第11章 解三角形 章末总结 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

章末总结 第11章 解三角形 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 1 目录 单元知识总结 03 01 02 单元专题分析 高考命题分析 单元知识总结 01 4 5 单元专题分析 02 专题 对圆内接四边形的相关题目的探究 例1 (2025 浙江省余姚中学质检)如图11-1,,,,为平面四边形 的四个内角. 图11-1 (1)证明: ; 【解析】 . 7 (2)若 ,,,, ,求 的值. 【解析】由 ,得, . 由(1),有 . 连接 . 在中,有 , 在中,有 , 所以 , 8 则 . 于是 . 连接 .同理可得 , 于是 . 所以 . 9 思路点拨 第(1)问为三角恒等式的证明,利用二倍角公式化简即得;求第(2) 问时,先由与,与互补及(1)的结果,得 , ,然后由余弦定理,得, ,即可获解. 10 例2 (新课标全国卷 )四边形的内角与互补,,, . (1)求和 ; 思路点拨 根据内角,互补,利用余弦定理列出关于角和 的两个方程,即可 求出角和 ; 【解析】由题设及余弦定理得 ①, ②. 由①②得,故 , . 11 (2)求四边形 的面积. 思路点拨 利用三角形面积公式可得 ,即可求得四边形 的面积. 【解析】四边形 的面积 . 其实在数学竞赛中对圆内接四边形的考查非常丰富,因此作为本章知识的拓展,有 必要对其进行一番研究. 12 定理1 设圆内接四边形的边长分别为,,, ,则 , , , , 且四边形的面积,其中 . 证明 如图11-2,连接,在和 中,分别应用余弦定理,得 , . 又易知 ,所以 , 故 ,#2.3.3 13 由此得 ①, ,同理,得, . 又 , 即 ②. 又由①得, ③,#2.3.8 14 图11-2 得, , 即 其中 , 故 . 上述探索过程中,我们得到了圆内接四边形面积的海伦公式. , 15 定理2设四边形的边长分别为,,,,且 (或),则四边形 的面积 ,其中 . 证明 如图11-3,连接 . ,即 ①. , ②. 16 图11-3 得, ,#3.2.10 17 , 故,其中 .#3.2.12 18 定理3 设四边形的边长分别为,,,,则四边形 的面积的最大值为,此时四边形 内接于圆.该 结论由定理2可得(当四边形为圆内接四边形时,即 时, ). 同学们可以试着利用上述结论解决上述考题. 19 学一题会一类 一题看尽解三角形最值或范围问题 例3 在中,,,分别为三个内角,, 的对边,且满足 . (1)若,,求 的面积. 【解析】由,,得, . 由正弦定理得,解得 , . 20 (2)若,求 的面积的最大值. 【解析】由余弦定理得 , ,当且仅当时取等号, , 故面积的最大值为 . (3)若,求 的周长的最大值. 【解析】由余弦定理得, ,即 ,即,当且仅当 时等号成立,则 . 的周长为 , 故 周长的最大值为6. 21 (4)若,求 的最大值. 【解析】 , , , ,即, , 故的最大值为 . 22 (5)若为锐角三角形,求 的范围. 【解析】 , 为锐角三角形, , 又 , , , ,即, . 23 (6)若,求 的最大值. 【解析】由正弦定理得, , , . (由(5)可知, ,代入即可) ,其中 . 故的最大值为 . . . 24 说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景,在第11.2节题型2中的例 14我们已经详细讲解过(得出 ),由题干及第(1)问我们可以发现在解三角 形的过程中,往往需要已知三个条件才能得出一个定值(如面积能直接求解出来), 若是只给出了两个已知条件,则会产生最值或取值范围问题,我们不妨研究一下, 借此体会数学问题中一题多变的奥秘. 25 高考命题分析 03 命题点 解三角形问题 例4 (2025 北京大学强基计划)在中,在上,平分 , ,,求 . 【解析】由角平分线的性质知,可得 , 令,则 . 27 图11-4 设是的中点,如图11-4所示,因为 , ,所以, , 故 , 由,得 ,即 , 所以 (负值已舍) . 28 例5 (2025 全国高中数学联赛江苏赛区预赛)已知的面积为2,,则 的 范围为_ _. , 【解析】不妨在平面直角坐标系中设,,由面积为2知 边上的 高为2,不妨设 , 则 . 当时,上式 , 29 当时, , 易知 , 此时, . 综上,,开方得 . 30 例6 (2025 东南大学强基计划)若,则判断 的形状. 【解析】由正弦定理得 , 因为,, 为三角形内角, 所以 则, 均为锐角. ②式平方得,即 ,将①式代入得, , 31 则,解得 , , 则, , 则 , 则 为钝角三角形. 32 例7 (2024 清华大学强基计划)在中, ,, 在 内部,延长交于,且,则 ( ) D A. B. C. D. 33 图11-5 【解析】如图11-5所示, 由为 的平分线,并结合正弦定理得 , . 由,可得 , 即 , 化简可得 ,于是 或 (舍), 故 . 则 , 34 例8 (2024 北京大学强基计划)在中,若点在线段上,平分 , ,,求 的周长. 【解析】设, , 由角平分线定理可得,则 , 由余弦定理的推论得 , 即 , 将代入化简得 , 即 , 解得或舍去 , 经检验只能,故 , 所以 的周长为10.5. 35 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 36 $