重难点5-2 求数列的前n项和（6重难点题型+3秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点5-2求数列的前n项和 考情分析 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 在近三年高考数学中的占比约2025年天津卷，解答题，15分 预计2026年稳中求变，基本概 10%-15%,分值在10-15分左右， 2025年全国一卷，解答题，15分 念、公式和性质的考查仍会占据 选择题、填空题、解答题都有出 2024年北京卷，解答题，18分 主要部分，但题目设计会更加灵 现.求数列的前n项和的计算以 2024年天津卷，解答题，15分 活，注重知识点的综合应用.数 及性质应用是高考的热点，解答 2024年全国二卷，解答题，15分 列问题可能会更多地结合现实生 题中通常结合其他知识点，考查 2024年全国一卷，解答题，15分 活中的情境. 综合运用能力. 可络的通 ①公式法（等差数列与等比数列） ②分组求和法 3裂项相消法 求数列的前n项和 ④并项求和法 ⑤错位相减法 ⑥放缩法求数列前n项和的范围 1 一夯基·必备基础知识梳理 秒杀技巧与性质一：公式法 .=a+a）=a,+nn+Dd (1)等差数列am}的前n项和 2 2”，推导方法：倒序相加法. na1,9=1 S,= a1-q") 9≠1 (2)等比数列a}的前n项和 1-9 ,推导方法：乘公比，错位相减法. 秒杀技巧与性质二：几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和 时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列。与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那 么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 秒杀技巧与性质三：常见放缩公式： 1 1=1-1(n≥2) (1)(n-n n-1n 1、111 (2)>nn+nn+, =C之<r22 (4) nr(n-r！nr!rr-1r-1r 2 122 (6)厉a+na-i+石=2到--i+顶(n≥2) 12、2 )分n+厉n+n+2-历+a+可 1 2 1m-1-2-1+i 2√2 (8) Va-2+vn 2" 2” 2” 2- 11 9)2-2-2-可2-2-22-川2-可22可≥2， 11 Jn+1-Vn-i 1 (10厉nma-an+可-mn+Vn+i-V 2 2 )原a+a7天aa-1+n-小方a-aa+a-司 < -2n可1-列.2-2m≥2列 n-1)n n-i√万 11 1222 (12)2-1+°-1Cg+C+C:-1nn+1nn+i 12- 11 (13)2-124-2-可2-12-m22到 (14) 2m-同-c结-可 一提升·必考题型归纳 3 重难点题型【一】、公式法 1.(2026湖南怀化一模)已知等差数列a,的前”项和为S,且4，+a=0,5a,+a,+2=0 1求数列a,的前”项和5： 2)记么，=2”，数列b,的前”项积为7，求7，+的最小值 4 2.(2026山西大同一模)已知数列a的前”项和为S,4=1,3S,=0-1 1求数列a的通项公式： 2求数列S,的前”项和乙. 3 a= ns1 3.(2026-山东聊城一模)已知数列{a满足” 2n-1,n≥2 1求a,的前n项和S: 2记数列6的前n项和为，若乙。=2b,-2+6 ∫b. ()证明数列2”了为等差数列，并求出{b,}的通项公式： (i)求数列Sn」的前n项和Mn· 5 4.(2026广东深圳一模)已知数列a,是等比数列，4=2,0，=4，数列b,}满足： ab+a2b2+…+abn=n~anl 4求a},b,的通项公式： 〔1 (2)求数列bn·b1的前n项和Sn 重难点题型【二】、分组求和法 1.(2026四川绵阳模拟预测)已知数列a,b,满足4=3,6=山a,=a1-b+2n6,=h-a,+2n, (n22). (1)证明：数列a。-b 是等比数列： 2求a的通项公式，并求a,的前”项和S,。 6 2.(2026广西南宁，一模)已知数列a,的前n项和S,=”+pm（p为常数)，且4=8. 1求0，的通项公式： 2 ②没2，数列2+6的前n项和为，趣影7<2力 4 3。(2026广西柳州二模)设等差数列a,的前”项和为5，且4=2，S=15. ()求a,的通项公式： 2设么=2”+0，求数列b,的前”项和7. 7 4。(2025四川凉山一模)在等差数列a,中，4+4，=14,4+a,=20 1求数列a,的通项公式： 2已知数列么，-a是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和S,. 重难点题型【三】、裂项相消法 1.(2026甘肃兰州一模)已知数列a,中，4=1，当n≥2时，a为0+n∈N的展开式第3项的 二项式系数 (1)求数列a,的通项公式： 1 2设数列6满足-4，数列么的前n项和为，求证：15<3. 8 2。(25-26高三下河南开学考试)在数列a,中，4=n+)a,=0,. 1求的通项公式 1 (2)设Sn为a,}的前n项和，求数列a2Sn了的前n项和T。 3。(2026安徽黄山一模)已知5是正项数列a的前n项和，且“听=2，-an∈N) 1)求数列a的通项公式； bn·b1 (2)若f'(x为函数fx)=Vx的导函数，记bn=f'(an),求数列bn+b.的前n项和T. 9 4.(2026云南模拟预测)已知函数/)=“-1(a>0且a≠1)的图象经过点山2)，记数列a,的前” 项和为5，且=fm (1求数列a的通项公式： 3”-1 a设久“aa+训，数列么的前项和为，求证：引7位 重难点题型【四】、并项求和法 1.(2026云南昭通模拟预测)已知各顶递增的等比数列a,,等差数列b,其前n项和分别为，乙， 满足5，=乃=6,9=307=20 4求a,6的通项公式 2将数列a,与b,中的项按从小到大依次排列构成一个新数列c,,求数列C的前50项和H。 10 重难点5-2 求数列的前n项和 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 在近三年高考数学中的占比约10%-15%，分值在10-15分左右，选择题、填空题、解答题都有出现．求数列的前n项和的计算以及性质应用是高考的热点，解答题中通常结合其他知识点，考查综合运用能力． 2025年天津卷，解答题，15分 2025年全国一卷，解答题，15分 2024年北京卷，解答题，18分 2024年天津卷，解答题，15分 2024年全国二卷，解答题，15分 2024年全国一卷，解答题，15分 预计2026年稳中求变，基本概念、公式和性质的考查仍会占据主要部分，但题目设计会更加灵活，注重知识点的综合应用．数列问题可能会更多地结合现实生活中的情境． 秒杀技巧与性质一：公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 秒杀技巧与性质二：几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 秒杀技巧与性质三：常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 重难点题型【一】、公式法 1．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.83 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 2．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 3．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【难度】0.48 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 4．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，，，. (2). 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 重难点题型【二】、分组求和法 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【详解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． 2．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）先根据得到，再根据求出通项公式； （2）求出，，利用分组求和，裂项相消法得到. 【详解】（1）因为，解得， 故， 故当时，， 又，故也满足， 综上，通项公式为； （2）， 故， 所以 . 3．（2026·广西柳州·二模）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题设结合等差数列的基本量计算解出，，进而求解即可； （2）先得到，然后利用分组求和求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得，解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 重难点题型【三】、裂项相消法 1．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.52 【知识点】求指定项的二项式系数、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【详解】（1）由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； （2）由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立， 易知在上单调递增， ，，所以. 2．（25-26高三下·河南·开学考试）在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）通过变形递推关系式并构造常数列求解； （2）通过等差数列前项和公式、裂项相消求和法求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故． （2）由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 3．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 4．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先将代入到，求得的解析式即，由验证首项后即可求得数列的通项公式； （2）使用裂项相消先将裂项为，进而可求得，因为，所以，结合数列的单调性，可得，即可得证. 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 重难点题型【四】、并项求和法 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 【详解】（1）由数列为等差数列，则，解得， 可得等差数列的公差， 可得 所以等差数列的通项公式为.. （2）由等差数列易知， 则，设数列的前项和为， 可得， 当时，； 当时，. 综上可得数列的前项和为. 3．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 4．（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . 重难点题型【五】、错位相减法 1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.62 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和、构造法求数列通项 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 2．（25-26高三上·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）通过，当时，两式相减得出，进行适当变形即可证明； （2）由（1）得出的通项公式，进一步得出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）因为，① 所以当时，，② ①②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是以公比为，首项为的等比数列. （2）由（1）数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以 ，所以， 所以数列的前项和为： ，③ ，④ ③减④得：， 即， 所以. 3．（2026·辽宁沈阳·一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和通项公式可求，利用等比数列的基本量运算可求； （2）先求，利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64， 所以，解得，所以； 数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则， 因为，，所以，解得或（舍）， 所以. （2）由（1）知， 则，可得， 两式相减可得 ， 所以. 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）通过与的关系求解即可； （2）先借助（1）代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 重难点题型【六】、放缩法求数列前n项和的取值范围 1．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、数列求和的其他方法 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 2．记正项数列的前项和为，已知，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用，，成等比数列解得、，再利用得，两边同除以可得数列是等比数列，从而得出数列的通项公式； （2）利用即可得答案. 【详解】（1）当时，；当时，. 因为，，成等比数列，所以， 所以，解得或（舍），所以， 因为①，所以当时，②. ①②得，化简得（也成立）， 两边同除以得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即数列的通项公式为； （2）因为，所以，当且仅当时取等号， 即，整理得，， 所以，故. 3．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】数列求和的其他方法、数列新定义、等比数列的定义 【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明 (2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可. 【详解】（1）点在函数的图象上，， 是“平方递推数列”．                         因为， 对两边同时取对数得， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，                              由数列的通项公式得， 当时，；当时，． 又由，得                  当且时，；                           当且时， ，                                    综上， 4．（2025·湖北·模拟预测）已知数列满足： ①对任意质数p和自然数n，都； ②对任意互质的正整数对，都有． (1)写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)的前6项分别为1，2，2，3，2，4；的大小与能整除n的自然数个数相同． (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列求和的其他方法 【分析】（1）根据题意赋值可得的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论； （2）方法一：由（1）得出，然后分和两种情况进行证明即可； 方法二：设 ，利用不等式的放缩即可求解. 【详解】（1）令，则；令，则； 令，则；令，则； 令，则；令，所以， 所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4． 观察归纳可知，的大小与能整除n的自然数个数相同． （2）方法一： 由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故 当为偶数时， ． 为奇数时，，得证． 方法二： 设． 先说明． 中为的项数恰为的正整数解数， 故． 再证． 时，成立； 时， ． 1．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 2．（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】(1)； (2)，20. 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列求出通项公式. （2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求和，再探讨数列的单调性求出最大项. 【详解】（1）在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 3．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前项和即可证明. 【详解】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2），， ， 因为，所以，从而. 4．（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为. (1)求证：数列为等比数列； (2)求证：； (3)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2025. 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）对两边取倒数，并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）根据等比数列前n项和公式，结合（1）得，进而通过作差法比较大小即可证明； （3）结合（1）得，进而求数列的前n项和，再根据其单调性求解即可. 【详解】（1）记，由题意，数列满足， 可得 所以， 又，所以，则为常数， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即数列为等比数列，首项为，公比为 （2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以得 故， 从而，所以. （3）解：由（1）知，所以， 设数列的前n项和为， 则 若，即， 因为数列为递增数列，且 所以满足的最大整数n的值为2025. 5．（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、错位相减法求和 【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可； （2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可； （3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，，解得. （2）由可得， 两式相减得，即. 当时，， 即， 由递推关系得，则。 且满足上式，故数列的通项公式为. （3）由（2）得， 设，则， 可得， ， 两式相减得 ， 故. 6．已知正项数列的前n项和为，且满足， (1)求 (2)求 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由Sn求通项公式、数列求和的其他方法、由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项 【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合 等差数列的定义和通项公式求出. (2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果 【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得， 由，代入得，整理后得 ，即，根据等差数列的定义可知，数列 是首项为1，公差为1的等差数列，则， （2）由(1)可知， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $