小升初思维拓展：最优化问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：最优化问题 1．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 2．国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第10日发作。有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？ 3．甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？ 4．一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 5．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）． 6．四个人各拿一个水桶到同一个水龙头下接水，这个水龙头注满四个人的水桶所需的时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、6分钟。怎样安排这四个人的接水顺序，才能使他们在最少的总时间（包括排队等候的时间）内都接满水？这个最少时间是多少？ 7．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？ 8．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 9．小李、小徐、小周和小卫四人分别拿着三个、一个、二个、四个热水瓶去打开水。热水龙头只有一个。试问怎样安排他们打水的次序（这儿不考虑先来后到），可使他们打完水所花的总时间（包括排队等候的时间）最少？假如打满一瓶水要1分钟，打水的总时间是多少分钟？ 10．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 11．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟。冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？ 12．在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的．现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？ 13．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 14．国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名。每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比名次在后的钱数多，每份奖金钱数都是100元的整数倍。现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，第二名的钱数是第四、五名两人之和，那么第三名最多能得多少元？ 15．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？ 16．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工， (1)怎样安排才能使得经济损失最少？ (2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？ 17．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？ 18．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 19．贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？ 20．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 21．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？ 22．暑假到了，一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价是大人小孩均为全票，每人100元．如果你是这个家庭的一员，从所花费用的多少考虑，你建议选择哪家旅行社？为什么？ 23．有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 24．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？ 25．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米? 26．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车． 27．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？ 28．有一家五口人要在夜晚过一座独木桥。他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟。当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指。所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥。但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？ 29．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？ 30．某学校资金存款的年利息为10%，积压资金100元，相当于损失了10元．现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤．根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨．而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？ 31．有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少个房间？ 32．有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 33．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？ 34．个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？ 35．用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 36．芯片测试：有2k块芯片，已知好芯片比坏芯片多．请设计算法从其中找出一片 好芯片，说明你所用的比较次数上限． 其中：好芯片和其它芯片比较时，能正确给出另一块芯片是好还是坏． 坏芯片和其它芯片比较时，会随机的给出好或是坏． 37．旅行社有甲、乙两种面包车．甲车可乘坐12人，每辆租金为120元；乙车可乘坐18人，每辆租金160元．旅行团有58人，怎样租车最便宜，需要多少钱？ 38．有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克．现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水. 39．一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？ 40．理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发的等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？ 41．早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己尽快喝上牛奶？共需多少分钟？ 42．玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色．厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟．现在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？ 43．韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至少要用多长时间？ 44．某加油站每次只能给一辆车加油。给一辆大卡车加满需要7分钟，一辆农用车加满需要5分钟，一辆小汽车加满需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆农用车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问：加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最少？ 45．用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，那么最少需要多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．第997个岗位处 【分析】1993名少先队员，要确定集合地点的话，比较麻烦，可以先考虑2名少先队员、3名少先队员这些较少的情况，寻找规律，然后再考虑1993名少先队员的情况。 【详解】 当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以。因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2。 当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）。因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B＋A2B＋A3B＝（A1B＋A3B）＋A2B＝A1A3＋A2B； 若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C＋A2C＋A3C＝（A1C＋A3C）＋A2C＝A1A3＋A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3。当然A1A3比A1A3＋A2B及A1A3＋A2C都小。 当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）。因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”。根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点。 当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点。 依此递推下去，我们就得到一个规律： 当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn＋1之间的任何地点（包括An和An＋1点）； 当有奇数（2n＋1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An＋1点。 本题有1993＝2×996＋1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 答：集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，可以通过归纳法求解，归纳法实质上就是发现并总结规律，然后应用规律求解问题。 2．10个人；见详解 【分析】可以将酒桶编号1~1000全部改为二进制，对应0000000001~1111101000，让一号犯人喝末位数字是1的毒酒，二号犯人喝倒数第二位数字是1的毒酒……十号犯人喝第一位编号是1的毒酒，然后根据犯人是否死亡进行判断。 【详解】如果某一号犯人死亡就说明相应的某一位数字是1，如果没有死亡那就说明相应位上的数字是零； 比如一号犯人死亡，二号到九号犯人存活……十号犯人死亡，那么毒酒的编号就是1000000001，再转化成十进制，也就是第513桶有毒。 答：至少需要10个死刑犯。 【点睛】本题考查的是最值问题，这里巧妙地应用了二进制来求解问题。 3．320千米 【分析】题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案： 由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A． 现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的．24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）． 【详解】24÷3=8（天） 24+8=32（天） 32÷2=16（天） 20×16=320（千米） 答: 其中一人最远可以深入沙漠320千米 4．150米 【分析】如图，画出示意图，按照“小往大处靠”的原则来解决，第5号楼的人数最多，大方向向第5号楼靠，把1号楼、2号楼的3个人集中到3号楼，一共6人，然后3号楼的6人和5号楼的5人都往4号楼靠。 【详解】如图所示： 车站应建在4号楼，此时职工到通勤车站所走的路程之和最小； 答：车站应建在距1号楼150米处。 【点睛】对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则。 5．步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为小时 【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用．因此汽车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返．另外不乘车的人也应步行前进．总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力．为了省时间，应该同时出发同时到达．由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人．同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须相同．所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路． 【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路． 如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米．卡车送完第一组走完（90-x0）千米后返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了千米，此时汽车走了．由于他们所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列方程得，解得x=30（千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米．所用的时间为． 6．按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水；40分钟 【分析】接水时间越少的人先接水，才能使排队和等待时间最短，据此解答。 【详解】接水顺序先后顺序为：3分钟、4分钟、5分钟、6分钟。 3×4＋4×3＋5×2＋6 ＝12＋12＋10＋6 ＝40（分钟） 答：按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，最少时间是40分钟。 7．先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟． 【详解】试题分析：要顾客等待时间的总和最少，应先安排用时少的先理，即先给A理板寸用时7分钟的，再给B理光头用时10分钟的，最后给C烫卷发用时40分钟，则第一人用时7分钟，第二人等待7+10分钟，第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可． 解：要使这三位顾客等待时间的总和最少， 应先理用时7分钟的，再理用时10分钟的，最后理用时40分钟的； 等待的总时间为： 7+（7+10）+（7+10+40） =7+17+57 =81（分钟） 答：先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟． 点评：明确按用时由少到多的顺序做，顾客等待时间的总和最少是完成本题的关键． 8．分钟 【分析】首先要确定赶牛的顺序，小明把牛赶到对岸还要回来，所以要选跑得快的牛来回走。 【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟； 所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。 答：最小要用13分钟。 【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。 9．按小徐→小周→小李→小卫的顺序打水所花时间最少；打水总时间为20分钟 【分析】用时最少的先打水，即热水瓶最少的先打水，则等待的时间最短，据此解答。 【详解】按这样的打水顺序所花的总时间最短：小徐→小周→小李→小卫。打水总时间（包括等候时间）： 1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋（1＋2＋3＋4） ＝1＋3＋6＋10 ＝20（分钟） 答：按小徐→小周→小李→小卫的顺序打水所花时间最少；打水总时间为20分钟。 10．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 11．25分钟 【分析】因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15－4＝11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4＋4＝8分钟；水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少。 【详解】根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟→烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15－4＝11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4＋4＝8分钟）→水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）→再烧热油，需要2分钟→最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好。 2＋15＋2＋2＋4＝25（分钟） 答：最少需要25分钟。 【点睛】本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用。 12．5号 【详解】解：我们采用尝试比较的方法来解答． 集中到1号场总费用为：1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到2号场总费用为：1×100×10＋1×400×30＝13000（元） 集中到3号场总费用为：1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到4号场总费用为：1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到5号场总费用为：1×100×40＋1×200×30＝10000（元） 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少． 答：集中到5号煤场费用最少． 13．96分钟 【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超过6分钟，注意可以等于6分钟。 【详解】先涂第一张然后涂，然后涂，这时候等待了4分钟马上贴上； 再涂一张马上贴上已经等待了5分钟的； 再涂一张贴上已经等待6分钟的； 这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟； 那么总时间是96分钟； 答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。 14．1700元 【分析】把10000元看成100个100元，总奖金数就成了整数100，前5名的奖金数设第一名，第二名，第三名，第四名，第五名。也都成了整数。题的条件是：①；②；③，把②、③代入①得只剩下含和的项：，又因为，所以④，可见，从而是偶数且，最小是22。当代入④时，最大。所以第三名最多能得元。 【详解】把10000元看成100个100元，前5名的奖金数设第一名，第二名，第三名，第四名，第五名。 可得：①；②；③， 把②、③代入①得：， 又因为，所以④，可得，， 所以：是偶数且，最小是22， 当代入④时，最大， ，就是第三名最多能得1700元。 答：第三名最多能得1700元。 故答案为：1700元 【点睛】设出各名次所得的奖金的未知数，根据他们之间的数量关系列出等式，然后依次代换切入，一步步求解。 15．最少时间125分钟；见详解 【分析】如果是1个水龙头，那么就按照所需时间多少进行排序即可，而两个水龙头，其实是一样的，也是按照各自所需时间的多少排序。 【详解】第一个水龙头先安排1号，同时第二个水龙头先安排2号； 那么1号先接完水，这样把3号安排给第一个水龙头，同理，哪个水龙头先空出来，就把时间较少的人排上去； 第一个水龙头依次是1、3、5、7、9打水； 第二个水龙头依次是2、4、6、8、10打水； 总时间： ＝3×5＋7×4＋11×3＋15×2＋19 ＝15＋28＋33＋30＋19 ＝125（分钟） 答：最少时间是125分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，始终遵循所需时间少的排在前面，所需时间多的排在后面。 16．（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为： 910元 （2）一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟． 【分析】怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前面，并且使两名修理工的工作时间尽量接近． 【详解】（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25）=910（元）． （2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟． 17．为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟． 【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油． 【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）． 答：最节省的时间是29分钟． 18．按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟 【分析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； ……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。 【详解】最短时间： ＝18＋20＋20＋18＋14＋10 ＝100（分钟） 答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。 19．8分钟 【分析】在架子上同时放两个烧饼，烘3分钟后，把第一个翻过来，拿下第二个，再放上去第三个，过2分钟去下第一个，再过1分钟，把第三个翻过来，再把第二个放上去，过2分钟全部取下，把所用时间加起来即可。 【详解】3＋2＋1＋2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟。 【点睛】根据“烙三张饼的最佳方法”解答。 20．63分钟 【分析】前3分钟，第一块饼的正面，第二块饼的正面；4~6分钟，第一块饼的反面，第三块饼的正面；7~9分钟，第二块饼的反面，第三块饼的反面；也就是每9分钟可以烙3张饼。 【详解】每9分钟可以烙3张饼； 所以烙21块饼，至少用（分钟） 答：至少需要63分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，关于烙饼问题，关键是不能浪费时间。 21．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟 【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略． 【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了． 22．解：（1）甲旅行社： 4×100+3×100×50% =400+150， =550（元）； 乙旅行社： （4+3）×100×75% =7×100×75%， =525（元）； 525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少． 答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少． 【详解】最优化问题 根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少： 甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠．4×100+3×100×50%=550元； 乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元； 525元＜550元，所以应去乙旅行社． 23．按照接水时间由短到长的顺序来接水；50分钟 【分析】先接水的人接水时，后面的人都要等候，所以要使他们总的等候时间最短，就应该按照接水时间由短到长的顺序来接水。 【详解】按照接水时间分别为2分钟、3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，才能使他们总的等候时间最短。 2×5＋3×4＋4×3＋5×2＋6 ＝10＋12＋12＋10＋6 ＝50（分钟） 答：这个最短的时间是50分钟。 24．6021分钟 【分析】首先很容易想到这样一种烙饼的方法，每次烙两张饼，正反两面共用6分钟，2007÷2=1003余1最后那张饼只能再用6分钟烙好，这样总共就用了6×1003+6=6024分钟．但是可以看出烙最后一张饼的时候对锅的利用不够充分，所以很有可能浪费了一部分时间． 我们可以先将两块饼同时放入锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放入第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙2007块饼，至少用2007÷3×9＝6021（分钟）．这种方法保证了所有时间段都能充分的利用锅，不造成浪费． 因此这种方法是用时最短的． 【详解】2007÷3×9＝6021（分钟）． 答:至少需要6021分钟. 【点睛】如果是有2的倍数张饼，可以直接用第一种方式来操作，如果是一个3的倍数，可以直接用第二种方式，但是如果既不是2，又不是3的倍数（比如7张饼），我们可以把这样的数拆成一个2的倍数与一个3的倍数的和来操作，如7可以拆成4+3，4这一部分用第一种方式操作，3用第二种方式操作． 25．2厘米 【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374" 是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解． 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372 即 3x+2y=31    当x=1时，y=14． 因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米． 26．可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案： （1）两辆大卡车，则耗油20升； （2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升； （3）三辆小卡车，则耗油15升． 综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 27．525千米 【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米． 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．AB长为：315÷6=52.5（千米）； 4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米． 同理，CD=DE=52.5（千米）． 所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）． 28．最少需要29分钟；见详解 【分析】要保证30分钟内安全过桥，那么姐姐和弟弟就要来回跑，送油灯，并且安排所需时间较长的爷爷和爸爸一起过桥，这样节约时间。 【详解】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟； 老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟； 弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟； 最后与姐姐一起过河，用时3分钟； 一共用时： 3＋3＋12＋1＋6＋1＋3＝29 （分钟），最后能够安全全部过河。 答：最少需要29分钟。 【点睛】对于此类“安全过桥”的问题，安排所需时间最少的两人送灯，且所需时间最少的一人往返的次数多，所需时间第二少的人只往返一次，并且要安排所需时间最多的两人一起过。 29．先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元 【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失． 【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10×156=1560（元）． 30．花2000元购进20吨的煤最好． 【分析】注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失．因而买多少煤是一个策略问题．根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨．我们比较这三具策略，选择出最佳策略． 【详解】（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100×10+150×5=1750（元）；当天气转寒时要再购进10吨煤，总共花费了100×10+200×10=3000（元）． （2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱100×5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100×15+200×5=2500（元）． （3）如果学校在初秋时购买了20吨煤，则当天气正常时积压资金为100×5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100×10=1000（元）． 比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200－100）×10=100×10=1000（元）．第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150－100）×5=50×5=250（元）．第三种策略最大的损失是在天气转暖的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%，相当于损失了2年的利息，即损失了1000×10%×2=200（元）． 所以最佳策略是花2000元购进20吨的煤，此时可能的损失最小． 31．10间 【分析】要求房间的数量最少，则11人间的数量选择的多一点。 男生：总人数是50人，选择4间11人的，剩余的6人无法注满房间， 则选择3间11人的，剩余17人，可以选择7人间的1间和2间5人间的。 女生：总人数30人，选择2间11人的，剩余的8人无法注满房间， 则选择1间11人的，剩余19人，可以选择7人间的1间和1间5人间的。 【详解】男：50÷11＝4（间）……6（人） 50－3×11 ＝50－33 ＝17（人） 17＝1×7＋2×5 男生：3间11人的，1间7人间和2间5人间。 女生：30÷11＝2（间）……8（人） 30－11＝19（人） 19＝2×7＋5×1 女生：1间11人的，2间7人间和1间5人间。 3＋1＋2＋1＋2＋1＝10（间） 答：他们最少要住10个房间。 32．见详解 【分析】由于这4个人要尽快过桥，但是每次最多过2人，那么来回跑，送手电筒这个任务必须是小强和中强的，并且要让大强跟太强一起过桥，这样节约时间。 【详解】小强和中强先过桥，用2分钟； 再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟； 过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟； 他们一起用时间： 2＋1＋10＋2＋2＝17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河。 【点睛】时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过，这样保证总的时间是最短的。 33．1993分钟     1994分钟 【详解】关键是1993个饼该怎么分拆，应该拆成一个2的倍数和一个3的倍数． 1993=1990+3，前1990张饼两张为一组，每组用2分钟，后三张饼为一组，用三分钟，因此总共用1990÷2×2+3=1993分钟，1994张饼每两个一组，每组用两分钟，共用1994÷2×2=1994分钟. 34．18分钟 【分析】过河用时较少的两头牛先过河，然后骑着过河用时最少的牛回来，再让过河用时较长的两头牛一起过河，然后骑着另一头过河用时较少的牛回来，最后骑着两头过河用时较少的牛过河即可。 【详解】第1次用时2分钟和3分钟的2头牛先过河，用时3分钟，然后骑着用时2分钟的牛回到河岸，合计用时3＋2＝5（分） 第2次用时6分钟和7分钟的2头再过河，用时7分钟，然后骑着用时3分钟的牛回到河岸，合计用时7＋3＝10（分） 第3次用时2分钟和3分钟的2头牛过河，用时3分钟。 5＋10＋3＝18（分） 答：要把四头牛都赶到对岸去，最少需要18分钟。 35．最少75根；见详解 【分析】要确保使用的竹竿最少，就要尽可能地利用原材料，10尺长的竹竿可以分成3尺、3尺、4尺，这样无剩余，也可以分成3尺、3尺、3尺，这样剩余1尺，也可以分成4尺、4尺，剩余2尺，然后合理进行组合，得到甲、乙两种短竹竿各100根。 【详解】分析不难想到有三种截法省料： 截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺； 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1，考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根； 于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺） 50＋25＝75（根） 答：至少要用去原材料75根。 【点睛】本题考查的是最值问题，需要合理地进行统筹优化，进行对比分析，找出最优解。 36．把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止． 【详解】把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止． 37．解：根据题干分析，先尽量多租乙车，所有租车情况列入下表： 方案 乙车/辆 甲车/辆 租金/元 ① 4 0 640 ② 3 1 600 ③ 2 2 560 ④ 1 4 640 ⑤ 0 5 600 560＜600＜640 答：总合上述，租2辆乙车，2辆甲车费用最省钱． 【详解】最优化问题 甲车每人次成本为：120÷12=10（元），乙车每人次成本为160÷18=9（元），所以尽量租用乙车所花成本较低，假设全租乙车，需要：58÷18=3辆…4人，这里还要考虑座不满的情况，所以这里可以将租车情况进行列举，从中找出花费最少的方案即可解决问题． 38．6次 【详解】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： （1）大瓶往中瓶中倒满水． （2）中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水． （3）小瓶中水倒回大瓶． （4）中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记． （5）小瓶中水倒回大瓶． （6）中瓶中100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水． 39．人 【分析】如果车上不跟人，各车间所需人数和即为总人数；可以求出每列车上跟1人、2人、3人等，所需要的总人数的变化规律，然后找出每列车上跟多少人时所需的总人数最少。 【详解】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：（人） 如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7，可减少4人； 每列车上跟10人，总人数可减少40人； 从11至15，列车上每增加1人，总人数可减少3人； 从16至18，列车上每增加1人，总人数可减少2人； 从19至20，列车上每增加1人，总人数可减少1人； 21增3减3无意义； 总人数为 （人）最少； 答：安排82名装卸工，所用总人数最合理，其中60人跟车。 【点睛】本题考查的调运中的统筹优化问题，可以用逐步调整的思想求解。 40．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的．      128分 【详解】甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分．总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分） 41．14分钟 【分析】首先洗水壶要1分钟，烧开水要12分钟，在这12分钟里，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉，然后烧开水后冲奶粉；由此求得结果即可。 【详解】首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶。 1＋12＋1＝14（分钟） 答：首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶；共需要14分钟。 42．45分钟. 【详解】试题分析：为了便于说明问题，用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；然后再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15分钟；同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，据此计算总时间即可． 解：用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟； 第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟； 第三次再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟； 这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15（分钟）； 同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟， 共用：15×3=45（分钟） 答：用这种机器至少需要45分钟才能完成． 点评：本题考查了染色问题，关键是统筹安排第一次染色后剩下的两个正方体，与第一次染色后的六个交换两个染色． 43．5分钟 【分析】读题可知，要使烤面包的时间最少，就要使烤锅里尽可能同时烤2片面包：第一次放入两片，2分钟后一个翻面、一个出锅，同时放入第三片；放入的第三片需要2分钟烤好一面，中途可以取出已经翻过面的面包，放入出锅未翻面的面包；待第三片烤好一面时，前两片已经完全烤好，最后只要把第三片翻面再烤1分钟结束，据此算出总时间即可。 【详解】将3片面包编号1、2、3 前2分钟：放入1、2号， 第2分钟后，取出1号，2号翻面，放入3号。 第3分钟后，2号完成，1号翻面放入。 第4分钟后，1号完成，3号翻面。 第5分钟后，3号完成，全部完成。 2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝4＋1 ＝5（分钟） 答：至少要用5分钟时间。 44．应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 【分析】要使总共需要的时间最短，也就是等候时间和加油时间的总和最少，应该让加油用时少的先加油。 【详解】小汽车用去时间：4分钟； 农用车用去时间：4＋5＝9（分钟） 大卡车用去时间：4＋5＋7＝16（分钟） 一共用去时间：4＋9＋16＝29（分钟） 答：应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 45．69分钟 【分析】根据题意，我们知道：4个大饼同时烙两面，一共需要3×2＝6（分），要这样烙熟46个大饼12锅，但最后一锅只有两个；故为了节省时间不妨这样烙：前40个，都是一锅把4个大饼两面烙好，同时取出；后6个，是先放4个，过3分钟，把其中2个翻面，2个取出，接着把最后剩下的2个放入，再过3分钟，把两面都烙的取出，放入刚才取出只烙一面的2个，接着把另外2个翻面，再过3分钟，全部取出即可，可见共需要：40÷4×6＋3＋3＋3＝69（分） 【详解】3×2＝6（分） 40÷4×6＝60（分） 60＋3＋3＋3＝69（分） 答：至少需要69分钟。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $