精品解析：四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

字节精准教育联盟·AI智联 2026年春季学期寒假素养提升反馈调查 高一数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分段函数，，则实数（ ）. A. 2 B. -2或3 C. -2或2 D. -2或2或3 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 点是图象的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为； B. 函数的图象关于对称； C. 在区间上单调递减； D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 10. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（ ） A. 双曲正切函数为奇函数 B. 对任意实数，不等式恒成立，则 C. 若，则 D. 存在实数，使得函数有3个零点 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数有4个零点 D. 若时，有成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则的最小值为______． 13. 若，则的值为_______． 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16 ~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 16. 如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，. （1）若，求的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时x的值. 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 18. 已知函数（其中）. （1），不等式恒成立，求实数的最大值； （2）若，，使成立，求实数的取值范围. 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 字节精准教育联盟·AI智联 2026年春季学期寒假素养提升反馈调查 高一数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B，根据交集的概念求解. 【详解】因为，， 所以，即， 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在上是奇函数，故， 故可变形为，即， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 4. 已知分段函数，，则实数（ ）. A. 2 B. -2或3 C. -2或2 D. -2或2或3 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论当时和时，代入对应解析式，求解计算即可. 【详解】解：当时，，解得：； 当时，，解得：（舍）或， 所以或. 故选：C 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D；根据时，由的取值情况排除A，B. 【详解】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 6. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的，且，都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 点是图象的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【详解】设函数的最小正周期为， 由题图及五点作图法得，，则，又， 所以，所以， 又，即，又，则，故. 对于C，当时，的值域为，故C错误； 对于A，由知在上不单调递增，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于D，，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为； B. 函数的图象关于对称； C. 在区间上单调递减； D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解. 【详解】. A：函数的最小正周期为，故A正确； B：，为的最小值，故B正确； C：由，得，所以函数在上单调递增，故C错误； D：将函数图象向左平移个单位长度， 得图象， 与函数的图象不重合，故D错误； 故选：AB 10. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（ ） A. 双曲正切函数为奇函数 B. 对任意实数，不等式恒成立，则 C. 若，则 D. 存在实数，使得函数有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性判断A即可；先确定双曲正弦函数的奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性得到不等式，结合二次型函数恒成立的等价条件求解即可判断B；，结合可得即可判断C；令，则，结合双曲型函数确定单调性，进而得到解得情况，再因式分解解方程得或，最后由零点个数得到的范围即可判断D． 【详解】对于A，，， 双曲正切函数为奇函数，故A正确； 对于B，， ，为奇函数， 又因为为增函数，为减函数，所以为上的增函数， ，则， ，即在上恒成立， ①时，成立，符合题意； ②时，，解得； 综上，，故B错误； 对于C，， 当时，由整理可得， 即，故，故C正确； 对于D，令，当且仅当时取得， 且当时，单调递减，当时，单调递增， ， 时，无实数解；时，有一个实数根； ，有两个实数根； 又， ， 则或， 又函数有3个零点， 且当时，即，解得， 所以，即有两个实数根， 则，解得，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数有4个零点 D. 若时，有成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、对数函数的性质画出函数图象，再由各项的描述及方程法、数形结合判断零点确定各项的正误. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下， 由，A对， 令，即，结合图象知方程有两个根，B对， 令，即，则或， 所以或，， 所以或或，显然有3个零点，C错， 由题设及函数图象知，而，则， 所以，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简，利用平移变换求得，再由是函数的一个极值点，列式求解即得. 【详解】依题意，， 则，由是函数的一个极值点， 得直线是函数图象的一条对称轴，则，而， 解得，所以当时，. 故答案为： 13. 若，则的值为_______． 【答案】3或不存在 【解析】 【分析】设，则，将已知条件转化为，再利用两角和与差的正弦公式展开化简即可求解. 【详解】令，于是有， 所以， 化简上式得， 当时，两边同除以可得， 所以的值为3； 当时，则，，， 此时无意义，所以不存在. 故答案为：3或不存在 14. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16 ~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 【答案】（1）的最大值为，此时 （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据角A的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的性质，分析可得当时，有最大值，计算即可得答案. （2）根据（1），结合题意，可得角A的大小，根据正弦定理，结合条件，可得的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，即时，， 所以的最大值为，此时. 【小问2详解】 由（1）得，因为， 所以，解得， 又，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长为. 16. 如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，. （1）若，求的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时x的值. 【答案】（1）4 （2）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的运算得到，，因为A，O，D三点共线，所以，解得，即可得到答案； （2）设，因为E，O，C三点共线，得，根据题意得到，设，结合基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 设，因为， 即：， 所以， 因为A，O，D三点共线，所以，解得， 所以，所以. 【小问2详解】 设，所以， 因为E，O，C三点共线，所以，得， 所以，， ， ， 设， 则， 当且仅当，时取等号. 综上：的最小值为，此时. 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）； （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 18. 已知函数（其中）. （1），不等式恒成立，求实数的最大值； （2）若，，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分析出函数在上单调递增，可得出在上恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的最大值； （2）分析可得，对实数的取值进行分类讨论，求出、，可出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 又，，所以在上恒成立， 即在上恒成立，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，实数的最大值为. 【小问2详解】 解：设，在上的最小值为， 在上的最小值为， 由题意，只需， 因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以，在单调递增，在单调递减，且. 当时，在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，函数在上单调递增，则. 综上所述，. 所以，当时，， 所以，，得，即，解得，此时； 当时，， 所以，即，解得， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【小问1详解】 对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； 【小问2详解】 ①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 【点睛】关键点点睛：②中关键点在于利用对数运算，得到，即可由单调性，得到单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $