专题5 几何测量问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何测量问题核心考点，严格对接陕西中考说明，分析“8年3考”三角函数应用、“8年1考”综合型问题等考点权重，归纳背靠背型、母子型、影子测量等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”模式，精选2025陕西模拟题，通过“背靠背型”问题作垂线构造矩形，利用三角函数列方程求解，培养学生用数学眼光抽象几何模型、用数学思维推理的能力。助力学生掌握辅助线构造、相似证明等技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

数 学 陕西 课堂精讲册 1 第二部分　陕西简单解答题专练 专题五　几何测量问题 (2025陕西21题考法) 类型1 与三角函数有关的几何测量问题(8年3考) 1. [背靠背型](2025咸阳乾县校级模拟)随着2025年第九届丝博会的热度， “丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观.某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机(无人机的高度忽略不计)放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为45°，随后操作无人机竖直向上升高13.8 m到点B处，测得塑像顶部C的俯角为22°，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内， 且AB，CD均垂直于地面AD，求该塑像的高度CD. (结果保留一位小数.参考数据： sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan22°≈0.40) 解：如解图，过点C作CE⊥AB于点E. ∵AB⊥AD，CD⊥AD，CE⊥AB， ∴四边形ADCE是矩形. ∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD， ∴四边形ADCE为正方形， ∴AD＝CD＝AE＝CE. ∵从点B测得点C的俯角为22°，∴∠BCE＝22°. ∵BE＝AB－AE＝13.8－AE， ∴tan22°＝ ＝ ＝ ≈0.40，∴CD≈9.9 m. 答：该塑像的高度CD约为9.9 m. 2. [母子型]如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭B在翠微亭A的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在A，B之间修建一条直通的景观隧道.为测量A，B两点之间的距离，在一条东西方向的小路l上的点P，Q处分别观测点A，B，测得点A在点P的北偏东53°方向上，点B在点Q的北偏东30°方向上，BQ＝1 200米，PQ＝2 000米.求A，B两点之间的距离.(结果精确到1米.参考数据： ≈1.73， sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°≈ ) 解：如解图，延长AB交l于点C，则BC⊥l. 在Rt△BQC中，∠QBC＝30°，BQ＝1 200， ∴QC＝ BQ＝600，BC＝ BQ＝600 ， ∴PC＝PQ＋QC＝2 000＋600＝2 600. 在Rt△APC中，∠PAC＝53°， ∴AC＝ ≈ PC＝1 950， ∴AB＝AC－BC≈1 950－600 ≈912(米)， 答：A，B两点之间的距离约为912米. 3. (2025铁一中模拟)在某地区的光伏发电系统中，太阳能板与水平地面的夹角对太阳辐射的接收有重要影响.经过研究与实践，当太阳能板与水平地面夹角为30°时，日平均太阳辐射量能达到最大.如图是该地区基于此最佳夹角安装太阳能板后的示意图，∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆.已知AB＝2 m，∠AGD＝30°，C是AB的中点，CD⊥GD. 在GD的延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4 m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1 m. 求支撑杆CD的长.(结果精确到0.1 m.参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 解：如图，过点A作AP⊥GM于点P，连接NF并延长，交AP于点H. 由题意，得NH⊥AP，HP＝EF＝NM＝1，FN＝EM＝4. 设FH＝x，则HN＝FH＋FN＝x＋4. 在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴AH＝FH＝x. 在Rt△AHN中，∠ANH＝30°，∴AH＝HN·tan30°＝ (x＋4)， ∴x＝ (x＋4)，解得x＝2 ＋2， ∴AH＝2 ＋2，∴AP＝AH＋HP＝2 ＋3. 在Rt△AGP中，∠AGP＝30°，∴AG＝2AP＝4 ＋6. ∵AB＝2，C是AB的中点，∴AC＝ AB＝1， ∴CG＝AG－AC＝4 ＋5. 在Rt△CGD中，CD＝ CG＝2 ＋2.5≈6.0(m). 答：支撑杆CD的长约为6.0 m. 类型2 与相似三角形有关的几何测量问题 4. [影子](2025铜川期末)如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度AB，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆CD，并测得此时标杆的影长DE为2.4米；然后，小明在BD的延长线上找一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF， 根据以上测量数据，求该塔的高度AB. 解：由题意，得∠ABD＝∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CED，　 ∴△CDE∽△ABD，∴ ＝ . ∵∠F＝∠F，∠CDF＝∠ABF＝90°， ∴△CDF∽△ABF，∴ ＝ ，∴ ＝ ， 即 ＝ ，∴BD＝60， ∴ ＝ ，∴AB＝43. 答：该塔的高度为43米. 5. [镜面反射](2025咸阳三原县期末)如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1 m到达点B处(即AB＝1 m)，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强同学从点B处沿OB方向移动3 m到达点C处(即BC＝3 m)，测得∠OCE＝45°.已知强强同学的眼睛距地面的高度FB为1.5 m，点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC. 求高楼OE的高度.(平面镜的大小忽略不计) 解：由题意，得∠OAE＝∠BAF. ∵EO⊥OC，FB⊥OC， ∴∠AOE＝∠ABF＝90°， ∴△OAE∽△BAF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OE＝1.5OA. ∵EO⊥OC，∠OCE＝45°， ∴OC＝OE， ∴OA＋1＋3＝1.5OA，解得OA＝8， ∴OE＝1.5OA＝12(m). 答：高楼OE的高度为12 m. 类型3 综合型几何测量问题(8年1考) 6. 西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，是中国现存规模最大、建筑年代最久、保存最完好的一座.周末，小明和他所在的数学兴趣小组开展测量钟楼高度的实践活动.方案如下：如图所示，小明先在点C处放置一个平面镜，站在点E处恰好在平面镜中看到钟楼的顶端A，此时测得CE＝3 m.同时小明测得钟楼顶端A的仰角为24.5°，已知小明的眼睛与地面的距离DE为1.5 m，求钟楼AB的高度.(结果精确到1 m.参考数据： sin 24.5°≈0.41， cos 24.5°≈0.91， tan24.5°≈0.46) 解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F. 设BC＝x，∵CE＝3，∴BE＝BC＋CE＝x＋3. 由题意，得∠DCE＝∠ACB，DF＝BE＝x＋ 3，BF＝DE＝1.5，DE⊥BE，AB⊥BE， ∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△DEC∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AB＝0.5x. 在Rt△ADF中，∠ADF＝24.5°， ∴AF＝DF·tan24.5°≈0.46(x＋3). ∵AF＋BF＝AB，∴0.46(x＋3)＋1.5≈0.5x， 解得x≈72，∴AB＝0.5x≈36(m). 答：钟楼AB的高度约为36 m. 7. (2025咸阳旬邑县校级模拟)西安火车站是西安铁路枢纽的主要客运站之一，在全国铁路运输网中具有极为重要的地位.如图，小华和小明对西安火车站南广场候车楼(AB)顶部，站名“西安”两字中“安”字的高度(即线段BC所代表部分)很感兴趣，想知道其具体高度.小华和小明在候车楼前方的广场上正对着站名，小华在距离A点37 m的D处用测角仪测得“安”字底部B的仰角为α，小明在小华前面2.3 m的E处用测角仪测得“安”字的顶部C的仰角为β，并发现α与β互余.已知该火车站候车楼AB的高度为36.4 m，测角仪EG，DF的高度均为1.7 m， A，E，D三点共线，A，B，C三点共线， 且AC⊥AD，EG⊥AD，DF⊥AD，求站名 “西安”中“安”字的高度BC. 解：如解图，连接FG并延长，交AB于点H. ∵FD⊥AD，GE⊥AD，AC⊥AD，EG＝DF， ∴四边形FDAH与四边形GEAH都为矩形. ∴AH＝FD＝GE＝1.7. ∵AB＝36.4，∴BH＝AB－AH＝34.7. ∵AD＝37，DE＝2.3， ∴GH＝AE＝AD－DE＝34.7，∴GH＝BH. ∵α与β互余，∴α＋β＝90°. ∵α＋∠FBH＝90°，∴β＝∠FBH. 在△CGH和△FBH中， ∴△CGH≌△FBH(ASA)，∴CH＝FH＝AD＝37， ∴CB＝CH－BH＝37－34.7＝2.3(m). 答：站名“西安”中“安”字的高度BC为2.3 m. 8. 【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等. 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树(AB与河岸平行)，于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使CD与河岸平行，且∠DCB＝90°.经测量，CD＝20 m，∠ADB＝82°，∠BDC＝45°. 【问题解决】(1)请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离.(结果精确到0.1 m.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan37°≈0.75)　 解：如图1，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB∥CD，DE⊥AB，∠DCB＝90°， ∴∠EDC＝∠DCB＝∠DEB＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴EB＝CD＝20，BC＝DE. 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴∠DBC＝45°， ∴BC＝CD＝20，∴DE＝20. ∵∠ADB＝82°，∠EDC＝90°，∠BDC＝45°，∴∠ADE＝37°. 在Rt△AED中，tan∠ADE＝ ， ∴AE＝DE·tan∠ADE≈20×0.75＝15， ∴AB＝AE＋EB≈15＋20＝35(m). 答：A，B两棵树之间的距离约为35 m. 【交流讨论】(2)丙同学给出了另一种方案：如图2，在河岸一侧确定 两点C，D，使CD与河岸平行，且∠DCB＝90°，测量出DC＝a m， DE＝b m，∠D＝α，即可计算出AB的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性. 解：在Rt△BCD中， cos ∠BDC＝ ， ∴BD＝ ，∴BE＝BD－DE＝ －b＝ －b. ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴ ＝ ， ∴AB＝ ＝ ＝(－a)m， ∴丙同学的方案可行. 21 $