精品解析：山东省实验中学东校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题

山东省实验中学东校区高三3月学情检测 数学 2026.3 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z的共轭复数为，若，则z可以为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 7. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 可能没有零点 B. 有两个极值点 C. ，在有最大值 D. ，在单调递增 10. 设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最大值 11. 已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______． 13 已知数列满足，且，该数列前20项和________． 14. 曲线上两点关于直线对称的点在曲线上，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 16. 已知函数. （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间. 17. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ （2）学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附： 01 0.01 0001 2.706 6.635 10.828 19. 已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学东校区高三3月学情检测 数学 2026.3 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 已知复数z的共轭复数为，若，则z可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共轭复数和复数相等的概念进行求解即可. 【详解】设复数，其共轭复数. 将和代入方程： 展开并简化左右两边： 左边： 右边： 比较实部和虚部： 实部： （恒成立） 虚部： 解得： ，即复数的形式为（其中为实数）. 检查选项： A:：满足且，符合条件. B: ：不满足. C: ：不满足 D. ：不满足. 故选：A. 3. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 4. 在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由三角形相似得，过点作于，即为点到直线的距离，进而是的中点，且是与的交点，当时，取得最小值，计算得到答案； 【详解】如图，连接，由正方体的性质易知，所以， 过点作于，则即为点到直线的距离，则是的中点， 所以是与的交点，当时，取得最小值， 又，在中，， 所以此时，故点到直线的距离的最小值为． 故选：D. 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 6. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 7. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设需提供的能量为a，由题意可得，求解即可. 【详解】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为， 即，解得：， 所以要能使获得的能量，则需提供的能量为. 故选：C. 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据外心的性质，得到，，再根据和，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 可能没有零点 B. 有两个极值点 C. ，在有最大值 D. ，在单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据极值点和零点的性质以及区间最值和单调性的计算方法依次判断即可. 【详解】选项A，三次函数，当时，，当时，，所以函数至少有一个零点，选项A错误； 选项B，，，判别式，故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确； 选项C，，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负，故在内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确； 选项D，在单调递增需恒成立，但开口向上，且必有一个正的变号零点，导致原函数在存在递减区间，选项D错误. 故选：BC. 10. 设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】设，用x表示相应长度和面积，根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对勾函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：设，则， 因为，所以． 矩形的面积， 因为，所以无最大值．故A错． 对于选项B：根据图形折叠可知与全等， 所以周长为．故B正确． 对于选项C：设，则，有， 即，得， ， 当时，取最大值．故C正确． 对于选项D：因为， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误． 故选：BC． 11. 已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，过作于点，求出进行判断，对于B，由选项A可得，然后利用三角函数恒等变换公式化简进行判断，对于C，利用三角形面积公式可得，然后利用三角函数恒等变换公式化简进行判断，对于D，将前面选项求出的，代入化简变形进行判断即可. 【详解】对于A，单位圆的内接正边形的中心角为， 如图设，过作于点，则， ，故A错误； 对于B，由A的结论，，则， 则，故B正确； 对于C，， 则，故，故C正确； 对于D，由上分析，，则， 故 ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则，先计算得点的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，该数列前20项和________． 【答案】1078 【解析】 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 14. 曲线上两点关于直线对称的点在曲线上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为与有2个交点，即有2个不同的实根，设，求导得到其单调性，并画出函数图象，结合的图象为过定点的直线，得到相切时的斜率，数形结合得到的取值范围. 【详解】与关于对称， 又上两点关于直线对称的点在曲线上， 故与有2个交点， 即有2个不同的实根， 即有2个不同的实根， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，且趋向于0时，趋向于， 当趋向于时，趋向于0， 作出的图象，如下： 且的图象为过定点的直线， 当与相切时，设切点为，此时， 又根据两点间斜率公式得， 所以，故， 由于在上单调递增，且， 故有唯一解， 故切线斜率为， 数形结合得到时，有2个不同的实根， 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形，利用余弦定理得，结合角的范围即可求解. （2）利用面积比例求得，再由余弦定理化简得，从而，即可证明. 小问1详解】 因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 16. 已知函数. （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合对称性的定义运算求解即可； （2）求导，分类讨论的符号，利用导数求的单调区间. 【小问1详解】 因为函数， 所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为， 所以， 即， 所以，故， 当且仅当时上式恒成立，故. 【小问2详解】 由题意， 当时，有且， 所以，故的单调减区间为； 当时，令， 且当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调或区间为； 综上，当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面，故， 同理可证， 综上，. 【小问2详解】 法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ （2）学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联 （2）①甲的计算公式计算为，乙的计算公式计算为，乙；②是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给条件计算出列联表中各项数据，再计算卡方统计量并与临界值比较判断零假设是否成立. （2）①算出甲、乙的偏差系数.先求数据均值，再按甲、乙公式分别计算偏差系数，比较大小后发现乙对大偏差数据体现更明显. ②证明乙处理方式合理，也就是证.设，构造函数，由得二次函数判别式，进而推出不等式，令，最终证得. 【小问1详解】 设男生有人，故，解得， 故男生中选择园艺课的人数为40人，又因为其有400人参加课程､ 所以女生有200人，女生中选择家政课的人数为80人. 完善列联表，单位：人 课程 性别 合计 男 女 家政 160 80 140 园艺 40 120 160 合计 200 200 400 零假设为：选择不同劳动教育课程与性别无关联. 因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 ①， 根据甲的计算公式计算：，故； 根据乙的计算公式计算：， 易知，因此乙的偏差系数大，从而乙对大偏差数据的存在体现更明显. ②采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式，即乙的处理方式是合理的. 证明：不妨设，只需证明恒成立. 不妨设，为任意实数， 则，，欲证，则证即可， 即证即可，故证即可， 设函数， 结合完全平方公式得，则二次函数的， 可得，即， 从而对于原式，不妨令，得到，， 得到，即恒成立， 故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的. 19. 已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. 【小问1详解】 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . 【小问2详解】 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. 【小问3详解】 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $