1.1 直线的相交讲义（知识梳理+5题型突破）2025-2026学年 浙教版七年级数学下册

1.1 直线的相交 讲义 基础知识梳理 1. 核心概念定义 概念 文字定义 图形特征 关键性质 对顶角 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且有公共顶点，那么这两个角是对顶角 有公共顶点，两边互为反向延长线 对顶角相等 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 公共顶点+公共边+另一边反向延长线 邻补角互补（和为） 垂线 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条的垂线 交角为，标注“”符号 ① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线所作垂线段的长度 垂线段的长度（非垂线段本身） 是该点到直线的最短距离 2. 核心性质与定理 对顶角性质：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 邻补角性质：邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 垂线性质： 过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 相交线夹角规律：两条直线相交，形成4个角，其中相邻两个角为邻补角，相对两个角为对顶角，4个角的和为。 典例精讲 模块一：对顶角与邻补角的识别与计算 典例1（对顶角性质应用，中等） 题目：如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 变式1如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 典例2（邻补角与角平分线综合，中等） 题目：如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 变式2如图，直线，相交于点，平分． (1)写出图中的所有补角； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 模块二：垂线的性质与应用 典例3（垂线定义求角，中等） 题目：如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 变式3如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 模块三：点到直线的距离与垂线段最短 典例4（垂线段最短的实际应用，中等） 题目：运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 变式4如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 重难题型拓展（分类讨论+方程思想） 典例5（分类讨论求角，重难） 题目：已知，等于，则的度数为 ． 变式5直线与交于O，，则的度数 ． 【核心解题技巧】 角的关系快速判断： a. 对顶角：看“公共顶点+两边反向延长线”，直接用“相等”性质； b. 邻补角：看“公共顶点+公共边+另一边反向延长线”，直接用“互补”性质； c. 垂线相关角：看到“”，先标，再结合邻补角、对顶角计算。 实际应用技巧： a. 求最短距离：优先考虑“垂线段最短”，如跳远成绩、建码头等问题； b. 分类讨论场景：当射线位置不明确时（如在角内部/外部），需分情况计算。 方程思想应用：当角度关系复杂时，设未知数（如设），利用邻补角、对顶角性质列方程求解。 【易错提醒】 1. 对顶角与邻补角混淆：误将互补的角当作对顶角（如认为则），忽略对顶角的“两边反向延长线”特征。 2. 垂线定义误解：认为“垂直的两条直线”就是垂线，忽略“其中一条是另一条的垂线”的相对性；或误将“垂线段”当作“点到直线的距离”（距离是长度，不是线段）。 3. 分类讨论遗漏：涉及射线位置不确定的问题时，只考虑一种情况（如典例5中忽略在外部的情况），导致漏解。 4. 角度计算错误：在多个角的和差运算中，混淆角的组成关系（如典例3中误将与直接相加）。 题型一．相交线 1．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（　　） A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 2．（2025春•孝南区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（　　）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 3．（2025春•椒江区校级期中）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4．两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（　　） A．28个交点 B．24个交点 C．21个交点 D．15个交点 题型二．对顶角、邻补角 5．（2025春•北仑区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 6．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．等角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 7．（2025春•嘉兴期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠BOC＝85°，则∠AOD的度数是（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 8．（2025春•恩施市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝∠2＝40°，则∠BOE的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 9．（2024春•椒江区期末）如图，当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的度数（　　） A．增大30° B．减少30° C．增大15° D．减少15° 10．如图，直线AB、CD交于点O，∠2＝3∠1，∠BOD＝108°，则∠1＝（　　） A．27° B．36° C．81° D．72° 11．（2025春•上城区校级月考）如图，三条直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 12．（2025春•越城区期中）如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝56°，则∠3＝ 　 　 ． 13．（2025春•台州校级期中）如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是 　 　 ． 14．（2025春•丽水期中）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°． （1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数． 15．如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数； （2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． （3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 题型三．垂线 16．（2024春•襄州区校级月考）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 17．（2025春•临海市期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，若∠AOE＝40°，则∠COF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 18．（2025春•龙泉市期中）已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC＝35°，则∠EOD＝　 　 度． 19．（2025春•新昌县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　 °． 20．（2025春•钱塘区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝20°，则∠2＝ 　 　 ． 21．（2025春•莲都区校级月考）如图，EO⊥CD，若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　 ． 22．（2025春•浙江月考）如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE＝60°，BF⊥AE．求∠FBD和∠CBF的度数． 23．（2025春•慈溪市校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝3：2，求∠AOD的度数． 24．（2025春•台州校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 题型四．垂线段最短 25．（2025春•拱墅区校级期中）点A为直线BC外一点，AD⊥BC于D，AD＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 26．（2025春•慈溪市期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，AC⊥l，C为垂足．分别测得AB＝2.19米，AC＝2.16米，AD＝2.25米，则小明的跳远成绩应该是（　　） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 27．（2025春•丽水期中）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 28．（2025春•西湖区校级月考）如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点B，E为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．AB和OE的长 B．AB和DE的长 C．BC和OE的长 D．BC和EF的长 29．（2025春•上城区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，点M在BC边上（不与B，C两点重合），连接AM，则AM的长不可能是（　　） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 30．（2025春•杭州月考）如图，BD⊥AC，垂足为D，则下列线段关系不一定成立的是（　　） A．AB＞AD B．BC＞CD C．AB＞BD D．BC＞AB 31．（2025春•北仑区期中）如图，从点P向直线L所画的4条线段中，线段　 　 最短． 32．（2025春•娄底期末）如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是 　 　 ． 33．（2025•海曙区校级开学）如图，CD⊥AB，BC⊥AC，垂足分别为D、C．比较线段CD、BC、AB的大小：　 　 （用“＜”号连接），理由是 　 　 ． 题型五．点到直线的距离 34．（2025春•嘉兴期末）如图，CD⊥AB于点D，则点A到CD的距离是（　　） A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BC的长 35．（2025春•东宝区校级月考）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 36．（2022秋•江北区期末）在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　） A． B． C． D． 37．（2025春•上城区期末）如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 38．（2025•海曙区校级开学）点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 39．（2025春•西湖区校级月考）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是 　 　 cm． 40．（2025春•德清县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　 　 cm；点A到BC的距是 　 　 cm． （2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 直线的相交 讲义 基础知识梳理 1. 核心概念定义 概念 文字定义 图形特征 关键性质 对顶角 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且有公共顶点，那么这两个角是对顶角 有公共顶点，两边互为反向延长线 对顶角相等 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 公共顶点+公共边+另一边反向延长线 邻补角互补（和为） 垂线 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条的垂线 交角为，标注“”符号 ① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线所作垂线段的长度 垂线段的长度（非垂线段本身） 是该点到直线的最短距离 2. 核心性质与定理 对顶角性质：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 邻补角性质：邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 垂线性质： 过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 相交线夹角规律：两条直线相交，形成4个角，其中相邻两个角为邻补角，相对两个角为对顶角，4个角的和为。 典例精讲 模块一：对顶角与邻补角的识别与计算 典例1（对顶角性质应用，中等） 题目：如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由题图可得和互为对顶角， 所以， 所以当增加时，也会增加． 故选B． 变式1如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查对顶角及邻补角的定义及性质，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．结合已知条件易求得∠AOC的度数，然后根据邻补角的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 典例2（邻补角与角平分线综合，中等） 题目：如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 【分析】本题考查图形中求角度，涉及平角定义、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角是解决问题的关键． 先由，结合，求出，再由角平分线的定义得到，，进而数形结合，表示出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 变式2如图，直线，相交于点，平分． (1)写出图中的所有补角； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的意义，结合图形即可得出答案； （2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案； （3）根据平角、按比例分配，角平分线的意义、对顶角性质可得答案． 【详解】（1）∵平分． ∴， ∵， ∴的补角有， （2）平分，， ， ， ， （3）：：，， ，， 平分， ， 又， ． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提． 模块二：垂线的性质与应用 典例3（垂线定义求角，中等） 题目：如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 变式3如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 模块三：点到直线的距离与垂线段最短 典例4（垂线段最短的实际应用，中等） 题目：运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 变式4如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 重难题型拓展（分类讨论+方程思想） 典例5（分类讨论求角，重难） 题目：已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 变式5直线与交于O，，则的度数 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于，那么这两个角叫做互为余角. 根据题意，分两种情况：（1）是锐角时；（2）是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出的度数是多少即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． （2）如图2， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． 综上，可得的度数是或． 故答案为：或． 【核心解题技巧】 角的关系快速判断： a. 对顶角：看“公共顶点+两边反向延长线”，直接用“相等”性质； b. 邻补角：看“公共顶点+公共边+另一边反向延长线”，直接用“互补”性质； c. 垂线相关角：看到“”，先标，再结合邻补角、对顶角计算。 实际应用技巧： a. 求最短距离：优先考虑“垂线段最短”，如跳远成绩、建码头等问题； b. 分类讨论场景：当射线位置不明确时（如在角内部/外部），需分情况计算。 方程思想应用：当角度关系复杂时，设未知数（如设），利用邻补角、对顶角性质列方程求解。 【易错提醒】 1. 对顶角与邻补角混淆：误将互补的角当作对顶角（如认为则），忽略对顶角的“两边反向延长线”特征。 2. 垂线定义误解：认为“垂直的两条直线”就是垂线，忽略“其中一条是另一条的垂线”的相对性；或误将“垂线段”当作“点到直线的距离”（距离是长度，不是线段）。 3. 分类讨论遗漏：涉及射线位置不确定的问题时，只考虑一种情况（如典例5中忽略在外部的情况），导致漏解。 4. 角度计算错误：在多个角的和差运算中，混淆角的组成关系（如典例3中误将与直接相加）。 题型一．相交线 1．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（　　） A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 【答案】D 【分析】根据两条直线相交有垂直相交和斜交两种情况，所以A、B、C均考虑不全面，故选D． 【解答】解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论： ①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误； ②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误； 综上所述，D正确． 故选：D． 2．（2025春•孝南区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（　　）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论． 【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点； ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 3．（2025春•椒江区校级期中）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】4条直线相交，有3种位置关系，画出图形，进行解答． 【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示： 则交点的个数有1个或4个或6个． 所以最多有6个交点． 故选：B． 4．两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（　　） A．28个交点 B．24个交点 C．21个交点 D．15个交点 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）n（n﹣1）个交点． 【解答】解：∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而32×3，63×4，10＝1+2+3+44×5， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）7×6＝21． 故选：C． 题型二．对顶角、邻补角 5．（2025春•北仑区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】1、两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．等角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断． 【解答】解：如图， ∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）， 所以论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等． 故选：D． 7．（2025春•嘉兴期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠BOC＝85°，则∠AOD的度数是（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质进行解答即可． 【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOC， ∵∠BOC＝85°， ∴∠AOD＝85°， 故选：B． 8．（2025春•恩施市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝∠2＝40°，则∠BOE的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝40°，利用角的和差关系求∠BOE的度数即可． 【解答】解：∵∠BOD＝∠1， ∠1＝40°， ∴∠BOD＝40°， ∵∠BOE＝∠BOD+∠2， ∠2＝40°， ∴∠BOE＝40°+40°＝80°． 故选：C． 9．（2024春•椒江区期末）如图，当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的度数（　　） A．增大30° B．减少30° C．增大15° D．减少15° 【答案】B 【分析】剪刀张开时，两个对顶角始终相等，当其中一个角减少时，另一个角会同步减少相同的度数，由此解答即可． 【解答】解：根据对顶角相等得∠AOB＝∠COD， 当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的度数也减少30°， 故选：B． 10．如图，直线AB、CD交于点O，∠2＝3∠1，∠BOD＝108°，则∠1＝（　　） A．27° B．36° C．81° D．72° 【答案】A 【分析】根据对顶角求出∠1，∠2之和，再根据他们数量关系即可解得答案． 【解答】解：∠BOD＝∠AOC＝108°， ∵∠AOC＝∠1+∠2，∠2＝3∠1， ∴4∠1＝108°， ∠1＝27°， 故选：A． 11．（2025春•上城区校级月考）如图，三条直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　 ． 【答案】180°． 【分析】根据对顶角，平角定义解答即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠1+∠4+∠3＝180°，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3＝180°． 故答案为：180°． 12．（2025春•越城区期中）如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝56°，则∠3＝ 　152°　 ． 【答案】152°． 【分析】根据对顶角相等即可求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2， ∵∠1+∠2＝56°， ∴∠1＝∠2＝28°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣28°＝152°， 故答案为：152°． 13．（2025春•台州校级期中）如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是 　对顶角相等　 ． 【答案】对顶角相等 【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可； 【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数． 故答案为：对顶角相等． 14．（2025春•丽水期中）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°． （1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数． 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数； （3）先过点O作OF⊥AB，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝36°，∠COE＝90°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝54°； （2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5， ∴∠BOD＝180°30°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠AOE＝30°+90°＝120°； （3）如图1，∠EOF＝120°﹣90°＝30°， 或如图2，∠EOF＝360°﹣120°﹣90°＝150°． 故∠EOF的度数是30°或150°． 15．如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数； （2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． （3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案； （2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α﹣60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案； （3）分情况讨论：①当0°＜∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°＜∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+60°，然后可得∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC+∠BOC∠AOC+120°，最后根据周角的定义计算得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DOF∠AOD＝20°， ∴∠EOC＝∠DOF＝20°； （2）①∵∠AOC＝α， ∴∠AOD＝180°﹣α， ∴∠DOF∠AOD＝60°， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°， 由题意得：∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝α﹣60°， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°α﹣60°； ②观察①中结果可得：∠EOB， 证明：∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠AOC﹣60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC﹣60°∠AOC； （3）①当0°＜∠AOC≤90°时， 如图， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°； ②当90°＜∠AOC≤120°时， 如图， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°， ∴∠DOF∠AOD＝60°∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC， ∴∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°， ∴∠EOB＝360°﹣（∠EOC+∠BOC）＝360°∠AOC﹣120°＝240°∠AOC． 题型三．垂线 16．（2024春•襄州区校级月考）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余． 【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD， ∴∠1+∠COE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴两角互余． 故选：B． 17．（2025春•临海市期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，若∠AOE＝40°，则∠COF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得：∠AOD＝90°，从而可得∠EOD＝130°，然后根据对顶角相等可得∠EOD＝∠COF＝130°，即可解答． 【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠AOD＝90°， ∵∠AOE＝40°， ∴∠EOD＝∠AOE+∠AOD＝130°， ∴∠EOD＝∠COF＝130°， 故选：C． 18．（2025春•龙泉市期中）已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC＝35°，则∠EOD＝　55或125　 度． 【答案】55或125． 【分析】根据题意画出相应的图形，然后根据角的和差关系求解即可． 【解答】解：如图1， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠AOC＝180°， ∠AOC＝35°， ∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣35°＝55°； 如图2， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠AOE＝∠AOC+∠COE， ∠AOC＝35°， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣55°＝125°， 综上所述，∠EOD的度数为55°或125°． 故答案为：55或125． 19．（2025春•新昌县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　35　 °． 【答案】35． 【分析】根据垂直定义可得：∠COE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠BOE＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝35°， 故答案为：35． 20．（2025春•钱塘区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝20°，则∠2＝ 　70°　 ． 【答案】70°． 【分析】根据垂直定义可得：∠EOB＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠1＝20°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠EOB＝70°， 故答案为：70°． 21．（2025春•莲都区校级月考）如图，EO⊥CD，若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　 ． 【答案】130°． 【分析】先利用平角定义和已知易得：∠BOD＝40°，从而利用对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝40°，然后根据垂直定义可得EO⊥CD，从而可得∠COE＝90°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴∠BOD＝180°40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵EO⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝130°， 故答案为：130°． 22．（2025春•浙江月考）如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE＝60°，BF⊥AE．求∠FBD和∠CBF的度数． 【分析】根据BF⊥AE，得到∠EBF＝90°，从而得到∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE的度数，根据邻补角的定义即可得到∠CBF的度数． 【解答】解：∵BF⊥AE， ∴∠EBF＝90°， ∵∠DBE＝60°， ∴∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CBF＝180°﹣∠FBD＝180°﹣30°＝150°． 23．（2025春•慈溪市校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝3：2，求∠AOD的度数． 【分析】根据垂直可得∠AOE＝90°，再由∠AOC：∠COE＝3：2求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义可得∠AOD的度数． 【解答】解：∵EO⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠AOC：∠COE＝3：2， ∴∠AOC∠AOE＝54°， ∵∠AOC+∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝126°． 24．（2025春•台州校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD； （2）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°． 【解答】解：（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD． （2）由（1）知∠1+∠AOC＝90°， 因为∠AOC＝2∠1， 所以∠1+2∠1＝90°， 解得∠1＝30°， 所以∠AOC＝60°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°． 题型四．垂线段最短 25．（2025春•拱墅区校级期中）点A为直线BC外一点，AD⊥BC于D，AD＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵AD⊥BC于D，AD＝6， ∴AP≥AD， 即AP≥6， ∴只有选项D符合题意． 故选：D． 26．（2025春•慈溪市期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，AC⊥l，C为垂足．分别测得AB＝2.19米，AC＝2.16米，AD＝2.25米，则小明的跳远成绩应该是（　　） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 【答案】B 【分析】直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【解答】解：∵AC⊥l，C为垂足，AC＝2.16米， ∴小明的跳远成绩应该是2.16m． 故选：B． 27．（2025春•丽水期中）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：B． 28．（2025春•西湖区校级月考）如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点B，E为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．AB和OE的长 B．AB和DE的长 C．BC和OE的长 D．BC和EF的长 【答案】D 【分析】根据点到直线垂线段最短和两点之间线段最短求解即可． 【解答】解：由垂线段最短可值，立定跳远的成绩是线段BC的长； 铅球的成绩是线段EF的长． 故选：D． 29．（2025春•上城区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，点M在BC边上（不与B，C两点重合），连接AM，则AM的长不可能是（　　） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】根据垂线段最短，得到AM的取值范围，进行判断即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝7， ∴AC＜AM＜AB， ∴4＜AM＜7； ∴AM的长不可能是3； 故选：D． 30．（2025春•杭州月考）如图，BD⊥AC，垂足为D，则下列线段关系不一定成立的是（　　） A．AB＞AD B．BC＞CD C．AB＞BD D．BC＞AB 【答案】D 【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断． 【解答】解：A、AB＞AD，故A不符合题意； B、BC＞CD，故B不符合题意； C、AB＞BD，故C不符合题意； D、BC不一定大于AB，故D符合题意． 故选：D． 31．（2025春•北仑区期中）如图，从点P向直线L所画的4条线段中，线段PB 最短． 【答案】PB 【分析】根据“从直线外一点，到直线上各点所连的线段中，垂直线段最短”，进行判断即可． 【解答】解：根据“垂线段最短”可知，PB最短， 故答案为：PB． 32．（2025春•娄底期末）如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是 　垂线段最短　 ． 【答案】垂线段最短． 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：因为PB⊥AD，垂足为点B， 所以沿线路PB行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 33．（2025•海曙区校级开学）如图，CD⊥AB，BC⊥AC，垂足分别为D、C．比较线段CD、BC、AB的大小：CD＜BC＜AB （用“＜”号连接），理由是 　垂线段最短　 ． 【答案】CD＜BC＜AB，垂线段最短． 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：∵BC⊥AC， ∴AB＞BC， ∵CD⊥AB， ∴BC＞CD， ∴CD＜BC＜AB． 故答案为：CD＜BC＜AB，垂线段最短． 题型五．点到直线的距离 34．（2025春•嘉兴期末）如图，CD⊥AB于点D，则点A到CD的距离是（　　） A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BC的长 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离是：这个点到这条直线的垂线段的长，进行解答即可． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴点A到CD的距离是：线段AD的长， 故选：C． 35．（2025春•东宝区校级月考）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度． 【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D， 故选：D． 36．（2022秋•江北区期末）在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN， 选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意． 故选：A． 37．（2025春•上城区期末）如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 【答案】D 【分析】根据AB与AC不垂直可对选项A进行判断；根据AC与AB不垂直可对选项B进行判断；根据线段AD是点A到BC的垂线段可对选项C进行判断；根据AD⊥BC可对选项D进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：∵AB与AC不垂直， ∴点B到AC的垂线段不是线段AB， 故选项A不正确，不符合题意； ∵AC与AB不垂直， ∴点C到AB的垂线段不是线段AC， 故选项B不正确，不符合题意； ∵线段AD是点A到BC的垂线段， ∴选项C不正确，不符合题意； ∵AD⊥BC， ∴线段BD是点B到AD的垂线段， 故选项D正确，符合题意． 故选：D． 38．（2025•海曙区校级开学）点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 【答案】C 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答． 【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离≤PA， 即点P到直线l的距离不大于2． 故选：C． 39．（2025春•西湖区校级月考）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是 　4　 cm． 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【解答】解：∵PB⊥l，PB＝4cm， ∴P到l的距离是垂线段PB的长度4cm， 故答案为：4． 40．（2025春•德清县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　4　 cm；点A到BC的距是 　3　 cm． （2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离． 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求． （2）先画垂线段，再计算距离． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm， ∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度． 故答案为：4，3． （2）如图： 作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离． ∵S△ABCBC•ACAB•CD． ∴CD（cm）． 学科网（北京）股份有限公司 $