边，展开后是等展三角形 若折痕是斜边，展开后是有一组对角为90°的四边 >问题解决 形（筝形)。 5.一个轴对称图形的一半如图所示，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请 画出这个图形的另一半。5.如图所示。 只要画出图形中的几心 y个关键点关于直线MW M A 的对称点，再连接这 些点即可 PP W B (第5题) >联系拓广 ※6.（1)一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把2+妇=日变成一个真正的 等式？”很长时间没人答出。小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这 个问题。你知道她是怎么做的吗？利用镜像的原理，将2+妇=日看作 一个图形，通过镜子我与这个图形 （2)请你编一道与（1)类似的题目。 成轴对称的图形 6.（1)将镜子放在等式2]=日的正上方，镜子里的像就是真正的等式5+]=日。 （2）略。 126教材笔记数学七年级下册BS