第9章 平面向量 章末总结 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

章末总结 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 1 目录 知识总结 03 01 02 单元专题分析 高考命题分析 知识总结 01 4 5 单元专题分析 02 专题1 三角形的“四心”与面积的相关探讨 三角形有“四心”:重心、外心、内心、垂心.可以利用向量的运算对它们的性质进行 分析. (1)重心:设是所在平面内一点,则点是 的重心的条件是 或(其中 为平面内任意一点). (2)垂心:向量所在的直线过 的垂心 (在边上的高 所在的直线上). 设是所在平面内的一点,则点是 的垂心的条件是 . 7 (3)内心:向量所在直线过的内心(在 的平分线所 在的直线上). 设是所在平面内的一点,为的内心的条件是 或 ,,是的内角,,所对边的边长, 为平面内任意 一点 . (4)外心:设是所在平面内的一点,则点为 外心的条件是 (即点 到三个顶点的距离相等),或 . 8 例1 设是内任意一点,表示的面积,, , ,定义.若是的重心, ,则 ( ) A A.点在内 B.点在内 C.点在内 D.点与点 重合 9 【解析】本题的难点在于其创新的设问方式,因此读懂题意是关键,相当多的考生 是因为读不懂题意而随意地选了一个.如果只是一味地将目光锁定在 上,将会难以前进,甚至误入歧途.但若能注意到其几何背景,则不 难解决.实际上,由于是的重心,从而 ,因此 ,不妨设 ,则 .若点在 内, 图9-1 则,与不符;若点在 内,则 ,与不符,从而点在 内,如 图9-1所示. 10 当然我们也可以找到其确切的位置.这是后话,暂且放下.这个题是如何命制出来的呢? 先看下面定理. 引理:在内任取一点,用,,分别表示,, 的面积, 则 . 定理:设是内一点,,, ,则 ,其中 . 进一步地,若设,, ,则得到下题. 11 例2 (2025 山东省济南市期中)设点在内部,且有 ,则 的面积与 的面积的比为( ) C A. B. C. D. 图9-2 【解析】 (常规方法) 如图9-2,设为的中点,为的中点,由 ,得 ,即,所以 ,因 此在上,且为靠近点 的三等分点. 设,则,,所以 , 又,所以 . 故的面积与的面积的比为 1. 12 图9-3 如图9-3,延长到,使得.延长 到 ,使得.连接,, . 所以, , . 因为 , 所以,所以为 的重心. 所以 , 所以 , 故的面积与的面积的比为 . 由上述引理我们不难得到 . 13 反思:若将两边同时乘以,则得 .不难 发现上式中的,,与例1中的 中的数据相对应. 从而我们看到例2来源于上述引理,而例1反其道而行之,在已知面积比的基础上探 求点的位置.但是由于寻找点 的准确位置有一定难度,因此提供一个点:重心.即将 点与点 进行比照,这样就能数形结合,得出答案了. 14 下面再回过头去接着前面的话题,即点的具体位置在哪?如图9-4所示,过重心 作 交于点,交于点,为中位线,则与的交点便是点 .事实 上,由于为中位线,所以,而 ,则 . 图9-4 15 最后值得一提的是,由引理我们还可以得到有关 的如下结论: (1)重心满足 ; (2)外心满足 ; (3)内心满足或 ; (4)垂心满足 . 其中,,,是的内角,, 所对边的边长. 16 专题2 等和线及其应用 等和线:如图9-5,,不共线,则直线和 均为等和线. 图9-5 17 “等和”的含义:在直线 上任意位置,连 接,则,基底向量 , 的系数和恒为1,即 . Q在直线上任意位置,连接 ,则 ,基底向量, 的系 数和恒为,即 . 18 结论:(1)当等和线恰为直线时, ; (2)当等和线在点和直线之间时, ; (3)当直线在点和等和线之间时, ; (4)当等和线过点时, ; (5)当直线与等和线关于点对称时, . 19 例3 在中,, ,点满足,,则 的长为 ( ) A A. B. C. D.6 【解析】因为,所以,整理得 . (蕴含等和线的原理) 所以,即 . 设,则,化简得,解得 或 (舍去),即,所以 . . . 20 例4 (2025 广东省深圳市期中)在扇形中,为弧上的一个动点,. 若,则 的取值范围是_. 图9-6 【解析】如图9-6,在上取一点,使,连接,与 交于 ,过作,交于,则 , (转化基底向量的目的是凑系数,构造等和线) 所以.(直线和 为等和线,应用等和线的原理) 当,重合时, 最小,为1; 当,重合时, 最大,为3. 所以的取值范围是 . . . . . 21 一章一练 学思维知创新 例5 新定义 向量内积 (2025 湖南省长沙市长郡中学调研) 设有维向量 , ,称为向量和的内积.记为全体由 和1构成的 维向量的集合. 22 (1)若,存在,使得,,写出所有满足条件的 ; 【解析】由定义,只需满足 , 故所有满足条件的 有6个, 为,,,,, . 23 (2)令,,若,证明: 为偶数; 【解析】由题知,存在,,与,,, ,2, , ,使, , 当时,;当时, . 若有个,则有个 , 则, , 所以 ,为偶数. 24 (3)若表示能从 中选出向量的个数的最大值,且满足选出的向量互相之间的 内积均为0,猜测 的值,并给出一个实例. 【解析】猜测符合要求的4维向量最多有4个,即 ,举例如下: 不妨取,,, , 则有,,,, , , 若存在使,则或或 , 25 当时, ; 当时, ; 当时, . 故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0,故 . 26 高考命题分析 03 命题点1 向量运算 例6 (2025 全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且 ,则 _ _. 【解析】不妨设 的外接圆半径为1. 由得 , , 故 . 同理可得, . 28 , 又 , 29 , , , . 30 例7 (2024 同济大学强基计划)四边形为平面四边形,, ,则 _. 3 【解析】 , , 因为, , 所以 . 31 命题点2 向量的最值问题 例8 (2025 北京大学强基计划)已知,求 的最大值. 【解析】由,当且仅当 , 同向时取等号,故的最大值为 . 32 例9 (2022 全国高中数学联赛福建赛区预赛)如图9-7,点,分别在 的边 ,所在的直线上,且,,为线段的中点, 为线段 与的交点.若,则 的最小值为_. 图9-7 33 【解析】依题意有 . 因为,,三点共线,所以 . 所以,即 , 所以 , 故当,即, 时, 取得最小值,最小值为 . 34 名师点评 求得后,我们还可以如此求解(参加强基自招的同学学习) 由柯西不等式知, . 所以,当且仅当,即,, 时等号成立. 所以的最小值为 . 35 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 36 $