精品解析：安徽合肥市第八中学2026届高三下学期3月模拟预测（二）数学试题

高三3月（二）数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知在复平面内对应的点为，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 某次高三数学测试成绩服从正态分布，且，现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取1名，则该学生的成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D. 0.22 4. 已知递增的等比数列的前项和为，若、是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 6. 已知函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，过且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，为线段的中点，过作的准线的垂线，垂足为，若为等腰三角形，则直线的斜率的绝对值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“”与“且”是相等事件 B. 当时，，的取值有4种情况 C. D. 10. 已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 13. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 14. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，记掷出点数1为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率为，则______．（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，且的外接圆的面积为，求的周长． 16. 某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； （2）从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面，且，为的中点． （1）求证：； （2）为棱上一点，且直线与平面所成的角为30°，求平面与平面夹角的大小． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． （1）求的方程． （2）动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． （3）C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三3月（二）数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，解得或， 所以或， 而或， 所以或. 2. 已知在复平面内对应的点为，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，可得， 所以. 3. 某次高三数学测试成绩服从正态分布，且，现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取1名，则该学生的成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D. 0.22 【答案】B 【解析】 【详解】已知成绩，所以正态分布曲线关于对称轴对称， 由于，，所以和关于对称轴对称， 根据正态分布对称性可得： ， 所以 . 4. 已知递增的等比数列的前项和为，若、是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出、的值，进而可求得数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】解方程得，， 因为等比数列单调递增，且、是方程的两个根， 所以，， 设等比数列的公比为，则且， 所以，则， 因为数列的前项和为， 则. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设， 因为为的中点，，，所以， 又，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以. 6. 已知函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切型函数的对称中心及条件，可得，代入所求，计算求解，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 因为，所以令，解得， 则. 7. 已知抛物线：的焦点为，过且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，为线段的中点，过作的准线的垂线，垂足为，若为等腰三角形，则直线的斜率的绝对值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出中点坐标，即可得点坐标，利用斜率乘积可知，即可求出直线倾斜角，直线斜率得解. 【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为， 由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图， 设，直线的方程为， 由，可得， 则， 所以， 即，故， 所以，又，所以， 所以，又为等腰三角形， 所以，所以， 所以，结合抛物线的对称性可知直线的斜率的绝对值为1. 8. 已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“”与“且”是相等事件 B. 当时，，的取值有4种情况 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，列举即可判断；对于C，根据乘法公式计算总样本容量，再列出事件，结合古典概型计算概率；对于D，根据条件概率公式计算． 【详解】事件“”表示，有“且”或“且”两种情况，故A错误； 当时，或或或四种情况，故B正确； 从这个盒子中有放回地先后取两个小球，共种情况， 其中的有或或或或或共6种情况， ，故C错误； 的情况有、、、、、、、 、、共10种， 其中且的有、、、、、、共7种， ，故D正确． 10. 已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得， 由基本不等式，可得，所以，即 因为椭圆的短轴长为，可得，所以， 所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由，，可得，则， 所以过且垂直于轴的直线方程为， 将代入椭圆的方程，可得，解得， 所以，所以B错误； 对于C，设，因为在椭圆上， 则，两式相减得：， 因为的中点为，可得， 所以，可得，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在， 不妨设直线的斜率为0，则， 则直线的方程为，可得，所以； 当两条直线的斜率都存在，且不为0时， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得且， 则 ， 因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 同理可得：， 则， 综上可得，，所以D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理得平面，故上任一点到平面的距离h为定值，根据等体积判断A即可；根据平面平面，得出点到平面的距离为计算判断B；建立空间直角坐标系，由计算判断C；利用点到直线的距离的向量公式列式，再由二次函数求最值即可. 【详解】对于A，在正方体中，因，平面，平面， 故平面，所以上任一点到平面的距离h为定值， 又为定值，故为定值，故A正确； 对于B，连接，，记正方体的外接球球心为， 易知是正方体体对角线的中点，因为平面平面， 且平面和平面与体对角线的交点是的两个三等分点， 又，所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 因为，所以， 又，若，则， 解得，所以这样的点不存在，故C错误； 对于D，， 所以，因为， 所以， 所以点到直线的距离 ， 又，所以当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得：， 代入得：，即切点为；切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得， 因为该切线经过点，所以将代入切线方程得： ， 整理得：，解得：. 13. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出圆心C和半径r，由题意得，圆心C到直线l的距离小于半径r，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】因为，， 所以AB中点坐标为，直线AB的斜率， 所以与AB垂直的直线的斜率， 则AB的垂直平分线方程为，即， 由题意圆心为直线与的交点，联立解得圆心为， 则圆的半径， 因为直线：与圆相交， 所以圆心到直线l的距离，解得， 则实数的取值范围为 14. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，记掷出点数1为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率为，则______．（用表示） 【答案】 【解析】 【详解】记掷出点数1为事件，则每次抛掷骰子，得到点数1的概率为，不发生的概率为， 在次抛掷中发生奇数次，分两种情况： 前次发生偶数次，第次发生；前次发生奇数次，第次不发生， 由抛掷次后事件发生奇数次的概率为，则可得递推公式为： ， 构造递推公式得：， 所以数列是首项为、公比为的等比数列， 因为当时，，所以 ， 整理得： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，且的外接圆的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换运算即可求解； （2）由已知可求得的外接圆的半径，结合正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得，可求得其周长． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）得，又，所以， 设的外接圆的半径为， 因为的外接圆的面积为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，解得， 所以的周长为． 16. 某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； （2）从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 学生的写作水平与每周课外阅读时长有关 （2） X 0 1 2 P 【解析】 【小问1详解】 每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表 为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关． 【小问2详解】 根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人）， 组人数为（人），则X的取值可能为， 所以， 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面，且，为的中点． （1）求证：； （2）为棱上一点，且直线与平面所成的角为30°，求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 取的中点，连接，因为，且， 四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形， 故，因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，所以平面，进而， ，且平面，所以平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，从而证明； （2）建立空间直角坐标系根据向量法求出，再根据二面角计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，,，，， 设，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， ，因为，所以， 计算得，所以，平面的法向量， 平面的法向量，设平面与平面夹角为， ，故. 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． （1）求的方程． （2）动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． （3）C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由离心率得到关系，再将点坐标代入双曲线方程求解，得到方程； （2）通过分类讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合韦达定理或直接代入计算，证明向量的结果恒为，从而确定其为定值; （3）由平行四边形对角线互相平分的性质，设出中点与点坐标，通过点差法得到直线方程，联立双曲线方程后根据判别式，证明无实根，从而得出不存在满足条件的三点. 【小问1详解】 已知离心率，故，结合得, 所以双曲线方程可写为，代入点得：， 解得，所以，双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得右焦点，分两种情况讨论： 若直线斜率不存在，则，由得， 不妨设， 则：，所以； 若直线斜率存在，设为，则， 由，得， 此时且. 设， 由韦达定理：， 则： . 综上，，即为定值. 【小问3详解】 假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合， 设中点为，则。 设，则，两式相减得，即， 整理得方程为。 又在双曲线上，代入得，即，故方程为. 若， 联立与双曲线，消去得， 即，判别式： 若，则，，代入双曲线得，无实根. 因此不存在满足条件的三点. 19. 已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为1 （2）当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可； （2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； （3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象 求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围． 【小问1详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，． 【小问2详解】 令，得，即， 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数， ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点. 【小问3详解】 由题知， 则， 当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意； 当时，由，可得，或， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， 又当时，，当时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， 不妨设，则，所以，即， 所以， 所以 ， 令，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为，则当时，恒有， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $