第二章 1 两条直线的位置关系-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

第二章相交线与平行线 剪刀的刀刃、火车 铁轨、人行横道等。 山川、道路、房屋、桥梁…在这些大自然的杰作和人类的创造物中，蕴 含着大量的基本平面图形，如我们已经研究过的线段、射线、直线、角等。生 以相交或 活中哪些物体或图案给我们以直线的形象？这些直线又有怎样的关系？平行。 本章将研究两条直线的位置关系，探索直线平行的条件，以及平行线的性 质，并运用相交线与平行线的有关结论解决简单的实际问题。在这一过程中， 你将经历对简单几何图形的观察与操作、想象与推理等过程，初步养成重论据 的思维习惯，进步增强合乎逻辑地表达与交流的意识，发展几何直观与推理 能力等。 指同一平面内不 重合的两条直线 在本章学习过程中，你可以持续思考以下间题： 警你是借助什么来判断两条直线垂直、平行等位置关系的？为什么？ 普你认为可以从哪些方面研究平面图形以及它们之间的关系？ 两条直线的位置关系 观察图2-1中的图片，你认为两条直线有哪些位置关系？ 图2-1 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线（intersection lines)。 >判断两条直线相交的依据 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线(parallel lines)。 >前提 )无公共点 观察·交流 如图2-2，直线AB与CD相交于点O。 (1)∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？ (2)你能说明理由吗？与同伴进行交流。 C 在图2-2中，直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2 有公共顶点0，它们的两边互为反向延长线，具有这种位 置关系的两个角叫作对顶角(vertical angles)。 对顶角有如下性质： 图2-2 位置关系 数量关系 对顶角相等。 图2-2中，还有其他的 角也构成对顶角吗？ 注意：(1)对顶角是成对出现的，单独的一个角 不能称为对顶角。 (2)对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 有，∠3与∠4。 34教材笔记数学七年级下册BS 观察·思考 在图2-2中，∠1与∠3有什么数量关系？互为补角。 图2-2中，还有其他 般地，如果两个角的和是180°，那么 的角也构成互为补角 称这两个角互为补角。简称“互补” 的关系吗？ 类似地，如果两个角的和是90°，那么称 注意：(1)补角和余角都是成对 有，∠1与∠4， 这两个角互为余角。 出现的。（2)互补和互余指的是 ∠2与∠3，∠2 >简称“互余” 两个角的数量关系，只与它们的 与∠4。 思考·交流 大小有关，与它们的位置无关。 如图2-3，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会 直接人袋，此时∠1=∠2。 D 0 1④W2 34 图2-3 图2-4 将图2-3简化为图2-4，ON与DC相交所成的∠D0N和∠C0N都等于 90°，且∠1=∠2。两个角的和是180° 两个角的和是90° (1)请在图2-4中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 (2)∠3与L4的大小有什么关系？∠A0C与∠B0D呢？你能说明理由吗？ 与同伴进行交流。 →相等。 →相等。 同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 同一个角 相等的角 第二章相交线与平行线 35 随堂练习 1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的 量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。 请指出所量角的度数，并说明理由。利用两条直线 1.40°。说理的方法不唯一。例如， 相交产生的角 可以根据对顶角相等说明，也可 的关系解题 以根据同角的补角相等说明。 (第1题) 观察图2-5中的图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置 关系？互相垂直。 垂线的定义具有判定和性质的双 图2-5 注意：线段和线段，射线和射线 重作用，即由“直角”可判定“垂 等互相垂直，都是指它们所在的 直”；反之，由“垂直”可得“直角” 直线互相垂直，夹角是90° 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相 垂直(perpendicular),其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点 叫作垂足。夹角是90© 通常用符号“1”表示两条直线互相垂直。如图2-6，直线AB与直线 CD垂直，记作AB⊥CD;如图2-7，直线l与直线m垂直，记作I⊥m。其中， 点0是垂足。 也可以记作m⊥，其中 C一般在垂足处标注 “⊥”读作“垂直于” 刀字母和特号“” B 图2-6 图2-7 36 教材笔记数学七年级下册BS 思考交流 如图2-8,0为直线AB上的一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC,那么OC与AB垂直吗？为 什么？ B (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知 图2-8 道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 我是这样思考的： 由∠A0C=∠B0C,且∠A0C+∠B0C=180° 可得∠AOC=∠B0C=90° 所以OC⊥AB。 >根据OC与AB所在的直线的夹角是90°， 可判交0C与想所在的直线互相垂直一」 (3)如果OC⊥AB,那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 由垂直的定义可得 尝试·思考 )>均为直角 ∠A0C=90°，∠B0C=90° (1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？ 试试看！ (2)如果只用直尺，你能画出图2-9方格纸上已知 直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 尝试·交流 图2-9 7能。 (1)如图2-10，点A在直线1上，你能用三角尺过点A画直线1的垂线吗？ 你能画出多少条？如果点A在直线外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流。 能画出1条。 能画出1条。 A 图2-10 ①靠：让三角尺的一条直角边靠在已知直线上，使其与已知直线重合。②过：沿直 线移动三角尺，使其易一条直角边经过已知点。③画：沿此直角边过已知点画直线， 这条直线就是已知直线的垂线。④标：在两条直线的交点处标出符号“” 第二章相交线与平行线37 (2)如图2-11，点P是直线l外一点，P0⊥l,点0是垂足。点A,B, C在直线I上，比较线段PO,PA,PB,PC的长短，你发现了什么？PO最短。 B 这一点可以在直线 图2-11 前提 上，也可以在直线外 同一平面内，过二点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 是一茶线段，可以测量其长度 如图2-12，过点A作直线1的垂线，垂足为B,线段AB的长度叫作点A 到直线的距离。 是一条直线，不 是一个数量 能测量其长度 在图2-11中，哪条线 B 段的长度可以表示点P 到直线l的距离？ 图2-12 L 线段P0的长度。 随堂练习 1.如图所示。 1.画一条直线U,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,用三角尺或 量角器分别经过，点A,B画直线l的垂线。 38 教材笔记数学七年级下册BS 先我出图中的直角，再我出构成各个直角的两条线《 2.下面是画在方格纸上的两个图形，请分别找出图中互相垂直的线段。 图（2)： D A AC⊥BC, 2.图(1)： AC⊥CE, A0⊥C0, AC⊥BE, D0⊥BO. ⊙ DC⊥BC, C DC⊥CE, DC⊥BE, （1) (2) DA⊥BC, (第2题) DA⊥CE, DA⊥BE。 3.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。 3.以距离起跳线最近的跳远落地点为尺子的零点，将尺子拉直， 并使之与起跳线边缘所在直线垂直，则尺子上表示零点与垂足 两点间距离的数字为跳远成绩。这是“点到直线的距离”的应用。 习题2.1 >知识技能 )互为对顶角《 1.如图，直线a,b相交，∠1=38°，求∠2，∠3： )互为外补角←)互为邮补角《 ∠4的度数。1.∠2=∠4=142°，∠3=38°。 2.请举出一些日常生活中线段互相垂直的实例。 2.十字路口的马路互相垂直，黑板的外边互相垂直等。 3。如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街 (第1题) 道互相平行？哪些街道互相垂直？ 3.互相平行的街 东三环北路与工 道：工人体育场北 人体育场北路， 路、朝阳北路、建 工人体育场北路 东三环北路与朝 国路，东二环、东 东 东 阳北路，东三环 四 三环北路、东四环 朝阳北路 北路与建国路； 环 环 中路。互相垂直的 北 中 东四环中路与 街道：东二环与工 环 人体育场北路， 路 人体育场北路，东 建国路 东四环中路与朝 二环与朝阳北路， 阳北路，东四环 东二环与建国路； (第3题) 中路与建国路。 第二章 相交线与平行线39 >数学理解 不可以。←、 可以。← 4。互为补角的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝 角吗？ 因为如果两个角都是锐角， 不可以。 它们的和一定小于180°。 >问题解决 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？32°。 (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。略。 (第5题) 6.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树千与山坡所成的锐角是多少度？60°。 30( 300 B D (第6题) (第7题) 7.如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？ 7.如图，过点C画渠岸AB的垂线，垂足为D,在D点 画出图形，并说明理由·处沿线段CD开沟，才能使沟最短。因为垂线段最短。 8.请举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例。 8.测量水深时垂直测量，跳水运动员垂直入水距离 最短，人到河边打水沿垂直于河边方向走最近等。 >联系拓广 9.如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的 传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图 中∠1与∠2是对顶角吗？不是。 根据对顶角的两边互为 反向延长线进行判断 (第9题) 40 教材笔记数学七年级下册BS