第四章 3 探索三角形全等的条件-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

探索三角形全等的条件 要画一个三角形，使它与小明画的三角形全等，你会怎么画呢？ (1)要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要几个与边或角的大 小有关的条件？ 方 只给出一个条 (2)只给一个条件（一条边或一个角）可以吗？ 件或两个条件 (3)给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情 时，都不能保 况？每种情况下画出的三角形一定全等吗？请你试一试， 证所画出的三 并与同伴进行交流。包括三种情况：两个角、 角形一定全等。 两条边、一条边一个角。 思考·交流 给出三个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？与同伴进行交流。 包括四种情况：三个角三条边、两条边 尝试·思考 一个角、两个角一条边。 (1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和 三个内角分 80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的 进行比较。它们定全等吗离曾之约 别相等的两 个三角形不 (2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和 一定全等。 7cm,你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的 进行比较，它们一定全等吗？ 》需要符合三角形的三边关系 (3)小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规作出这个 三角形。把你作的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗？ 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 通过刚才的探究过程，我们可以总结出“已知三角形的三边，用尺规作这 个三角形”的方法和步骤。书写三角形全等的格 式，以“SSS”为例：在△ABC和△DEF中，因为AB= DE,BC=EF,AC=DF,所以△ABC≌△DEF。 98教材笔记数学七年级下册BS 如图4-21，已知线段a,b,c,用尺规作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a。 b 图4-21 作法与示范： 作法 示范 1.作一条线段BC=a。 B 2.分别以点B,C为圆心，以c,b 的长为半径作弧，两弧交于点A。 >根据作法得AB=C,AC=b B 3.连接AB,AC。 △ABC就是所要作的三角形。 B 由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和 大小就完全确定了。图4-22是用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小 和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。图4-23是用 四根木条钉成的一个框架，它的形状是可以改变的，因此，四边形具有不稳定性。 图4-22 图4-23 第四章 三角形 99 在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子（如图4-24)。 图4-24 全等。因为AD是△ABC的一条中线 所以BD=CD。在△ABD和△ACD中， 你还能举出一些其他的例子吗？ 因为AB=AC,BD=CD,AD=AD, 根据三角形全等的判定条件“SSS”, 随堂练习 所以△ABD≌△ACD。 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是它的一条中线，△ABD 与△ACD全等吗？为什么？ 我相等的边的枝巧： (1)公共边相等。(2)等腰（或等边)三角形 的腰（或边)相等。(3)相等的边加（或减） 相等的边，其和（或差)相等。(4)由线段的B D 中点或三角形的中线可得出线段相等。(5)全 等三角形的对应边相等。 (第1题) 阅读·欣赏 跪姿射击的稳定性 图4-25是跪姿射击的情形。 图4-25 我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形。 1.由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面，它可以使射击者在 100教材笔记数学七年级下册BS 射击过程中保持稳定。当然，射击者的体型不同，他所选择的支撑面形 状也可能不同。 2.由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形，以及由左手、左肩、右 肩构成的近乎水平的三角形。这两个三角形可以使射击者在射击过程中 保持枪的稳定。 正是这样三个三角形，使射击者保持了姿势的稳定和枪的稳定。当然， 要想射击准确，好的射姿只是一个方面，除此之外，射击者的技术水平、 心理素质等也都是极为重要的因素。 由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得 到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能 的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？ 尝试·思考 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合 作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这 个三角形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” 利用“ASA”证明全等时，有相等关系的两个角和一条 边在每一个三角形中，必须是两角夹一边 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这 个三角形”的方法和步骤。 如图4-26，已知∠a,∠B,线段c,用尺规作△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠B, AB=Co 图4-26 请按照给出的作法作出相应的图形： 第四章 三角形 101 先确定一个角和角的一条边，再从确定的边的鶉点出发画出另一个角 作法 图形 1.作∠DAF=∠a 2.在射线AF上截取线段AB=co 3.以点B为顶点，以BA为一边，作 ∠ABE=∠B,BE交AD于点C。 △ABC就是所要作的三角形。 在三角形中，若其中两个角的大小确定了， 思考·交流 则第三个角的大小也能确定 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能 将它转化为“尝试·思考”中的条件吗？与同伴进行交流。 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为 “角角边”或“AAS”。 “ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相 等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个 随堂练习 三角形一定全等 1.如图，AB与CD相交于，点O,O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与 2全等。因为∠AOC和∠BOD是对顶角，所以 △B0D全等吗？为什么？∠AOC=∠B0D。又因为0是AB的中点，所以 OA=OB。在△AOC和△BOD中，因为∠A=∠B, OA=OB,∠AOC=∠BOD,根据三角形全等的判定 B条件“ASA”，所以△AOC≌△BOD。 0 (第1题) 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况 下得到的三角形都全等吗？ 包括两种情况：两边及其夹角、两 边及其中一边的对角。 尝试·思考 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？小组合作， 选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角 102教材笔记数学七年级下册BS 形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS” 少利用“SAS”证明全等时，相等的角女须是分别对应相等的两条边的夹角 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这 个三角形”的方法和步骤。 如图4-27，已知线段a,c,∠a,用尺规作△ABC,使BC=a,AB=c, ∠ABC=∠a。 图4-27 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.作一条线段BC=ao 2.以点B为顶点，以BC为一边，作角 ∠DBC=∠ao 3.在射线BD上截取线段BA=co 4.连接AC。 △ABC就是所要作的三角形。 尝试·交流 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角， 情况会怎样呢？ 两边分别相等且其 中一组等边的对角 如图4-28，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边： 相等的两个三角形 以及AC边的对角∠B,你能用尺规确定顶点C的位置 不一定全等。 吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发 以点A为圆心，以AC的长为半径作孤，该孤与顶点A的对边的交点，即为顶点C 第四章三角形103 现了什么？与同伴进行交流。 顶点C的位置有两个，这说明满足条件 习的△ABC不是唯一的，即证明两边分别相 A 等且其中一组等边的对角相等的两个三角 形不一定全等。 B 图4-28 随堂练习 1.分别找出各图中的全等三角形，并说明理由。 1.(1)△ABC≌△EFD,依据是“SAS”。 (2)△ADC≌△CBA,依据是“SAS”。 B D y 40° 了40 E AB=EF,∠A=∠E,(1) AD=CB,∠DAC=∠BCA, (2) AC=ED AC是公共边 DH是公共边 (第1题) D 2.小明做了一只如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD。将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道E EH=FH,请你说明理由。 2.根据三角形全等的判定条件“SAS”,可以得到 △EDH≌△FDH,则EH=FH。 (第2题) 例]如图4-29，AB∥CD,并且AB=CD,那么△ABD与△CDB全等吗？ 请说明理由。 A B 解：因为AB∥CD, )几何推理 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠1=∠2。 D C 图4-29 104教材笔记数学七年级下册BS 三角形全等条件的灵活选用： 在△ABD和△CDB中， 已知元素 添加元素 判定方法 两角 任意一边 ASA/AAS 因为AB=CD,∠1=∠2，BD=DB, 两边 两边的夹角 SAS 第三边 SSS 根据三角形全等的判定条件“SA”， 一角及其 对边 另一角 AAS 所以△ABD≌△CDB。 一角及其 另一角 ASA/AAS 外边 该角的另一条 外边 SAS 例2如图4-30，AC与BD相交于点0，且OA=0B,0C=0D。 (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由。 (2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？ 解：（1)因为∠AOD与∠B0C是对顶角， B 根据“对顶角相等”， 所以∠AOD=∠BOC。 在△AOD和△BOC中， 图4-30 因为OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC, 根据三角形全等的判定条件“SAS”, 所以△AOD≌△BOC。 (2)由(1)可知，△A0D≌△B0C, 根据“全等三角形的对应边相等”，所以AD=BC。 因为OA=OB,OC=OD, AC=0A+OC,BD=OB+OD, 你还能根据其他的判定 所以AC=BD。等式的性质 条件，判断这两个三角 形全等吗？ 在△ACD和△BDC中， 因为AD=BC,AC=BD,DC=CD, 根据三角形全等的判定条件“SSS”, 所以△ACD≌△BDC。 回顾·反思 说明一个结论正确与否时，需要给出充分的理由，你是如何找到说理思路 的？对此你积累了哪些经验？ 第四章 三角形105 随堂练习 A D 1.如图，∠A,∠D为直角，AC与DB相交于点E, BE与EC相等，请在图中找出两对全等三角形。 1.△ABE≌△DCE,△ABC≌△DCB。 (第1题) 习题4.3 00 >知识技能 1.如图，已知线段a,用尺规作△ABC,使AB=a,BC=AC=2a。1.如图所示。 110° 6 35 2a/ 2a 66° 66° 35° 25℃ 89° AL a 110° 6 B (第1题) (第2题) (第3题) 2.图中的两个三角形全等吗？请说明理由。2.全等，依据“AAS”。 3.图中的两个三角形有几对相等的角？这两个三角形全等吗？请说明理由。 3.有三对相等的角。这两个三角形全等，依据“AAS”或“ASA” 4.如图，已知∠和线段a,用尺规作一个三角形，使它的一个内角等于 ∠，另一个内角等于2∠，且这两个内角的夹边等于a。4.如图所示。 B D （第4题) (第5题) 5.如图，点E在AB上，AC=AD,∠CAB=∠DAB,△ACE与△ADE全等吗？ △ACB与△ADB呢？请说明理由。 5.△ACE≌△ADE,依据“SAS”。 △ACB≌△ADB,依据“SAS”。 6.如图，已知直角α和线段a,b,用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角 边分别等于a,b。略。 106教材笔记数学七年级下册BS D G a b E B (第6题) (第7题) >CA=CB 7.如图，C是线段AB的中点，∠D=∠E,∠A=∠B。请在图中找出两对 全等三角形，并说明理由。7.△ACE≌△BCD,依据“AAS” 0 △ACG≌△BCF,依据“ASA”。 >数学理解 8.准备几根硬纸条。8.(1)三角形的形状未发生变化。 (1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的 形状发生变化吗？（2)四边形、五边形的形状玫变了。 (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改 （3）三角形具有稳定性，而四边 变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？形、五边形不具有稳定性。 (3)上面的现象说明了什么？一好整希婆这西个直角三角形的三组商分别 9.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗？为什么？ 略 10.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,∠B与 ∠D相等吗？ 小丽的思考过程如下。 (第10题) 在△ABC和△ADE中， 因为AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE, 所以△ABC≌△ADE,依据“SAS”。 所以∠B=∠D。>全等三角形的时应角相等。 请说明小丽每一步的理由。 11.如图，△EFG的三边相等，三个内角也相等，点H,I,J分别在△EFG的 三边上。9EF=FG=EG >∠E=∠F=∠G=60° 第四章三角形 107