20.2 勾股定理的逆定理及其应用（分层题型专练，3夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （分层题型专练） 题型一 判断能否构成直角三角形 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 3．以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，a，b，c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 6．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 7．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 题型二 网格中的直角三角形问题 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 3．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为__________三角形． 6．如图，在的正方形网格中，_________． 7．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 8．如图，每个小正方形的边长为2，是小正方形的顶点，则的度数为________． 题型三 勾股定理的逆定理与求直角问题 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 2．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 3．在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．是锐角 4．在中，如果三边满足关系，则的直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．在中，，，，则______°． 6．若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形． 7．如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 题型一 勾股定理逆定理求面积问题 1．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 3．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 5．已知中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足，则的面积为______． 6．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为______． 7．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 8．如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 题型二 利用勾股定理逆定理解决实际问题 1．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 3．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 5．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________． 8．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 9．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 10．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 11．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 题型三 勾股定理逆定理拓展问题 1．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 2．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 3．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 4．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 5．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 6．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 7．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 1．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 4．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 5．如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 6．如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为_____________千米． 7．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 8．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 9．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 （分层题型专练） 题型一 判断能否构成直角三角形 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．∵最长边为，，， ∴， ∴该组不能构成直角三角形，故此选项符合题意． 2．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理． 3．以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7 【答案】A 【分析】将各组数据中较小两边的平方和与最大边的平方比较，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A．，可得，能构成直角三角形； B．，，不能构成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形； D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形． 4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、整理得由勾股定理逆定理，是直角三角形，且，该选项不符合题意； B、由题意最大角为，不是直角三角形，该选项符合题意； C、，又， ，，是直角三角形，该选项不符合题意； D、设，，，则，， ，是直角三角形，且，该选项不符合题意； 故选：B． 5．在中，a，b，c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A选项：，且 即，解得 是直角三角形，不符合题意． B选项： ，， ， 是直角三角形，不符合题意． C选项： 设，， ，解得 则 不是直角三角形，符合题意． D选项： ，即 是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 6．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为或满足两边平方和等于第三边的平方． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②设，则， 解得， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵，即，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故④符合题意； ⑤设，则，， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴不是直角三角形． 故能确定是直角三角形的条件有①③④． 故答案为：①③④． 7．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 题型二 网格中的直角三角形问题 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 3．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 4．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为__________三角形． 【答案】直角 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， △ABC形状为直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了在网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图，在的正方形网格中，_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 7．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 8．如图，每个小正方形的边长为2，是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查勾股定理和逆定理在网格中的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理得出，，根据勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵每个小正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 题型三 勾股定理的逆定理与求直角问题 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 2．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 3．在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（　　） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．是锐角 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ， ， 是直角三角形， 为直角， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．在中，如果三边满足关系，则的直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形．再根据最长边所对的角为直角，即可判断是的直角． 【详解】， 是直角三角形，且是斜边， ∴，即是的直角． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角为直角是解题关键． 5．在中，，，，则______°． 【答案】 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 6．若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可知， 当三角形中三边的关系为，则该三角形为直角三角形 ． 【详解】解：， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 7．如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 【答案】135 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 题型一 勾股定理逆定理求面积问题 1．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 2．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 3．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 4．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等．证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足，则的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出，即证明为直角三角形，且a，c为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且a，c为直角边， ∴的面积为． 故答案为：． 6．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ∴， 是直角三角形，， 阴影 ． 故答案为：． 7．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 8．如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求三角形的面积， 对于（1），先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形， 即可得出答案； 对于（2），根据可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解： ． 题型二 利用勾股定理逆定理解决实际问题 1．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 3．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 【答案】C 【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：连接 ，    为 的中点，， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 6．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）． 故答案为． 8．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 【答案】着火点会受洒水影响，理由见解析 【分析】过点作，垂足为点，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由三角形等面积法确定，进行比较即可． 【详解】解：着火点会受洒水影响， 理由如下： 如图，过点作，垂足为点， ∵，，， ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴着火点会受洒水影响． 9．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 10．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 11．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 题型三 勾股定理逆定理拓展问题 1．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 2．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 3．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 4．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 5．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 6．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 7．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 1．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 2．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 3．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时有，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 4．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 5．如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质，勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据平行四边形性质，以及勾股定理逆定理得到，推出，再利用勾股定理得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解： 的对角线与相交于点O，，， ，， ， ， ， ， ，垂足为E， ， 即， 解得． 故答案为：． 6．如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为_____________千米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】在中，因为，， 所以， 所以是直角三角形且 ． 设千米，则千米． 在中，由已知得，，， 由勾股定理得， 所以， 解得， 故答案为． 7．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中， ， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 8．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 9．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 学科网（北京）股份有限公司 $