精品解析：山西大同市第一中学校2025-2026学年高二7月学情检测（期末）数学试卷

2025-2026-4高二年级7月学情检测 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到等差数列通项，令即可求解． 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026共有46项． 4. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 5. 某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以函数的最小正周期为，所以，所以. 由函数的图象关于点对称， 得，所以. 所以正实数的最小值为. 7. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】因为，，故母线， 又，故，故为底面圆直径； 对三角形，设边上的高为，则其面积， 当且仅当为弧的中点时取得最大值； 故三棱锥体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A选项正误；对于选项B，根据平均数的性质即可判断B选项正误；对于选项C，根据各项系数和求解的值，再根据二项式定理的通项进行求解即可；对于选项D，根据正态分布性质即可判断D选项正误. 【详解】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确. 故选：ACD 10. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，由可得（又，等号不成立），所以，故B正确； 对于选项C，由，由，可得，所以，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】AB 【解析】 【分析】A代入判断即可；B代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合A的对称性即可判断；C代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；D选项，举特例即可判断. 【详解】A选项，若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，A正确； B选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，， 由二次函数可求得的取值范围为，B正确； C选项，当时，当时，曲线：， 由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，C错误； D选项，当时，若，则曲线：， 在第一象限，即， 则， 当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 则曲线围成的封闭区域的面积大于8，D错误； 故选：AB. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， ，即， ， ，， ． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先通过双曲线的定义建立与的关系，再利用三角形的正余弦定理将“角”与“双曲线参数”关联，最终解出渐近线的斜率. 【详解】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式进行化简，结合的范围，得出，即得角； （2）通过进行变量代换，借助余弦定理得出的值，再利用面积公式即得面积. 【小问1详解】 由， 得， 即，因为， 所以， 即， 故（舍）或， 由于，所以. 【小问2详解】 ，由， 得，又， 所以， 解得或（负值舍），故， 又由（1）知， 故的面积为. 16. 已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． （1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求所在的直线方程． 【答案】（1）抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【小问1详解】 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； 【小问2详解】 显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 17. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)结合已知条件证明，可得，结合为直角三角形确定直角顶点为，取中点，利用正三角形与等腰直角三角形的性质可得平面，进而得到平面平面； (2) 根据平面将四面体分为体积相等的两部分，即到平面的距离为到平面的距离的，可确定为的中点，建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，进而可得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 由题设可得，，从而， 又是直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，． 又由于是正三角形，故， 所以为二面角的平面角， 在中，，又，所以， 故， 所以平面平面． 【小问2详解】 由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得． 故，，． 设是平面的法向量，则， 即， 可取． 设是平面的法向量，则， 同理可得， 则． 观察可得，该二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） （1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 【答案】（1），与之间高度线性相关 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算样本相关系数，再判断线性相关性； （2）先计算分布列，再求数学期望． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 接近1， 变量与高度线性相关． 【小问2详解】 表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种， 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故； 的分布列为： 数学期望． 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明在内存在唯一零点； （3）若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值． 【答案】（1）； （2） 因为，所以， 当时，，所以在内单调递增， 又，所以在内有一个零点， 所以在内存在唯一零点. （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得方程； （2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在性定理可证； （3）参变分离，利用导数求函数的最小值，结合可得. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，所以不等式， 记，则， 由（2）知，存在使得，得 且当时，，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以，因为，所以， 又，所以，所以整数k的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-4高二年级7月学情检测 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 4. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 10. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则___________ 13. 已知，，则________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． （1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求所在的直线方程． 17. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 18. 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） （1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明在内存在唯一零点； （3）若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $