重难点5-3 数列中的综合问题（3重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点5-3数列中的综合问题 考清分折 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 数列可看作自变量为正整数的函 2025年天津卷，解答题，15分 近三年来，高考对于数列的考查 数，数列的通项公式相当于函数 2025年全国一卷，解答题，15分 逐年增多.题目不仅要求考生理 的解析式，通过类比方程探索， 2024年北京卷，解答题，18分 解新定义的概念和运算规则，还 会破解两个数列的子数列问题， 2024年天津卷，解答题，15分 要求考生能够灵活运用集合的基 数列与函数的综合问题，数列与 2024年全国二卷，解答题，15分 本知识进行综合分析和推理.部 不等式的综合问题。 2024年全国一卷，解答题，15分 分题目还会涉及到与其他数学领 域的知识结合，如数论、函数等， 增加了题目的复杂度和难度。 同络构鱼 ①子数列问题 数列中的综合问题 ②数列与不等式的综合问题 3数列与函数的综合问题 1 提升·必考题型归纳 重难点题型【一】、子数列问题 1.(2026云南昭通模拟预测)已知各项递增的等比数列{a},等差数列b,}其前n项和分别为S,T,满 足S2=T2=6,S4=30,T4=20. (1)求{an},{bn}的通项公式： (2)将数列{a}与{b}中的项按从小到大依次排列构成一个新数列{c},求数列{c}的前50项和Ho· 2.(2025云南模拟预测)已知正项数列a,}的前项和为S,且S,=(a,+1川a,+2,neN. 6 (1)证明：{a}为等差数列，并求所有满足条件数列an}的通项公式： (2)把所有满足条件的项a.从小到大依次排列，组成新的数列bn}，记数列{bn}的前项和为T,求T,· 2 3.（2025湖北模拟预测)已知等差数列an}的前n项和为Sn,且S2=4,S4=16;数列b}满足 2"b+2-b,+…+2b,=(n+1)2"+-2,n∈N. (1)求数列{an}和{b,}的通项公式： (2)cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn; 3)将数列《-)”a,}和数列(b,}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d}，其中重复的数按照出现 的个数重复排列，求{dn}的前106项和 4。(2025天津河西模拟预测)已知数列a,的前顶和S,1-4,小，数列6满足2+6-384， neN'. (1)求数列{an}和b}的通项公式： 2)数列c,满足c,=a,b,若c,≤m2+m-刂对于一切meN恒成立，求实数m的取值范围： (3)设dn=2Van,在4和d之间插入1个数x,使d,x,成等差数列；在4和4之间插入2个数x21, x2,使4，x21,x22,成等差数列；以此类推，在dn和dn1之间插入n个数xn1,x2,,xm,使n, xnl,xn2’,m,dn1成等差数列.若Pn=d,+x1+d2+x21+x2+d+…+dn+xn+…+xm,求Pn 3 重难点题型【二】、数列与不等式的综合问题 1.(2026-江西九江一模)已知数列an}的前n项和为Sn,a,=1,且S。=naa+1-n(n+1. (1)证明： 是等差数列； n (2)若Sn<2an+7,求的最大值. 2.(2026·安徽宿州.一模)已知各项均不为零的数列{a}、b.},且满足a,=b=l,abn-a,b2=0,neN. (1)若{b}是公比为√的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn; (2)若{b,}是公差为2的等差数列，记数列 1 a 前项和为江，证明：无< 4 3.(25-26高三上广西崇左·期末)设等比数列{an}的公比q<0,a2+a+a4=1,且a4+a5+a6=9. (1)求9的值： (2)若an,an1,an+2-an成等差数列，求1的值； 1 (3)设数列 a 的前项和为，证男：>华 4.(25-26高三上辽宁抚顺期末)已知数列a的前项和为S,且S-0.-. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)”·an,求数列bn}的前n项和Tn; (3)若Vk∈N,I-1<元<T24,求1的取值范围. 5 5.（10-11高三浙江·月考)已知数列{an}的首项a= 5，a1E20+1’n=1,2, (1)求证：数列 1 --1 为等比数列； a。 11 2)记5，-4+4++。，若.<100，求最大正整数n a az 6.（2026四川绵阳.二模)已知等比数列a,的首项为1，前项和为S,且=3 S321 (1)求{an}的通项公式： (2)求使S,>2an成立的的取值范围. 6 重难点题型【三】、数列与函数的综合问题 1.(2026福建泉州.二模)已知函数fx=x-alnx+1. (1)讨论f(x)的极值； (2)证明：当xe[0,时，x≤三ln(x+1): (3)证明： 二ln2026 2.(2026宁夏银川模拟预测)设函数f(x=√3si2ox+cos2ox+1(o>0),且f(x)的图象相邻两条对称 轴的距离为 (1)求f(x的单调递增区间； 。13元 {2求f(x)在x∈0,24 上的值域； (3)将f(x)所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列{x},求数列的前30项和. 7 3.（25-26高三上广东·月考)已知函数f（x)=x2+3x,fn)为数列{an}的前n项和. (1)求{an}的通项公式： (2)记数列 1 a,f"(2n) 的前项和为工，证明：工<号 4.(2025黑龙江大庆.模拟预测)设Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0,4S。=a+2an+1,数列{bn}满足 a+1+an,n为奇数， an+-an,n为偶数， (1)求数列an}的通项公式： (2)记数列{bn}的前项和为Tn,若对于任意n∈N,T,≥10n+元恒成立，求实数2的取值范围. 8 题型特训·精准提分 1.(2026安徽黄山一模)已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且a=2Sn-a(neN (1)求数列{an}的通项公式： (2)若f'"(x为函数f(x)=V的导函数，记b='(a,),求数列 b,·b1的前n项和7· b+b 2.(2026河南南阳·模拟预测)记数列an}的前n项和为Sn,已知a,=1,{2a,-Sn}为常数列. (1)求{an}的通项公式： (2)在a,与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成个公差为dn的等差数列，求数列 的前n项和Tn 9 3.(2026山东济南一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2. (1)求{an}的通项公式： 《2)设6，=1og24,记7为数列b,的前项和，证明：之7<2. 4.(2025新疆模拟预测)已知正项数列{a}满足a,=2,2a1=a。+a2(n∈N),且a,-2,a4,2a,-3成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}中第2项，第4项，山，第2项构成新数列{b},记{b}的前n项和为Sn,求Sn 10 重难点5-3 数列中的综合问题 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 数列可看作自变量为正整数的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，通过类比方程探索，会破解两个数列的子数列问题，数列与函数的综合问题，数列与不等式的综合问题。 2025年天津卷，解答题，15分 2025年全国一卷，解答题，15分 2024年北京卷，解答题，18分 2024年天津卷，解答题，15分 2024年全国二卷，解答题，15分 2024年全国一卷，解答题，15分 近三年来，高考对于数列的考查逐年增多．题目不仅要求考生理解新定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用集合的基本知识进行综合分析和推理．部分题目还会涉及到与其他数学领域的知识结合，如数论、函数等，增加了题目的复杂度和难度． 重难点题型【一】、子数列问题 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 2．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式； （2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）令，则， 由得，解得或， 因为，则， 两式相减得， 化简得， 因式分解得， 由已知，故. 所以是公差为3的等差数列. 当时，数列的通项公式为， 当时，数列的通项公式为. （2）满足条件的数列有两个： 数列1：，即1，4，7，10，13，… 数列2：，即2，5，8，11，14，… 将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，… 所以数列是所有不能被3整除的正整数数列， 所以数列的通项公式为 当为偶数时，设，则 ，将代入得， 当为奇数时，设，，则 ， 将代入得， 因此. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 4．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用与对数运算可得出数列的通项公式； （2）分析数列的单调性，可得出最大项的值，结合题意可得出关于的不等式，解之即可； （3）求得，设，利用错位相减法可求出，利用等比数列的求和公式可求出，由此可得出. 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以， 所以数列的最大项为和，且， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． （3）因为， 设， 则 设， 所以， 两式相减得， 所以，故， 设， 所以． 重难点题型【二】、数列与不等式的综合问题 1．（2026·江西九江·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据题意化简得到，即可证明是等差数列； （1）由（1）算出，进而求出，代入不等式计算即可. 【详解】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 2．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列，且满足. (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算、累乘法求数列通项 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【详解】（1）由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； （2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 3．（25-26高三上·广西崇左·期末）设等比数列的公比，，且 (1)求的值； (2)若，，成等差数列，求的值； (3)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)由 计算公比； (2)根据等差中项性质计算； (3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以． （2）因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． （3）因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 4．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【详解】（1）由 ，当 时，，解得 ； 当 时，， 整理得 ， 即 故数列 是首项为 、公比为 的等比数列， 所以 因此 （2）由 . ， （3）由（2）知， 由，知 易知 单调递减， 所以， 而 单调递增，所以， ， 只需， 即. 故 的取值范围是 . 5．（10-11高三·浙江·月考）已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)99 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【详解】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比，写出通项公式； （2）求出等比数列的前和，分类讨论解不等式即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， 重难点题型【三】、数列与函数的综合问题 1．（2026·福建泉州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)证明：当时，； (3)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、裂项相消法求和 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得的极值情况； （2）设，由（1）的分析可得的单调性，从而可得当时，恒成立，故可证题设中的不等式； （3）由（2）中的不等式可得，利用裂项相消法证明. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增，函数无极值； 当时，令得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以当时，取得极小值，无极大值. （2）令， 由（1）知，取时，， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以时，； 又因为，所以时，， 综上当时，，即，当且仅当时等号成立. （3）令，则, 则由（2）中结论可得即， 因此， 所以. 2．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）先用辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再根据正弦函数的单调递增区间可得； （2）先求得，再根据正弦函数的性质可得函数的值域； （3）先由函数解析式可得函数的零点，再根据所有零点排列的特征得数列的奇数项和偶数项均构成等差数列，再进行分组求和可得. 【详解】（1）因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以，所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，，所以，，，， 所以在上的值域为. （3）因为，令，得， 所以或，，即或，， 所以所有的正零点需满足或，得为正整数. 所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 3．（25-26高三上·广东·月考）已知函数为数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案 【详解】（1）由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； （2）证：， ， 又， 故. 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前项和，已知，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由与的关系，代入计算，结合等差数列的通项公式，即可得到结果； （2）分为奇数与偶数讨论，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）令，可得，故，所以， ， 所以， 所以，因为，所以， 数列是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为. （2）由（1）得，， 所以， 当为偶时，， ， 当为偶数时，， 所以， 因为对于任意恒成立， 当为奇数时，又 当时，取最小值，最小值为， 所以， 当为偶数时， 当时，取最小值，最小值为， 所以， 综上可得的取值范围. 1．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 3．（2026·山东济南·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式，利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，作差得： ， 即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2）， ， 所以， 所以， 命题得证. 4．（2025·新疆·模拟预测）已知正项数列满足，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等比中项的应用 【分析】（1）根据递推公式得到为等差数列，设公差为，从而得到方程，求出公差，求出通项公式； （2）由题得到，分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）因为，故为等差数列，设公差为， 又，所以，，， ，，成等比数列，故，解得或4， 由于为正项数列，所以， ； （2）由题意，， . 5．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足． (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，结合放缩法和裂项求和，求得，再由，证得，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足， 可得， 又由，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：， 所以，故， 因为，故，因此． 6．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 7．（2025·浙江台州·一模）设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. 8．（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可. （2）利用错位相减法求和. （3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可. 【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. （2）由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. （3）由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 10．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）应用因式分解得出，进而得出等差数列通项公式，再应用计算得出等比数列的通项公式； （2）应用等比数列求和公式及等差数列求和公式分组求和即可求解； （3）应用裂项相消计算得出取得最小值，最后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知，所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $