重难点5-1 求数列的通项公式（10重难点题型+8秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用

重难点5-1求数列的通项公式 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 在近三年高考数学中的占比约10%-15%，分值在10-15分左右，选择题、填空题、解答题都有出现．求通项公式的计算以及性质应用是高考的热点，解答题中通常结合其他知识点，考查综合运用能力． 2025年天津卷，解答题，15分 2025年全国一卷，解答题，15分 2024年北京卷，解答题，18分 2024年天津卷，解答题，15分 2024年全国二卷，解答题，15分 2024年全国一卷，解答题，15分 预计2026年稳中求变，基本概念、公式和性质的考查仍会占据主要部分，但题目设计会更加灵活，注重知识点的综合应用．数列问题可能会更多地结合现实生活中的情境． 秒杀技巧与性质一：公式法 1．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 2．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 秒杀技巧与性质二：已知前n项和，求 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 秒杀技巧与性质三：累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 秒杀技巧与性质四：累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 秒杀技巧与性质五：构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 秒杀技巧与性质六：对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 秒杀技巧与性质七：倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 秒杀技巧与性质八：形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 重难点题型【一】、观察法 1．（25-26高三上·广西·期末）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．（25-26高三上·湖北·月考）如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 3．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（    ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为， 令，解得. 故选：B. 4．等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 5．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此继续下去，则 … （1）图③中共挖掉了________个正方形； （2）第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 6．某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为______吨. 7．（25-26高三上·湖南·月考）数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 重难点题型【二】、公式法 1．（25-26高二上·云南保山·期末）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 3．某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________． 4．已知数列中，若是等差数列，则___________． 5．（2026·新疆·模拟预测）在递增的等比数列中，，，则______. 重难点题型【三】、累加法 1．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知数列和满足：，，且． (1)求和的通项公式； (2)（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 2．（25-26高三上·河北邢台·期末）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 3．（25-26高三上·河南平顶山·期末）在数列中，，且． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和，并证明：． 4．已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 重难点题型【四】、累乘法 1．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（25-26高三上·福建·月考）已知为数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：数列的前项和． 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 4．（24-25高三上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 重难点题型【五】、已知前n项和，求通项公式 1．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 4．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 重难点题型【六】、已知前n项积，求通项公式 1．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 2．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 3．设数列的前项积是，且，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和 4．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前项和，求； (3)设，是的前项的积，求证：. 重难点题型【七】、正负相间讨论、奇偶讨论型 1．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 2．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 3．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 重难点题型【八】、构造新数列 1．（24-25高三下·四川广安·月考）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 2．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 3．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 4．（25-26高三上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 5．（25-26高三上·河北·月考）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 6．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 重难点题型【九】、双数列问题 1．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 3．（24-25高三下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 4．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； 重难点题型【十】、其它综合问题 1．（25-26高三上·全国·月考）设为正整数，已知首项为2的正项数列满足． (1)若，求的值； (2)证明：与为常数列或等比数列； (3)记的前项积为．若时，，求的通项公式． 2．（2025·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．设等差数列的公差为，且，若设是从开始的前项数列的和，即（，），（），如此下去，其中数列是从第（）开始到第（）项为止的数列的和，即（，）. (1)若数列（，），试找出一组满足条件的、、，使得：； (2)试证明对于数列（），一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数； (3)若等差数列中，，试探索该数列中是否存在无穷整数数列（），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由. 4．（2024·上海长宁·一模）若对于数列中的任意两项､，在中都存在一项，使得，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项，在中都存在两项､，使得，则称数列为“Y数列”. （1）若数列为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由； （2）若数列的前项和，求证：数列为“Y数列”； （3）若数列为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：成等比数列. 一、单选题 1．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 2．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北沧州·月考）记为等比数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．1 D．16 4．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 6．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 7．（25-26高三下·河北沧州·月考）在公差为正数的等差数列中，，，则______. 8．（25-26高三下·海南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则__________. 三、解答题 9．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 12．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 13．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 14．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 15．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点5-1求数列的通项公式 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 在近三年高考数学中的占比约10%-15%，分值在10-15分左右，选择题、填空题、解答题都有出现．求通项公式的计算以及性质应用是高考的热点，解答题中通常结合其他知识点，考查综合运用能力． 2025年天津卷，解答题，15分 2025年全国一卷，解答题，15分 2024年北京卷，解答题，18分 2024年天津卷，解答题，15分 2024年全国二卷，解答题，15分 2024年全国一卷，解答题，15分 预计2026年稳中求变，基本概念、公式和性质的考查仍会占据主要部分，但题目设计会更加灵活，注重知识点的综合应用．数列问题可能会更多地结合现实生活中的情境． 秒杀技巧与性质一：公式法 1．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 2．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 秒杀技巧与性质二：已知前n项和，求 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 秒杀技巧与性质三：累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 秒杀技巧与性质四：累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 秒杀技巧与性质五：构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 秒杀技巧与性质六：对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 秒杀技巧与性质七：倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 秒杀技巧与性质八：形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 重难点题型【一】、观察法 1．（25-26高三上·广西·期末）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由定义判定等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由题意可得分裂过程中的后代个数组成一个公比为2的等比数列，由等比数列基本量运算即可求得. 【详解】由题意可知细胞的分裂繁殖符合分裂过程中的后代个数是一个公比为2的等比数列，所以第5次分裂产生的后代个数是：． 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北·月考）如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】根据题意和图形，可得第1，第2，…，第个三角形的面积满足，即是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的基本量运算即得答案. 【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，， 则，，，，可见， 即是首项为，公比为的等比数列，则， 于是，，， 故. 故选：D. 3．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（    ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为， 令，解得. 故选：B. 4．等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差，再利用通项公式求出第7项的值. 【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：， 当时，. 故选：D. 7．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此继续下去，则 … （1）图③中共挖掉了________个正方形； （2）第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、图与形中的归纳推理 【分析】总结规律，找到图形之间的挖去小正方形之间的关系，利用累加法求出每个图形挖去正方形个数的表达式，从而得出前两个空，然后利用求和公式得出第三个空. 【详解】设第n个图形共挖掉个正方形， 则， 所以． （1）故图③中共挖掉了个正方形； （2）第n个图形共挖掉了个正方形． 由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为: ． 故答案为：；； 8．某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为______吨. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设第次加注的剂量为，先根据已知得出，再应用累加法结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】设第次加注的剂量为， 因为从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·湖南·月考）数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 【答案】12182 【难度】0.4 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】根据新数列的结构特点，分组求和即可. 【详解】对于数列，由可得，又， 所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 又， 新数列结构为：后插1项，后插3项，…，后插项，到， 总项数为. 当时，到共项， 和为， 插入的到的和， 第92到100项为后插的9项，即到，其和为， 故. 故答案为：12182 重难点题型【二】、公式法 1．（25-26高二上·云南保山·期末）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 所以11，解得． 2．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 3．某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】先根据题意列出递推式，然后对等式进行变换，根据等比数列的定义判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【详解】由题意可知，第一年年初资金为. 第二年年初资金为. 第三年年初资金为. 以此类推，可得到. 则有，而, 所以数列是公比为的等比数列，且首项为， 所以有，即. 故答案为：. 4．已知数列中，若是等差数列，则___________． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】已知，则，则，所以； 因为是等差数列，其首项为，公差，可得； 即，由，可得，则. 5．（2026·新疆·模拟预测）在递增的等比数列中，，，则______. 【答案】2025 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列下标和性质及应用、对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的性质求出，设公比为，由题设条件求得，写出数列的通项公式，代入所求式，利用对数的运算性质即可. 【详解】由可得，解得， 设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或，因数列是递增数列，且，故，则， 于是，，故. 故答案为：2025. 重难点题型【三】、累加法 1．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知数列和满足：，，且． (1)求和的通项公式； (2)（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）答案见解析 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、二项展开式的应用、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，利用作商的方法求的通项公式； （2）（i）由于，利用裂项相加法求和； （ii）当时，，适当放缩可得证. 【详解】（1）由， 得，，，，． 相加得， 解得． 又满足上式，因此有． 故，则，相除得， 又满足上式，因此有． （2）（i）由得， ， . （ii）因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 当时，．下面证明， ． 2．（25-26高三上·河北邢台·期末）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、累加法求数列通项 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，，，，， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． （2）因为， 所以 ． 3．（25-26高三上·河南平顶山·期末）在数列中，，且． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和，并证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、根据数列递推公式写出数列的项、数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项 【分析】（1）由递推式，将、求出对应项，即可得； （2）由题设有，应用累加法求数列的通项公式； （3）由（2）得，进而求出，讨论的奇偶性证明结论. 【详解】（1）令，则，令，则，又， 所以，则，故； （2）由题设，则， 所以，则时，， 所以 ，且， 所以，显然也满足，故； （3）令， 所以， 当为奇数且，则， 此时在为奇数且上单调递增，则，当且仅当时取等号， 当为偶数且，则， 此时在为偶数且上单调递减，则，当且仅当时取等号， 综上，，得证. 4．已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【答案】(1)； (2)， 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、累加法求数列通项 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）利用累加法求出通项公式，再利用等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）数列中，，由，得， 当时， ，满足上式， 所以数列的通项公式为， ，所以. 重难点题型【四】、累乘法 1．（25-26高三上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）利用累乘法求解通项公式即可； （2）首先求得，再利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）因为，且， 所以当时， 又也满足，所以. （2）由（1）知：， ， ① ， ② ①②得： ， 所以． 2．（25-26高三上·福建·月考）已知为数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：数列的前项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用以及累乘法求得的通项公式； （2）利用裂项相消法求解出，然后可完成证明. 【详解】（1）， 时，， 两式相减可得，即， ， ，即， 又，， ， 也满足上式， . （2）由（1）得， ， ． 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、累乘法求数列通项、构造法求数列通项 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【详解】（1）解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. （2）， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 4．（24-25高三上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项； （2）利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 重难点题型【五】、已知前n项和，求通项公式 1．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 2．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 【答案】(1) (2)证明见解析，最大项为 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据题设，结合与的关系可得，，进而得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可； （2）先得到，结合极限的定义求证即可，再根据数列的单调性求解最大项． 【详解】（1）由，得， 当时，， 则， 即，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则. （2）由（1）知，， 则，所以. 由于数列为递减数列，则时，取得最大值，即的最大项为. 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先应用因式分解得出，再结合计算求解通项公式； （2）先化简再应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. （2）由于，故 . 4．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解． 【详解】（1）因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； （2）由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 重难点题型【六】、已知前n项积，求通项公式 1．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)；； (2)证明见解析，； (3) 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）代入，，计算得出； （2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式； （3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 2．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明； （2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， ，即， 又当时，，得， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）得， 则， . 3．设数列的前项积是，且，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由，得到，根据等差数列的定义，即可求解； （2）由等差数列的通项公式求得，得到，结合裂项相消求和，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由，可得，所以数列是首项为，公差的等差数列. （2）由（1）得，所以， 所以， 又因为符合上式，所以， 所以， 所以. 4．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前项和，求； (3)设，是的前项的积，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意求出等比数列的公比，即可求得答案； （2）求出的具体表达式，利用分组求和法，即可求得答案； （3）欲证，即证，即证，构造函数，证明，由此即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，即，即得， 则，则等比数列的公比， 又，故； （2）由（1）得， 则 ； （3）由题意知， 则，故， 欲证，即证, 即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，故， 故， 即，故. 重难点题型【七】、正负相间讨论、奇偶讨论型 1．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.45 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 2．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和. （2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 3．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，（或，答案不唯一） (2) 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【详解】（1）由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） （2）由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 4．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据求数列的通项公式. （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 重难点题型【八】、构造新数列 1．（24-25高三下·四川广安·月考）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）变形给定等式，利用构造法，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）结合数列单调性得，，再按分段，利用分组求和法及等比数列前项和求解. （3）对通项变形放缩并裂项，再利用裂项求和法推理得证. 【详解】（1）在数列中，，，则， 即，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 即，则为单调递减数列，而， ，即当时，；当时，， 记的前项和为，则， 当时，； 当时，， 所以数列的前项和. （3）当且时，， 当时，；当时， ， 所以，且. 2．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 3．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2)（） 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： (） 4．（25-26高三上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 【答案】(1) (2)10 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）通过对递推式配凑构造出等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再由题意得到新数列的通项公式，利用分组求和可求得其前项和，代入验证即可求得正整数的最小值. 【详解】（1）由，得, 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故所以; （2）由题意得, 从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 按原来顺序组成新数列，可知, 则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和， 故, 故问题转化为求解满足的最小正整数， 由可知时，;时，, 故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 4．（25-26高三上·河北·月考）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 5．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【答案】(1); (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）依次代入即可求解； （2）运用构造法，两边同除即可得证； （3）运用错位相减法解决“等差数列等比数列”的数列求和模型. 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 重难点题型【九】、双数列问题 1．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、等差数列与等比数列综合应用、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. （2）当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 2．已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）设的公差为，的公比为，根据等比中项的性质和等差数列的通项公式可求出，从而可得和的通项公式； （2）由分组求和得到并化简即可证明. 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. （2）证明：由题意得， 所以 . 3．（24-25高三下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【难度】0.65 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 4．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题目条件可得，即可得答案； （2）由（1）可知，所证结论等价于，而这显然正确，即可证明结论. 【详解】（1））设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， ，， 解得， ，． （2）证明：， 要证明， 即证明， 即证明， 即证明， 由数列的通项公式和前项和的关系得：， ． 重难点题型【十】、其它综合问题 1．（25-26高三上·全国·月考）设为正整数，已知首项为2的正项数列满足． (1)若，求的值； (2)证明：与为常数列或等比数列； (3)记的前项积为．若时，，求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】利用数列的递推公式、对数运算、数列通项公式和前项积进行求解. 【详解】（1）由可得，， 当时，，即，解得， 令，则． （2）对两侧同时取以为底的对数有， ①则，即． 当时，，此时是恒为0的常数列； 当时，是以为首项，为公比的等比数列； ②也可化为． 当时，，此时是恒为0的常数列； 当时，是以为首项，为公比的等比数列． 综上，与为常数列或等比数列． （3）由（2）可得是以为首项，为公比的等比数列， 则有； 且是以为首项，为公比的等比数列， 则有． 两式相减得， 则， 由时，，则， 即恒成立， 又当增大时，会震荡变化且绝对值增大，即会震荡变化，若使上式恒成立，需满足，所以. 当时，是以为首项，为公比的等比数列，为常数列，此时，满足条件. 将代入得 所以． 2．（2025·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、错位相减法求和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 3．设等差数列的公差为，且，若设是从开始的前项数列的和，即（，），（），如此下去，其中数列是从第（）开始到第（）项为止的数列的和，即（，）. (1)若数列（，），试找出一组满足条件的、、，使得：； (2)试证明对于数列（），一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数； (3)若等差数列中，，试探索该数列中是否存在无穷整数数列（），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用 【分析】（1）由题意可知，，，，即可使得； （2）由（1）的分析，可知只要，则所得划分就是符合题意的，由，，是完全平方数； （3）假设存在存在无穷整数数列，由题意求得：，数列必定是公比大于1的整数的等比数列，但事实上，，从而要求是完全平方数，这是不可能的，故假设错误，本题结论是不存在． 【详解】（1）解：； （2）解：记即，又由，， 所以第二段可取3个数，； 再由，即， 所以第三段可取9个数，即 依次下去， 一般地：， 所以，          则， 由此得证． （3）解：不存在．令，则， 假设存在符合题意的等差数列，则的公比必为大于的整数， （因为，所以，所以， 即， 此时注意到，   要使成立，则必为完全平方数， 但，矛盾， 所以不存在符合题意的等差数列． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于难题．本题解决第三问的关键是 利用反证法假设存在存在无穷整数数列，求得，确定数列必定是公比大于1的整数的等比数列，但事实上，，从而要求是完全平方数，于是假设错误，本题结论是不存在． 4．（2024·上海长宁·一模）若对于数列中的任意两项､，在中都存在一项，使得，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项，在中都存在两项､，使得，则称数列为“Y数列”. （1）若数列为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由； （2）若数列的前项和，求证：数列为“Y数列”； （3）若数列为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：成等比数列. 【答案】（1）数列不是“X数列”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、数列新定义 【解析】（1）求出的通项公式，举出一个反例来说明不是“X数列”； （2）求出数列的通项公式，根据“Y数列”的定义进行证明； （3）根据“X数列”、“Y数列”的性质，结合等比数列的定义即可得证. 【详解】解（1）数列的通项为，，， 因为不是正整数，所以不是数列的项， 所以数列不是“X数列”. （2）数列的前项和，所以. 当时，取，， 则，所以数列是“Y数列”. （3）证明：记，因为数列是各项均为正数的递增数列， 所以，且当时，. 若，，则.① 因为数列是“Y数列”，所以存在，且， 由①知，，所以 即，即，，成等比数列. 因为数列是“Y数列”，存在正整数､，使得， 由①得，，所以， 进而，记. 因为数列是“X数列”，存在正整数，使得， 由，得. 若，再由， 得，与矛盾； 若，则，与数列递增矛盾， 所以，即，，，成等比数列. 【点睛】否定一个结论，仅需要举出一个反例；肯定一个结论，需满足普遍性. 一、单选题 1．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列递推式赋值推得3为函数的一个周期，利用周期性即可求得答案. 【详解】因，由可得 故3为该函数的一个周期，所以. 2．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.61 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故，故A正确. 3．（25-26高三下·河北沧州·月考）记为等比数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．1 D．16 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为，， 所以， 化简得，解得， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，或. 4．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 二、填空题 5．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 6．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系化简给定等式，利用等差数列定义求出即可. 【详解】正项数列中，当时，， 整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列， ，当时，，因此，而不满足上式， 所以. 故答案为： 7．（25-26高三下·河北沧州·月考）在公差为正数的等差数列中，，，则______. 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式列式求值. 【详解】记公差为，，， 二者相等得， 即，由，， 于是. 8．（25-26高三下·海南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式建立等式，进行求解. 【详解】设等差数列公差为， 则， ， 因为， 所以. 三、解答题 9．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【难度】0.69 【知识点】分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 12．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 13．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【详解】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 14．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 15．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用等比数列的前项和公式结合二次函数的图像求解. 【详解】（1）是等比数列，，且， ，，； （2），， ， ， 设， 转化为， 对称轴为，，开口向下， 当时，；当时，； ， 比较的所有取值中，离对称轴最近， 当，即时，取最大值， 且最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $