精品解析：山东省青岛第三十九中学（中国海洋大学附属中学）2025-2026学年第二学期学情调研九年级数学试题

青岛三十九中2025——2026学年度 第二学期学情调研九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：几何体的俯视图为： 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 4. 一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是红色． 故选：B． 5. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质． 根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形， ，即 故选：D． 7. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规则． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：∵向左平移2个单位， ∴x变为， 得； ∵向下平移2个单位， ∴整体减2， 得， 故选：A． 8. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 9. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F，轴，垂足为D，连接与相交于点G．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，；④若，，则直线的函数解析式为．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正方形的综合运用，解题的关键在于利用函数与正方形的相关知识逐一判断正误． ①通过证明全等判断，③根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断；②通过判断，④作于点M通过直角三角形求出E、F坐标从而求得直线解析式． 【详解】解：∵点E、F都在反比例函数的图像上， ∴，即 ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴，①正确； ∵ ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴，③错误； ∵， ∴ ， ∴，②正确； 作于点M，如图 ∵，， ∴为等边三角形，，， 在正方形中， ， ∴ ，即为等腰直角三角形， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得 ∴ ， ∴ 设直线的解析式为，过点 则有 解得 故直线的解析式为；④正确； 故正确序号为①②④， 故选B． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系设出参数，把和用含参数的式子表示，再代入待求式，通过约分消去参数得到结果． 【详解】解：， 设，， 则． 11. 计算的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 12. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润单个利润销售个数，根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题． 【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元， 该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个， 销售电子产品的个数为：个， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 13. 在上午的某一时刻，阳光下身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，小明测得同一校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在与地面垂直的墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为_______m. 【答案】10 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，所以实际高度和影长之比为1比2，因此墙上的2米投射到地面上为4米，即旗杆影长一共为20米，根据实际高度和影长之比为1比2，据此列比例解答． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 因为== 所以墙上的2米投射到地面上为2÷=4米，即旗杆影长一共为16+4=20（米）， ∴= 3.4x=1.7×20 解得：x=10 答：旗杆高10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查正比例的意义及应用． 14. 如图所示，为的直径、是的弦，、的延长线交于点，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆上直径与半径的关系推得，根据等边对等角得出，根据三角形外角性质得到，根据等边对等角得出，根据三角形外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线开口，对称轴判断的符号即可判断①，将代入解析式，结合函数图象即可判断②，根据抛物线与有交点判断③，将代入得出，进而判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可知， 因为抛物线对称轴是直线， 所以，即， 抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以，故，①正确； 因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为， 所以与x轴的一个交点坐标为，代入得， ，②正确； 由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确； 把代入得，，则，④正确； 当时，说明点离对称轴远， 因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 所以，⑤错误； 综上可知，正确的有①②③④． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 16. 已知及线段，求作一个菱形，菱形的一个内角，且对角线． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】先在平面内任取一点，以为端点作射线，尺规作图作；再作的角平分线；在射线上截取线段；接着作线段的垂直平分线，交于点，交于点；最后连接、，即可得到菱形． 【详解】解：如图所示： ∵为的垂直平分线， ∴，，． ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形是菱形． 四、解答题（本大题满分71分，共9小题） 17. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得，． 18. 求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 19. 春节期间小惠一家打算从“崂山”“栈桥”“八大关”“海军博物馆”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． （1）若小惠从四张卡片中随机抽取一张，景点“八大关”被抽中的概率是________． （2）小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的概率．（记“崂山”为A，“栈桥”为B，“八大关”为C，“海军博物馆”为D） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得景点“八大关”被抽中的概率是． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的有2种等可能性． 故小惠恰好抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的概率是． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 21. 已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 【答案】（1）见解析 （2）当AD=AB时，四边形BEDH是正方形 【解析】 【分析】（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可； （2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD， ∴∠AEF=∠CHG， ∵BE=2AB，DH=2CD， ∴BE=DH， ∴BE-AB=DH-DC， ∴AE=CH， ∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°， ∴∠EAF=∠GCH， ∴△EAF≌△HCG(ASA)， ∴AF=CG； 【小问2详解】 解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形； 理由：∵BE∥DH，BE=DH， ∴四边形EBHD是平行四边形， ∵EH⊥BD， ∴四边形EBHD是菱形， ∴ED=EB=2AB， 当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°， ∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2， ∴AD=AB， ∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）则 ， ； （2）若时，则的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出； （2）根据图象直接得出结论； （3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 当或时，， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：轴，， ， ， 点到的距离， 作轴，轴， 由勾股定理得：， ， ， ． 23. 操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． （1）指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； （2）问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； （3）拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定于性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明； （1）根据题意，写出答案即可； （2）利用同角的余角相等证明即可证明与相似，再列出比例式即可； （3）作，证明与全等，再利用射影定理求出线段长即可． 【小问1详解】 解：根据投影的定义可知线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：作， ∵点O是对角线、的交点，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为15，，， 由射影定理可知，，即， ，由勾股定理，得：， 则，， 所以 故答案为：． 24. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】（1） （2）（i）最大距离为 （ii） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【小问1详解】 解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 (i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时 ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案: . 25. 如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示长； （2）点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； （3）当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】（1）长为或 （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理和中点的定义求出，；再利用分类讨论的思想方法，结合时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论； （2）根据题意可得，，根据平行四边形的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的面积公式即可求得关于的函数关系式，根据题意，列出方程，解方程即可求出的值； （3）分两种情况讨论：①当时，连接、，交于点，利用平行四边形的性质和已知条件得到，结合直角三角形的性质得出，，根据等边对等角推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线分线段成比例得出，据此列出方程，解方程求出的值；②当时，连接、，交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求出，，类比①的方法得出，据此列出方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：在中，，， 故， ∵为边中点， ∴． 当时，此时点在边上运动， 则， 故； 当时，此时点在上运动， 则， 故； 综上所述：长为或 【小问2详解】 点在边上运动时（不含、），此时， 故，； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故， ∴， 即， ∴； 故， ； 根据题意可得， 解得； 故当时，． 【小问3详解】 ①当时，连接、，交于点，如图： ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得，，， 故， 解得； ②当时，连接、，交于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故， ∴， ∴， ∵，，，， 故， ∴，， 即， ∴， ， ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛三十九中2025——2026学年度 第二学期学情调研九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 3. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 5. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F，轴，垂足为D，连接与相交于点G．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，；④若，，则直线的函数解析式为．其中正确的个数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 若，则________． 11. 计算的结果为_________． 12. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________． 13. 在上午的某一时刻，阳光下身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，小明测得同一校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在与地面垂直的墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为_______m. 14. 如图所示，为的直径、是的弦，、的延长线交于点，已知，，则________． 15. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 16. 已知及线段，求作一个菱形，菱形的一个内角，且对角线． 四、解答题（本大题满分71分，共9小题） 17. 解方程：． 18. 求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 19. 春节期间小惠一家打算从“崂山”“栈桥”“八大关”“海军博物馆”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． （1）若小惠从四张卡片中随机抽取一张，景点“八大关”被抽中的概率是________． （2）小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“栈桥”和“海军博物馆”两个景点的概率．（记“崂山”为A，“栈桥”为B，“八大关”为C，“海军博物馆”为D） 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 21. 已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）则 ， ； （2）若时，则的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD长． 23. 操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． （1）指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； （2）问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； （3）拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 24. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 25. 如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示长； （2）点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； （3）当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $