第二章 3 平行线的性质-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3 平行线的性质 如图2-28，直线a与直线b平行。 图2-28 ∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8。 )相等。 （1)测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位 角吗？它们的大小有什么关系？改变直线c 与直线a所成角的大小再试一试，你能得到 相同的结论吗？结论相同。 也可以用数学软 >2对 (2)图中有几对内错角？它们的大小有 件进行探索。 什么关系？为什么？相等。 2 (3)图中有几对同旁内角？它们的大小 有什么关系？为什么？ )互补。 )注意不是任意“两条直线”，而是“两条平行直线” 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 》前提 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简述为：两直线平行，内错角相等。 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。 第二章相交线与平行线 49 思考交流 如图2-29，一束平行光线AB与DE射 向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2， ∠3=∠4。 )相等。 (1)∠1与∠3的大小有什么关系？ ∠2与∠4呢？相等。 图2-29 (2)反射光线BC与EF也平行吗？，平行。 我是这样思考的：理由：两直线平行，同位角相等。 (1)由AB∥DE,可以得到L1=∠3；理由：等量代换 由∠1=∠2，∠3=∠4，可以得到∠2=∠4。 (2)由∠2=∠4，可以得到BC∥EF。 一一一一一一理面：同在有相等，两直线平行。 你能说明小颖每一步的理由吗？ 你是如何思考的？与同伴进行交流。 随堂练习 1.如图，AB∥CD,AC∥BD,分别找出与 ∠1相等或互补的角。略。 (第1题) 例1根据图2-30回答下列问题： (1)若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？ 依据是什么？ A （2)若∠2=∠M,则可以判定哪两条直线平行？ 依据是什么？ 3 (3)若∠2+∠3=180°，则可以判定哪两条直线 1 D 平行？依据是什么？ 图2-30 解：（1)∠1与L2是内错角，若∠1=∠2， 50教材笔记数学七年级下册BS 则根据“内错角相等，两直线平行”， 注意：应用平行线的性质或判定 可得BF∥CE; 平行线时，要分清同位角、内酷 角和同旁内角分别是由哪两条直 (2)∠2与∠M是同位角，若∠2=∠M, 线被第三条直线所裁而成的。 则根据“同位角相等，两直线平行”， 可得AM∥BF; (3)∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180°， 则根据“同旁内角互补，两直线平行”， 可得AC∥MD。 例2如图2-31，AB∥CD,如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说 你的理由。 解：因为∠1=∠2， 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以EF∥CD。 又因为AB∥CD, 根据“平行于同一条直线的两条直线平行”， 图2-31 所以EF∥AB。 平行线的传递性，也可以作 为判定两直线平行的依据 例3如图2-32，已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=107°，求∠2，∠3的度数。 解：因为a∥b, 少内错角 根据“两直线平行，内错角相等”， >同旁内角 所以∠2=∠1=107°。 因为c∥d, 根据“两直线平行，同旁内角互补”， 图2-32 所以∠1+∠3=180°。 所以∠3=180°-∠1=180°-107°=73°。 回顾，反思 回顾直线相交与平行的探究过程，你积累了哪些研究几何图形的方法与 经验？ 第二章相交线与平行线 51 随堂练习 1.如图，已知∠1=105°，∠2=75°，请说明a∥b。 1.如图，设∠3为∠2的一个补角，即∠3=180°-75°=105°， 则∠1=∠3。根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b。 AD A 2 B (第1题) (第2题) ->内错角← )同位角下 2.如图，AE∥CD,∠1=37°，∠D=54°，求∠2和∠BAE的度数。 2.因为AE∥CD,根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠2=∠1=37°。 因为AE∥CD,根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠BAE=∠D=54°。 阅读·思考 测量地球的周长 你听说过“坐地日行八万里0”吗？这句话告诉我们地球的周长大约 是8万里。可人们是怎么知道这个数据的呢？ 大约在公元前200年，古希腊人埃拉托色尼（Eratosthenes,.约前 276一前194)就运用一些天文知识和数学知识，测得了地球的周长。他用 的数学知识你们也知道，其中包括：两条平行直线被第三条直线所截，内 错角相等。 埃拉托色尼发现，在当时的城市塞恩（图2-33中的A点），直立的 杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山 大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线7°12'（图 中∠0=7°12')。根据这个数据，可以算出地球的周长约等 于25000英里，这是因为“弧AB的长÷7°12'=地球周长÷ 360°”的缘故，其中弧AB的长大约为500英里。 由于1英里约为1.6km,所以，地球的周长约为 图2-33 40000km=80000里。 ①“里”是我国传统长度单位，1里=500m。 52 教材笔记数学七年级下册BS 习题2.3 >知识技能 ,同旁内角 →同位角《 1.如图，AB∥CD,∠a=45°，∠D=∠C,依次求出∠D,∠C,∠B的度数。 1.因为AB∥CD,根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠D=∠α= 45°，则∠C=∠D=45°。因为AB∥CD,根据A “两直线平行，D 同旁内角互补” 所以∠B=180°AVa ∠C=135°。 (第1题) (第2题) )同旁内角 同旁内角的 2.如图，AB∥CD,CD∥EF,∠1=∠2=60°，∠A和∠E各是多少度？它们 相等吗？2.因为AB∥CD,根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以 ∠3的同位角∠A=180°-∠1=120°。因为CD∥EF,根据“两直线平行，同 ∠F0B与∠1旁内角互补”，所以∠E=180°-∠2=120°。综上，∠A=∠E。 是同位角 ù同旁内角 3.如图，已知∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判定哪些直线平行？请说明理由。 3.可以判定AB∥CD,AE∥CF。理由如下：因为∠2+∠3=180°，根据“同 旁内角互补，两直线平行”，所以AB∥CD。根据“两直线平行，同位角相等”， 所以∠FOB=∠3=60°，所以∠1=∠FOB。根据“同位角相等，两直线平行”， 所以AE∥CF。 -B 2 C3 _D (第3题) (第4题) ->∠1=∠CAB 4.如图，已知AC平分∠BAD,∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？请说明理由。 4.可以判定DC∥AB。理由如下：因为AC平分∠BAD,根据角平分线的定义， 所以∠1=∠CAB。因为∠1=∠2，所以∠2=∠CAB。根据“内错角相等，两 直线平行”，所以DC∥AB。 第二章相交线与平行线53 5.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,∠B=50°，求∠C的度数。 5.因为AB∥CD, 〉内错角4 根据“两直线平 A 行，内借角相等” 所以∠C=∠B=50° C D B B D (第5题) (第6题) 6.如图，AC∥ED,AB∥FD,∠A=64°，求∠EDF的度数。 6.因为AB∥FD,根据“两直线平行，同 位角相等”，所以∠DFC=∠A=64°。因 ∠A的同位角∠DFC 为AC∥ED,根据“两直线平行，内酷 与∠EDF是内错角 角相等”，所以∠EDF=∠DFC=64°。 >问题解决 7.如图，从一艘船上测得一个灯塔所在的方向是北 灯塔 北 偏西48°，那么这艘船在这个灯塔的什么方向？ 南编东48°。 →东 489 8.（1)在地图上选定一个城市，判断其他城市在 它的什么方向。略。 船 (2)只用方向能准确描述两个城市的相对位置 (第7题) 吗？如果不能，还需要什么数据？ 不能，还需要距离。 2 E 9.林湾乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏 东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，然 北 后从C村到E村。已知CE的方向与AB的方向一致， 659 水渠从C村应该沿什么方向修建？ >AB∥CE 〉同位角 9.根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1=∠A=65°， (第9题) 所以∠CBD=25°+65°=90°。根据“同位角相等，两直 线平行”，可知当∠2=∠CBD=90°时，CE∥AB。综上， 水渠从C村应该沿与CB垂直的方向修建。 54 教材笔记数学七年级下册BS