第三章 2 频率的稳定性-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

频率的稳定性 抛一个瓶盖，落地后会出现两种情况（如图3-2)： 盖口向上 盖口向下 图3-2 你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗？ 少不一定。 让我们用试验来 验证吧。 操作·思考 在抛瓶盖时，应从一定的高度任意地抛出， )以保证试验的随机性 (1)两人一组做20次抛瓶盖的试验，并将数据记录在下表中。 试验总次数 20 盖口向上的次数 16 在n次重复试验中， 盖口向下的次数 4 事件A发生了m次， 盖口向上的次数 盖口向上的频率( 0.800 则比值咒称为事件 试验总次数 A发生的频率。 盖口向下的次数 盖口向下的频率( 0.200 是一个比值，没有单位 试验总次数 试验次裁较少时，得出的试验数据的差异较大， 因此为了得出相对准确的 结论，需要进行多次试验 (2)累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填人下表。 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数m 29 53 79 107 134 159 190 219 243 269 盖口向上的频率 m 0.725 0.663 0.658 0.669 0.670 0.663 0.679 0.684 n 0.675 0.673 结果保留小基点后三位 64 教材笔记数学七年级下册BS (3)根据表格，完成图3-3的折线统计图。 ◆盖口向上的频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 40 80120160200240280320360400 试验总次数 图3-3 （4)观察图3-3的折线统计图，盖口向上的频率的变化有什么规律？ 在试验次数很大时，盖口向上的频率都会在一个常数附近摆动，即盖口向 上的频率具有稳定性。 随着试验次数的增加，频率摆动的幅度会越来越小 随堂练习 1.(1)在刚才的抛瓶盖试验中，累计全班同学的试验结果，并将试验数据 汇总填入下表。》结果保留小裁点后三位 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向下的次数m 11 27 41 53 66 81 90 101 117 131 盖口向下的频率咒 0.275 0.338 0.342 0.331 0.330 0.338 0.321 0.3160.3250.328 (2)根据上表，请你画出盖口向下的频率的折线统计图。由此，你发现 图略。当试验次数很大时，盖口 盖口向下的频率的变化有什么规律？向下的频率也会在一个常最附 摆动，即盖口向下的频率也具有 稳定性。 第三章概率初步 65 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况（如图3-4)： 在掷硬币时， 要从一定的高 度任意地掷出， 正面朝上 正面朝下 以保证试验的 随机性 图3-4 你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ (1)两人一组做20次掷硬币的试验，并将数据记录在下表中。 试验总次数 20 正面朝上的次数 13 正面朝上的频率 0.650 正面朝下的次数 1 正面朝下的频率 0.350 结果保留小数点后三位 (2)累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表。 试验总次数 40 c 120 160 200 240 280 320 360 400 正面朝上的次数 26 32 70 75 91 124 135 163 179 202 正面朝上的频率 0.650 0.400 0.583 0.469 0.455 0.517 0.482 0.509 0.4970.505 正面朝下的次数 14 48 50 85 109 116 145 157 181 198 正面朝下的频率 0.350 0.600 0.417 0.531 0.545 0.483 0.518 0.491 0.5030.495 一结果保留小数点后三位 利用数学软件也 可以模拟掷硬币 试验。 66 教材笔记数学七年级下册BS (3)根据表格，完成图3-5的折线统计图。 ◆频率 1.0 一正面朝上 一正面朝下 0.8 完成统计图后，可结合这条代表 0.6 频率为0.5的虚线进行观察 0.5 0.4 0.2 04080120160200240280320360400 试验总次数 图3-5 (4)观察图3-5的折线统计图，你发现了什么规律？ （5)下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的颜率咒 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 表中的数据支持你发现的规律吗？ >这些试验为概率论的发展奠定了基础， 并对统计学的研究产生了深远影响 在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大 量重复的试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出一定的规律性。无论是掷 质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上（盖口向上）的频 率都会在一个常数附近摆动。 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数 第三章概率初步 67 附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。频率反映了该事件发生的频繁程度， 频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大，因而， 我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小。 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率 (probability)。我们常用大写字母A,B,C等表示事件，用P(A)表示事件 A发生的概率。例如，在掷质地均匀的硬币的试验中，事件“正面朝上”的频 率会在号附近摆动，所以，P(正面朝上)= 般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件 频率和概率的区别与联系如下： A发生的概率。 （1)区别：频率是试验值（或统计值)，概率是理论值， 频率与试验次数、试验人数、试验时间、试验地点有关， 概率与这些无关。 尝试·思考 (2)联系：试验的次数越多，频率就越接近概率。 )可以结合事件发生的频率和概率的联系进行思考 随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是 多少？不可能事件发生的概率又是多少？ )P(然事件)=1 P(不可能事件)=0 必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0，随机事件A发 生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。 )0<P(A)<1 思考·交流 试验的次裁不多，此时用项率来估计概率，其误 差一般较大 (1)小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计 盖口向上的概率是？， 你同意他的想法吗？与同伴进行交流。 (2)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是)，那么，掷10次硬币， 一定会有5次正面朝上吗？如何理解正面朝上的概率是？与同伴进行交流。 )不一 回顾·反思 正面朝上的概率是)，说明当试验的次装越来越大时， 正面朝上的频率会惠定到 回顾你做过的抛瓶盖和掷硬币试验，你对事件发生的频率与概率的关系有 怎样的理解？ 68教材笔记数学七年级下册BS 随堂练习 1.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果见下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 >结果保留小裁点后三位 (1)请完成上表； (2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；图略。 (3)请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率。0.861。 用频率估计概率的方法： 阅读·思考 用频率估计概率时，一般观察所计算的各频率裁值的变化趋 势，各频率数值集中在娜个常数附近，则这个常数就是所求 概率的估计值。 概率小史 概率主要研究随机现象，它起源于博弈问题。15一16世纪，意大 利数学家帕乔利(Luca Pacioli,约1445一1517)、卡尔达诺（Gerolamo Cardano,1501-1576)和塔尔塔里亚(NiccolòTartaglia,1499-1557) 等人曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等问题。比如， 两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1分，先得到 10分的人赢得一个大蛋糕。如果游戏因故中途结束，此时甲得了8分， 乙得了7分，那么他们该如何分这个蛋糕？ 为了回答类似上述问题，人们对随机现象进行了大量的研究。前面 已经列举了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据。当时的人们也 许不会想到，那扇“随机世界”之门从此就被打开。 概率论是研究随机现象数学规律的数学分支。它自产生之日起，就 与人们的实际生活有着紧密的联系，并且解决了许多科技发展中的问题。 正因为如此，这门学科有着很强的生命力和广阔的发展前景。 第三章 概率初步 69 习题3.2 >知识技能 1.对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率咒 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.825 (1)请完成上表。 )结果保留小数点后三位 0.825。 (2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两 表的结果会一样吗？为什么？、。 (3)两表的结果一般不一样。因为随 机事件在一次试验中是否发生是不确定的，所以如果重新抽取 1000个乒乓球进行质量检查，记录下来的数据一般是不同的。 >数学理解 2.某班有40名学生，每10人一组，每人做10次抛瓶盖的试验，得到下面的 试验结果： 第一组学生的学号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 盖口向上的次数 6 8 6 6 P 5 9 第二组学生的学号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 盖口向上的次数 7 6 8 6 7 10 7 7 6 第三组学生的学号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 盖口向上的次数 7 8 8 8 6 9 7 第四组学生的学号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 盖口向上的次数 9 6 6 8 5 8 6 6 8 7 (1)学号为1的学生在10次试验中，盖口向上的次数是多少？盖口向上的 频率是多少？ 6。 >0.600 70 教材笔记数学七年级下册BS (2)请在这40名学生中找两名学生，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率相同。 如果让这两名学生再分别做10次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上的频 率还一定相同吗？ (2)例如，学号为2的学生和学号为13的学生，他们抛出的瓶 盖盖口向上的频率相同，都是0.800。如果让这两名学生再分别 做10次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率不一定相同。 (3)累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表。 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数m 26 50 79 110 135 162 190 216 243 270 盖口向上的频率 0.650 0.625 0.658 0.688 0.675 0.675 0.6790.6750.6750.675 〉结果保留小数点后三位 具有稳定性←、 (4)根据上表，画出盖口向上的频率的折线统计图。由此，你发现盖口向 上的频率的变化有什么规律？（4)折线统计图略。在试验次戴很大时， 盖口向上的频率会在一个常数附近摆动， 3.下列说法正确吗？请说明理由。 即盖口向上的频率具有稳定性。 (1)在做抛瓶盖的试验时，每名同学用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇 总全班同学的数据进行估计；3.(1)说法不正确，应使用规格相同的瓶盖。 (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到 的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； （2)说法不正确，随机事件发生的概率是确定的。 (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得 到概率的精确值。(3)说法不正确，只能得到概率的估计值。 >问题解决 4.在本节的抛瓶盖试验中，如果我们换一种其他规格的瓶盖来做试验，盖口向 上的频率是否仍具有稳定性？如果盖口向上的频率在某个常数附近摆动，那 么这个常数与本节最开始的试验中的常数是否相同？先想一想，然后设计试 验验证你的想法。4，一般来说，盖口向上的频率仍具有稳定性。由于瓶盖的 “规格不同，它稳定到的常数一般是会发生变化的。 5.查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。略。 第三章 概率初步 71