重难点6-3 平面向量的综合问题（6重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】（新高考通用）

重难点6-3平面向量的综合问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近年来，对平面向量的考查，单独考查平面向量的难度不大，但平面向量与三角函数、解析几何等交汇考查的题目，都有一定的难度． 2025年北京卷，选择题，5分 2023年全国乙卷，选择题，5分 2023年全国甲卷，填空题，5分 2024年天津卷，单选题，5分 ．预计2026年高考仍然以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识（如三角函数、几何图形）结合． 重难点题型【一】、平面向量与三角函数交汇 1．（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、解余弦不等式、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果. 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量与几何最值 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、相等向量 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、坐标计算向量的模、函数新定义 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 5．（25-26高三上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数、解析法在向量中的应用 【分析】（1）法一：根据已知得、，结合已知向量的线性关系，即可得；法二：连接，通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值. 【详解】（1）法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； （2）法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 重难点题型【二】、平面向量与解析几何交汇 1．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【详解】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B 2．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆定义得，，利用面积公式和平行四边形性质求得，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图所示，由椭圆的对称性可知，，且四边形是平行四边形， 令，则，可得，故， 所以，. 由题意知，解得， 因为， 所以，故. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以离心率， 故选：D. 3．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆定义及角平分线的性质求得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 【答案】 【难度】0.78 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【详解】因为，所以， 由椭圆定义，得， 又因为， 所以. 设C的焦距为，由勾股定理，得， 又，所以， 所以． 5．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 6．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 重难点题型【三】、平面向量与平面几何交汇 1．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量与几何最值 【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解. 【详解】要使最大，与的夹角小于， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为， 则 ， 所以当与同向时，， 此时最大值为， 故选：D. 2．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 3．（24-25高三上·河南·月考）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 4．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则______. 【答案】/1.1875 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】利用极化恒等式将化简成含有半径的式子，即可转化成的形式，可得结果. 【详解】设圆的半径为， 由题意得 ， 且 ，， 所以，所以. 故答案为： 5．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 【答案】 2 2 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 重难点题型【四】、平面向量与函数交汇 1．（2026·河北邢台·一模）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 3．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、垂直关系的向量表示、利用椭圆定义求方程、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】先根据椭圆和圆的定义确定点和点的轨迹，然后求出圆心到椭圆上一点的最大距离，最后加上圆的半径得到的最大值. 【详解】记， 不妨设， ， ，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其方程为：； 由得， 即，， ，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆， ， 设坐标为， 当时，， . 故选：D. 4．（2026·安徽合肥·一模）已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、数量积的运算律 【分析】平移直线与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得到直线的距离的最小值，取的中点为，进而可求的最小值. 【详解】当直线平移到与曲线相切于点， 此时切点是曲线上的点到直线的距离最小的点， 由，得， 因为直线的斜率为，所以令，整理得， 解得（舍去）或，又，故此时切点， 且此时到直线的距离为， 又，故此时到直线的距离为， 取的中点为，时，的长取得最小值，如图所示： 由直线，可得， 所以，所以， 又 , 故最小时，的最小值，且最小值为. 故答案为：. 5．（2025·四川南充·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为___________． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、轨迹问题——圆、利用椭圆定义求方程 【分析】先求出两个轨迹方程，可设，，则，由辅助角公式表示出的最大值，再由二次函数的性质求出答案. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设，， 设，由可得： ， 表示动点到两点的距离之和为， 则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 则点的轨迹方程为：， 设，由可得：， 表示动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以动点的轨迹方程为， 所以可设，， ， 所以，， 所以 ，其中， 所以当时，的最大值为， ， 当时，的最大值为. 故答案为： 重难点题型【五】、平面向量与数列交汇 1．设，且，记，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】构造向量 ，把转化为向量，再由三角形面积公式和夹角公式变形再可求解． 【详解】设，记， 则 故选：B. 2．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】相等向量、组合数的计算、集合新定义 【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个, 且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 3．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． (1)写出数列无界的定义； (2)已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： (3)两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 【答案】(1)见解析 (2)有界；无界 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、裂项相消法求和、数列新定义 【分析】（1）根据有界的含义可得无界的定义； （2）由题意结合有界的定义与无界的定义分别计算可判断，的有界性； （3）记点，则由条件得，分点重合与点不重合两种情况，结合向量的数量积讨论可得结论. 【详解】（1）； （2）对于数列，当时，， 当时，因为， 所以， 又，所以，所以有界； 对于数列，先证时，， 令，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 令，有，所以， 对于，取，表示不超过的最大整数， 所以，所以无界； （3）记点，则由条件得， ①若点重合，则，所以，所以； ②若点不重合，则点在以线段为直径的圆上， 所以是单调不增的数列，因为，所以， 当充分大时，要么，所以与重合，所以， 要么，所以充分大时，所有点均重合， 所以存在，使得． 【点睛】关键点点睛：关键在于理解有界与无界的定义，从而结合定义计算，可判断结论，证明无解，关键在于证明. 4．（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)存在，或 【难度】0.4 【知识点】向量在几何中的其他应用、求等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）先根据抛物线过的点求出，然后利用得，然后根据等比数列的定义证明，并根据等比数列的通项公式求解即可. （2）法一：求出直线的斜率，进而求出直线方程，求出到直线的距离及，代入三角形面积公式求解即可. 法一：先证明在中，，则的面积，然后代入三角形面积公式求解即可. （3）先根据求出，利用等差数列求和公式得，再代入已知等式列式求解，即可求得满足条件的正整数. 【详解】（1）点在抛物线上，， 即抛物线方程为. . 即. . . 是以2为首项，2为公比的等比数列，即. 符合上式，数列的通项公式是. （2）（法一）. 直线的斜率为. 直线的方程为：，即. 到直线的距离为， . . （法二）证明：在中，， 则的面积. 证明如下：， . 下面求的面积. ， . . （3）. . . .， 或或. 解得或或（舍）. 或. 【点睛】关键点点睛：对于新结构数列的证明问题，要结合题干中递推式关系，根据等比数列（等差数列）的定义式判断即可，注意证明等比数列时，要说明项不为0. 重难点题型【六】、平面向量与不等式交汇 1．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、利用不等式求值或取值范围 【分析】设，则.由题求出的取值范围，根据不等式的性质，可得的取值范围. 【详解】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、向量夹角的坐标表示 【分析】设等边三角形的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出，可得，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求参数 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 4．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为__________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求投影向量 【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 因为向量在向量方向上的投影为 ， 当且仅当时等号成立， 故向量在向量方向上的投影的最小值为. 故答案为：． 5．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用向量垂直求参数 【分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 一、单选题 1．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】向量加法的法则、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据向量的平行四边形法则及定点到圆上的距离求解即可. 【详解】取线段的中点（如图所示）. 因为，所以为等边三角形，， 所以点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，即. 所以. 故选：B. 2．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 3．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 4．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值 【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 5．（23-24高一下·四川内江·期末）已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】由题意首先得，然后，结合约束条件可得，进一步利用三角换元、三角函数性质以及三角恒等变换即可求解. 【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解. 二、填空题 6．（2026·江苏南通·一模）在中，，，则的最小值为_____． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】求出焦点的坐标和准线方程，得到的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去，得到的一元二次方程， 设，根据韦达定理得到，利用得到，从而得到的值，求出，利用三角形的面积公式得到，结合已知的面积为得到的值. 【详解】设抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点为， 设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去， 得到，即， 设，则有， ，， ， ，， ， ，，，， ， ， ， 的面积为，，，. 故答案为：. 8．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则_____. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、数量积的坐标表示、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】先求出函数的解析式，判断函数奇偶性，根据题意设，利用已知条件求出的坐标，写出向量的坐标，利用向量数量积运算即可. 【详解】由， 当时，， 则时，， 所以， 所以， 由函数定义域为关于原点对称， 且当时，， 当时，， 所以函数为偶函数，图象关于对称， 因为点是函数的图象上在轴右侧任意一点， 所以设， 又过作直线的垂线，则垂线的斜率为1， 所以垂线方程为：， 即， 联立，解得：， 即， 又过作轴的垂线与的图象交于另一点， 且函数为偶函数， 所以， 即， 又， ， 所以， 故答案为：4. 9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、已知切线求参数 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆，再由直线与圆相切，可得的最大值． 【详解】因为， 所以，所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：    由图可知，当与圆相切时，取得最大值， 因为，，所以，即的最大值为． 故答案为： 10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 【答案】 6 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 11．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果； （ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果. 【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 12．（2025·河南·二模）已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】设，利用向量数量积定义求得的表达式，进而利用三角函数求得其最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设，则，当且仅当时取等号， 连接，设，则，， 则 又，则， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将转化为的三角函数. 三、解答题 13．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，最后通过坐标关系判断中点. （2）方法1通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到的值；方法2则是利用向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解的值. 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点6-3平面向量的综合问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近年来，对平面向量的考查，单独考查平面向量的难度不大，但平面向量与三角函数、解析几何等交汇考查的题目，都有一定的难度． 2025年北京卷，选择题，5分 2023年全国乙卷，选择题，5分 2023年全国甲卷，填空题，5分 2024年天津卷，单选题，5分 ．预计2026年高考仍然以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识（如三角函数、几何图形）结合． 重难点题型【一】、平面向量与三角函数交汇 1．（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 5．（25-26高三上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 重难点题型【二】、平面向量与解析几何交汇 1．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 5．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 6．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 重难点题型【三】、平面向量与平面几何交汇 1．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 2．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 3．（24-25高三上·河南·月考）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 4．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则______. 5．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 重难点题型【四】、平面向量与函数交汇 1．（2026·河北邢台·一模）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·一模）已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____． 5．（2025·四川南充·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为___________． 重难点题型【五】、平面向量与数列交汇 1．设，且，记，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 3．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． (1)写出数列无界的定义； (2)已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： (3)两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 4．（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 重难点题型【六】、平面向量与不等式交汇 1．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为__________． 5．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为____________. 一、单选题 1．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 3．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 4．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（23-24高一下·四川内江·期末）已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·江苏南通·一模）在中，，，则的最小值为_____． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为________． 8．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则_____. 9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为______. 10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 11．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 12．（2025·河南·二模）已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______________. 三、解答题 13．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $