山东省实验中学东校区2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题

绝密★启用前 山东省实验中学东校区高三3月学情检测 数学 2026.3 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.直线y=-2的倾斜角为 A. B.0 c牙 2.已知复数z的共轭复数为z,若(1-)z=(1+iz,则z可以为 A.2+2i B.2-2i C.1+2i D.2-i 3.函数∫()=30s(2x-乃的一个对称中心是 B. c.( D.(0 4. 在边长为1的正方体ABCD-ABCD中，P是线段BD上一点，则点P到直线AC距 离的最小值为 A. B. 6 C.3 3 D.6 5.已知全集U=N,集合A={xx=3k,kEN},B={xx=6k,k∈N,则 A.AUB=B B.Bn(CUA)=0 C.BU(CUA)=U D.An CuB)=A 6.已知P(A)=0.6,P(B)=0.3,若A,B互斥，则P(AB)+P(AB= A.0.36 B.0.54 C.0.6 D.0.9 数学试题第1页（共4页） 7.生物学认为，在生态系统中，输入一个营养级的能量中，大约有10%的能量能够流 到下一个营养级.在H,→H2→H,→H,这个营养级代指的生物链中，若能使H,获 得10kJ的能量，则需H,提供的能量为 A.102kJ B.10kJ C.10kJ D.10%kJ 8.在△ABC中，点0满足OAHOBHOC1,且 0-44B+14C 9 9 ,则AB与AC的夹 角的余弦值为 A.5 B. 3 4 8 8 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=x3+ax2-2x+1,则 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)可能没有零点 C.a∈R,f(x)在(-∞，0)有最大值 D.3a∈R,f(x)在(0，o∞)单调递增 10.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为定值2a,如图，将△ABC沿AC向△ADC折叠， 使AB交DC于点P,则 A.矩形ABCD的面积有最大值 P B.△APD的周长为定值 C.△APD的面积有最大值 D.线段PC有最大值 11.已知单位圆O的内接正n边形A,A,A…An的边长、周长和面积分别为an,Ln,Sn,则 A.4=2cos L=cos元 n B.L 2n C.a. S.=cos D.L (2-a)=4S n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离PF=一 数学试题第2页（共4页） 2an,n为奇数 13.已知数列{an}满足a,=a2=1,且an+2= 则该数列前20项和 an+1,n为偶数’ S20= 14.曲线y=e上两点A,B关于直线y=x对称的点A',B在曲线y=2-x上，则k的取 值范围是一， 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角4B,C的对边分别为a6,c,已知B+2-a-方 1 (1)求A: (2)设∠BAC的平分线交线段BC于点D,若BD=2DC,证明：△ABC为直角三角 形 16.(15分) 已知函数f(x)=ln(1-x)+kln(1+x),k≠0. (I)若函数∫(x)存在一条对称轴，求k的值： (2)求函数f(x)的单调区间. 17.(15分) 在三棱柱ABC-A,B,C中，底面ABC是正三角形， A AA⊥BC,AC⊥AB. (I)证明：AA=AB=AC: (2)若∠AAB=∠AAC=45°，且AB=2,求直线AC,与 平面AAB,B所成角的余弦值. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 某校开设素质教育课程，共设置了两类课程：美育和文育，共有400名学生参加.学 校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但 其中有缺失.己知男生中选择美育课的比例为80%. 性别 合计 课程 男 女 美育 160 文育 120 合计 400 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生选择不同素质教育课程与性 别有关联？ (2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟 进，授课时长x(分钟)和学生任务完成率y%的对应数据如下： 时长x 2024 2832 36 90 完成率y% 5070606672 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完 成率偏差过大的情况，需计算偏差系数p(),现给出以下两种数据处理方式： 甲：pm=之，-列，乙：pm=2g-刃 已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显 ()用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数p(),并指出哪一种数据 处理方式对大偏差数据的存在体现更明显： ()判断此后学校每次调研均采用()中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处 理方式是否合理，并证明你的判断 附：x2= n(ad-be)2 0.1 0.01 0.001 (a+c)(a+b)(b+d)(c+d) 2.706 6.635 10.828 19.(17分) 已知曲线C:(x-1)2+(y-1)2=4 (1)求曲线C围成的平面图形的面积： (2)若M,N是曲线C上的两个动点，求MN的最大值： (3)是否存在直线y=x+1与曲线C至少有三个不同的公共点？若存在，求t的取值 范围；若不存在，请说明理由。 数学试题第4页（共4页） 绝密★启用前 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答案 A B D 0 A AC BC 题号 11 答案 BCD 12.13 13.1078 14.(0,1) 1 15.（1)因为+-a方所以+c2-g=bc c 由余弦定理，得cosA=+c2-a_1 2bc =2 又因为0<4<，所以4=骨 (2)因为AD是∠BAC的平分线，所以sin∠BAD=sin∠CAD, 设ABC的边BC上的高为h,则由g业= BD.h AB.ADsin∠BAD S,CAD CD.h 2 2AC,ADsin.∠cAD 得0=4g=2,即c=2b, CD AC 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+4b2-2b×2bx1=36, 所以c2=a2+b,从而C=,故@BC为直角三角形 16.(1)因为函数f(x)=ln(1-x)+kn(1+x), 所以函数定义域为(-1,1)，且函数f(x)存在一条对称轴，故对称轴为x=0, 所以f(x)=f(-x), In(1-x)+kIn(1+x)=In(1+x)+kln(1-x), 所以(1-k)h(1-x+(k-)n(1+x)=0,故1-k)n-x=0, 1+x 答案第1页，共7页 当且仅当1-k=0时上式恒成立，故k=1. a腿r吉点 当k<0时，有(k+1)-(k-1)=2>0且(k+1)(-1)-(k-1)=-2k>0, 所以∫'(x)<0,故f(x)的单调减区间为(-1，)： 当0时，令r倒-0x-石(0， k+1 且当x时.了0，当x(时.了k0, 所以因的单调增区间为(-单调或区间为怎月 综上，当k<0时，f(x)的单调减区间为(-1，)，无增区间： 当>0时，侧的单调递增区间为(-会分，单调递减区同为会品)。 17.(1)过点A作A,O⊥平面ABC于点O,BCc平面ABC,所以AO⊥BC, C A- Pǒ E B 又AA⊥BC,AA∩AO=A,AA,A,Oc平面AAO, .BC⊥平面AAO,AOc平面AAO,∴BC⊥AO, 同理可证AB⊥CO,又ABC是正三角形，则O是ABC的中心， 连接AO,CO并延长交BC,AB于E,F,则E,F分别为BC,AB的中点， 又BC⊥平面AAO,A,Ec平面AAO,∴.BC⊥AE,故AB=AC, 同理可证A,B=AA, 综上，AA=AB=AC. (2)法一：由(1)知，三棱锥4-ABC是正三棱锥， 且A在底面ABC内的投影为等边eABC的中心O, 又∠AAB=∠A,AC=45°，故三棱锥A-ABC的三个侧面 答案第2页，共7页 △A,AB,△ABC,△AAC均为直角三角形， 且∠AB=∠BAC=∠4C=90,则4E=54A,又AB=2, 可知40-290-9，则40-4f-40-4E-0, 解得AA=V2,在平面AACC中过C作GMIIAC, 交AA,延长线于点M,则C,M⊥平面AAB, 则∠CAM即为直线AC,与平面AA,B,B所成角，其中 AC,=V10,AA=√2，AM=2√2， 故cos∠C,AM=AM-2V2_2W5 AC10 5 即直线4C与平面AAB,B所成角的余弦值 5 A B 法二：以BC的中点E为坐标原点，以EA,EB为x,y的正方向， 过E且与OA平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， B 则4(50,0，B(01,0),C0,-10),A 设平面AA,B,B的法向量为i=(x,y,z), 答案第3页，共7页 AB.=3x+y=0 则 29 3 设直线4C与平面4A8所成角为9,0[0引 .AC 司V05等，故os0=25 √65 所以sin0= A 5 即直线AC,与平面MB,B所成角的余弦值25 18.(1)设男生有x人，故x.80%=160,解得x=200, 故男生中选择文育课的人数为40人，又因为其有400人参加课程、 所以女生有200人，女生中选择美育课的人数为80人. 完善列联表，单位：人 性别 合计 课程 男 女 美育 160 80 140 文育 40 120 160 合计 200 200 400 零假设为H。：选择不同素质教育课程与性别无关联 因为x_400x060120-80x40)-200,10.828=4m, 240×160×200×200 3 故依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生选择不同素质教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)(i)方=50+70+60+66+72+84 =67, 6 根解甲的计算公式计第：0一-之以-引故0-碧-亭。 6 答案第4页，共7页 根据乙的计算公式计算： 2-列= 331 73 易知， 331、25 因此乙的偏差系数大，从而乙对大偏差数据的存在体现更明显。 (ⅱ)采用()中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式， 即乙的处理方式是合理的. 证明：不妨设S=上之y-外T=、 只需证明T≥S恒成立， h7n 不妨设a=y-,b,为任意实数， 则5=之，之，欲证T≥，则证 n 2a≥24，即可， n 即证2≥之，》即可，故证吃。2空a即可， 设酒数/（么4）小女-2它4的+2. 结合完全平方公式得f)=(a,x-b广≥0，则二次函数f(x)的△≤0， 阿它-4s0,它2它eoj, 从面对于原式，不销令6=山，得到2=，（它向八-（它》 得到24≥2a,月，即T≥S恒成立， 故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的. 19.(1)曲线C既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当x20,y20时，曲线方程为(x-1)2+(y-)2=4. 记圆心为A,与x,y轴分别交于B、C两点， 则B(V5+l,0,C0,5+,过点A作AD⊥OB, 则20AD-4080-骨 所以∠OAB=∠OAC=7m 12 答案第5页，共7页 所∠Bc-n沿-晋-晋 所以'c 5×2= 5π 6 3 15x2= S=2X3 5π 3 所以5am+小k-号+分同理soe=9 2 +2 由对称性可知，曲线C围成的平面图形的面积 s=4soc+.ae+a)=45+1+) (2)记曲线C在第一象限的圆心为O,第二象限的圆心为O2, 第三象限的圆心为O,、第四象限的圆心为O 汽 02 01 03 •04 情况1：不妨M,N都在第一象限（或坐标轴正半轴），MN<4. 情况2：不妨M在第一象限（或坐标轴正半轴），N在第二象限（或y轴负半轴）时， MN≤MO+O,O2+O2N=6(当且仅当M,N,O,O2四点共线时等号成立)，此时MN最大值 为6. 情况3：不妨M在第一象限（或坐标轴正半轴），N在第三象限（或坐标轴负半轴）时， MN≤MO,+O,O,+O,N=2W2+4(当且仅当M,N,O,O2四点共线时 等号成立)，此时MN最大值为2√互+4. 综上，根据对称性可知MW最大值为2√2+4. (3)当0≤t<√5+1时，研究直线与曲线C在第一象限的公共点. 答案第6页，共7页