11.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.2 正弦定理 第11章 解三角形 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即 . 教材深挖 用正弦定理证明“大角对大边”——对教材第99页【练习】第4题的深挖 在中，设，所对的边分别为，，由正弦函数在区间， 上单调递 增可知： （1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知 ；#1.1.1.1 6 （2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即 ,所以,即,由正弦定理 知 ； （3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设为直角，则 ,所以 ,由正弦定理知 . 综上可知，在中，若,则.反之,若，则 也成立.#1.1.2 7 2 三角形面积公式（教材深挖：教材第102页第7题.） 若记的面积为，则 . 发散探讨 利用三角形面积公式证明正弦定理 在中，由三角形面积公式,得到 ,即 .上式同时除以,得到 ，即 . 8 3 正弦定理的常见变形 在中，由正弦定理可设，则 , , ，由此可得正弦定理的下列变形： （1）,,,,, ; （2） ; （等比定理） （3） . 9 知识剖析 的几何意义 事实上，比值的几何意义就是 外接圆的直径（证明见教材第102页【习 题11.2】第10题答案），即（为 外接圆的半径）， 以下是它的两种变形应用： （1）（边化角）,, ; （2）（角化边）,, . 10 典例详解 例1-1 ［教材改编P97例1］在中，角，，所对的边分别是,,,若 , , ,则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】由正弦定理,得,解得 . 11 例1-2 在中，，，，则 等于( ) C A.或 B. C. D. 【解析】由正弦定理，得.因为，所以 , 则,故 . 点评 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，利用正弦定理求出另一边 的对角的正弦值后，若该正弦值大于0且小于1，则需利用三角形中“大边对大角”判 断此角是锐角还是钝角，从而确定三角形的解. 12 例1-3 ［教材改编P102 T7（1）］中，，， ，则 的面积为( ) C A. B.3 C. D. 【解析】，， ， ． 13 例1-4 ［教材改编P101 T4］在中， ,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】利用正弦定理的变形（2），得 . 14 知识点2 正弦定理在解三角形中的应用 公式实际上表示了三个等式：， ， . 上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系,对于每一个等 式,都可以知三求一.于是利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知两角与任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边 和角）. 15 特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论: （1）三角形内角和定理 . （2）, . （3）在中，，; ； ;; . （4）若为锐角三角形，则,, ; , . 16 典例详解 例2-5 ［教材改编P101习题11.2 T1（1）］(2025·江苏省扬州市红桥高级中学期中) 在中，若 , ,，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在中， ,所以 , 由正弦定理得 , 所以 . 17 重难拓展 知识点3 对三角形解个数的探求 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,即当三角形的 两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. （因为互补的两角正弦值相等，所以需关注边的大小，从而判断三角形解的个 数） 因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的 情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明. 18 1 代数角度 （1）若 ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； （2）若 ，则满足条件的三角形的个数为1； （3）若 ，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由可得 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑 到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论. 19 特别提醒 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定. 不妨设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解. 若，则，由正弦定理得若，即 , 则无解；②若，即,则有一解；③若，即 , 则有两解. 20 2 几何角度（ 教材深挖：教材第103页第11题.） 角的类型 为锐角 条件 图形 解的个数 无解 一解 两解 一解 21 角的类型 为钝角或直角 条件 图形 解的个数 一解 无解 续表 22 典例详解 例3-6 下列对三角形解的个数的判断中正确的是( ) B A.,, ,有两解 B.,, ,有一解 C.,, ,有两解 D.,, ,无解 【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正确. 对于B，大边对大角，有一解，故B正确. 对于C，由，得 ，无解，故C不正确. 对于D，由，得，再结合及 可知有两解， 故D不正确. 23 例3-7 ［多选题］在中，角，，所对的边分别为,, ，已知满足 ,的三角形有两解，则 的取值可以为( ) CD A. B. C. D. 【解析】因为三角形有两解，所以即解得,则 的取值范围是 .结合选项可知C,D正确. 24 知识点4 解三角形问题的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个 角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的 （至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解. 关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型:#1.1 类型 一般解法 解的个数 已知两角及一 边，如,, （1）由 ,求出 ； （2）根据正弦定理及求， . 一解 25 类型 一般解法 解的个数 已知两边和它们 的夹角，如, , （1）根据余弦定理 ，求出边 ； （2）根据，求出 ； （3）根据，求出 . 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以 使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论 （因为正弦函数在区间 上是不单调的），可先求 较小边所对的角，它必是锐角. 一解 续表 26 类型 一般解法 解的个数 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常先求较小两边所对 的角，再由 求出第三个角. 也可先由余弦定理求出一个角，然后根据正弦定理求 出第二个角，最后由 求出第三个 角，但仍然是先求较小边所对的角. 一解 续表 27 类型 一般解法 解的个数 已知两边及其中 一边所对的角， 如，， （1）根据正弦定理，经讨论求 ； （2）求出后，由 求 ； （3）再根据正弦定理求出 . 也可以先根据余弦定理，列出关于 的一元二次方程 ，解一元二次方程，求 出 ，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. 两解、一 解或无解 续表 28 典例详解 例4-8 (2025·陕西省咸阳市高新一中质检)已知在中，,, ， 解此三角形. 【解析】 由 得 , ,或 . 当时，, , ; 当 时，由正弦定理得 ， , . 29 由正弦定理 ， 得 , 或 . 当 时， ， 由勾股定理得 ; 当 时，， . 30 点评 解三角形的过程中，求角时，用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判 断是锐角还是钝角，但计算比较复杂，用正弦定理计算相对比较简单，但要结合已 知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算较小的边所对 的角，避免讨论. 31 例4-9 (2025·广东省江门市新会一中月考)在中，,, ,那么 此三角形( ) C A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 【解析】 由正弦定理和已知条件，得, . , 此三角形无解. , , ，故此三角形无解. 作 ,,以为圆心， 为半径画圆（图略）， 该圆与 无交点，则此三角形无解. 32 题型解析 03 题型1 利用正弦定理解三角形 1 已知两角与任意一边解三角形 例10 ［教材改编P102 T2（1）］在 中，根据下列条件解三角形： （1）, , ; 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有 , 代入数据得到，（ 需熟记） 解得， . . . 34 （2） , , . 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有,代入数据得 ,解得 , . 35 名师点评 已知两角和任意一边时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全 等的判定定理 是一致的. 36 例11 在中,角,,所对的边分别是,,,,.若 最长 的边为1,则最短边的长为( ) D A. B. C. D. 37 【解析】在中,因为,,所以, , ,所以 ,所以 ,则最大,即最大（大边对大角），所以.又 最小,所以 最短的边为，易得,则由正弦定理可得 . . . 38 已知两角与任意一边解三角形的方法 事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解 三角形时， （1）由三角形内角和定理 （必要时可结合诱导公式）可以计算出 三角形的第三个角; （2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边. 39 【变式题】 1.在中，角,,所对的边分别是,,,, , ,则此三角形 的最大边长为_____. 【解析】根据题意可得 ,此三角形最大边长是，由正弦定理 ,得 ,解得 . 40 2.在中，若,,,则 ______. 【解析】由,得 . 由及,得 . 由题意知，,，由正弦定理 , 得 . 41 2 已知两边与其中一边的对角解三角形 例12 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形. （1）,, ; 【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三 角形无解. （2）,, ; 【解析】由正弦定理得，即 ，故三 角形无解. 42 （3）,, ; 【解析】由正弦定理得， , 又, , 三角形有一解. , , . 43 （4）,, . 【解析】由正弦定理得， ， 或 ，（【易错点】此处易忽略对的讨论，默认 为锐角，从 而造成漏解）均满足条件 ， 三角形有两解. 当 时， ， ; 当 时， , . 故 , ,或 , , . . . 44 已知两边及其中一边对角解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值； （2）若所求另一角的正弦值大于0且小于等于1，则当已知的角不是直角时，利用三 角形中“大边对大角”看能否判断另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对的 角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判 断，此时就有两组解，分别求解即可； （3）由三角形内角和定理求出第三个角； （4）根据正弦定理求出第三条边. 注意：已知两边和其中一边对角时，除了用正弦定理外还可以用余弦定理求解，先 利用余弦定理列出一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的角. 45 【变式题】 3.已知中，，，,则 的面积为_ __. 【解析】由,得,所以 . 根据正弦定理可得，解得 . 因为，所以,所以.（此处易忽略对的讨论，误认为或 ） 所以,所以 为直角三角形. 故 . . . . . . . 46 4.(2025·重庆市渝高中学校段考)在中，,,,则 等于 ( ) C A. 或 B. C. D. 【解析】由,得， ,由正弦定理得 .又 ，所以,故 . 47 3 运动变化下的解三角形问题 致敬经典 所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形只能局部可 解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函数的视角来看待 或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三角形的研究，重视从运动 变化视角来考查. 48 例13 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知 . （1）若,求 ； 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为，所以 . 49 （2）求 的最小值. 【解析】由（1）得 ， ,则,所以 所以 ， 且 , 所以, ， 所以，解得 . . . 50 由正弦定理得 ，当且仅当 时取等号， 所以的最小值为 . 51 题型2 利用正、余弦定理实现边角互化 1 利用边角互化解三角形 母题 致经典·母题探究 命题探源 条件中混有边角关系的问题 在解三角形问题中，有一类问题总是活跃在大家的眼前，使得众多同学“望洋兴叹”， 停滞不前，这就是解三角形与三角恒等变换的综合问题.对于此类问题，大多是边角 互化后基于三角形内角和定理 展开的，一般是通过正、余弦定理边 化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角 和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个 角的三角函数问题，从而求解. 52 例14 (2025·陕西省西安交通大学附属中学期中)已知,,分别为三个内角, , 的对边,，则 ( ) B A. B. C. D. 给什么得 什么 题目给出一个三角形背景下边角混合的恒等式，并且,, 是齐次的,因此 考虑利用正弦定理将等式中的边转化为角. 求什么想 什么 题目求的是角，观察等式结构，发现角和 都有好几处，只有一处跟 角有关，因此可利用三角形内角和定理将角替换为和 . 差什么找 什么 整个式子只含有和 的三角函数，通过三角恒等变换和三角形中角的范 围等条件将式子化简为只含有角的等式，即求得角 的值. 53 【解析】由正弦定理及 ， 可得 , 因为 ， 所以 ， 于是 ， 整理可得 . 即 . 因为，所以 , （【注意】不要随意约掉公因式，避免漏掉一些可能情况） 54 所以 ， 即，于是 . 又，所以，即 . 55 子题 (2025·山东省济南市期中)在锐角中，角，，的对边分别为，， ，且 ，则 __. 56 【解析】因为 ,所以 ,整理得 , 由正弦定理得， , 故 , 由为锐角,得 . 57 边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦 或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次 式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互 化，可使边角关系具体化. 58 【变式题】 5.的三个内角，，所对的边分别是,,，若，则角 的 大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】由正弦定理可将化为 ,整理可得 , 由余弦定理可得 , , . 59 2 判断三角形的形状 例15 在中，角，，所对的边分别为,, ， ，,则 是( ) D A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 思路点拨 题中条件既含边又含角，可利用正、余弦定理转化为边之间的关系或利 用三角恒等变换转化为角之间的关系，从而可判断三角形的形状. 60 【解析】 （利用边的关系判断） 由 可得 , . 又 , . , . 又, , ,, 为等边三角形. 61 （利用角的关系判断） ， . , , , . , , , ，即 . 62 又 , , . , , 为等边三角形. 名师点评 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形:一个方向是边， 走的是代数变形的途径，通常是正、余弦定理的综合应用；另一个方向是角，走的 是三角恒等变换的途径. 63 判断三角形形状的方法 从研究三角形边与边的关系或角与角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行边角 互化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，发现边与边或角与角的关系，从 而进行判断. 64 【变式题】 6.在中，已知角,,的对边分别为,, ，且 ,则 是( ) B A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 65 【解析】 （边化角） 因为 ， 所以由正弦定理得 ， 即，得 ， 所以 ，所以 为直角三角形. （角化边） 因为 ， 所以 . 根据余弦定理可得 ， 即 ， 所以 为直角三角形. 66 题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算 1 三角形面积的计算 例16 在中， ,,,则 的面积等于_____. 思路点拨 既可以先求出角度，再利用三角形的面积公式 求解；也可 以先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式 底×高求解. 67 【解析】 在中，根据正弦定理，得,即 ，解 得 . 因为 ,所以 ，所以 ， 所以的面积 . 在中，根据正弦定理，得，所以 ，解得 .因为 ,所以 ，所以 ， 所以的面积 . 68 与三角形面积有关的公式 1.（其中,,分别为边,, 上的高）. 2. . 3.（其中,分别为的内切圆半径及 的周 长）. 4.（其中为 外接圆的半径）. 5.海伦公式：其中 . 69 【变式题】 7.在中，角，，的对边分别为，，，，， ． （1）求的值及 ； 【答案】,所以 , 又，所以 , 因为 ,所以 , 而 , 所以 . 70 （2）求的面积及 边上的高． 【答案】因为 , 所以 , 因为,即 , 所以,解得或 , 又,所以,所以 , 设边上的高为,则,解得,所以 的面积 为28,边上的高为 . 71 2 解“共享”边、角的三角形 母题 致经典·母题探究 图11.2-1 例17 (2025·湖南省长沙市周南中学入学考试)如图11.2-1，在平面四 边形中，,, . （1）求 的值; 【解析】 中，由余弦定理得 . 72 （2）若,,求 的长. 【解析】设 ,则 . 因为， , 所以 , .于是 . 在中，由正弦定理得 , 故 . 73 子题 子题1 中，是上的点,平分,，则 __. 【解析】由正弦定理得, ①, ②. 因为平分， , 所以可得 . 74 名师点评 由本题结论，我们可以得出三角形内角平分线的性质：三角形两边之比等 于其夹角的平分线分对边之比，即若的角平分线与边交于点 ，则 .事实上，三角形外角平分线也有类似性质，即若的外角平分线 与 的延长线交于点，则 .（【教材链接】此结论链接教材第102页第9题） 75 图11.2-2 子题2 (2025·广东省汕头市期末)如图11.2-2，在中， , ,点在边上，且， . （1）求 ; 思路点拨 ，则可利用三角恒等变换求解； 【解析】在 中， 因为,所以 ， 所以 （利用了三角形角之间的关系） . . . 76 （2）求， 的长. 思路点拨由正弦定理求，由余弦定理求 . 【解析】 . （互补的两角正弦值相等） 在中，由正弦定理得 ,所以 . 在 中，由余弦定理得 ，所以 . . . 77 正、余弦定理是计算三角形中相关量的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找 相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边及三角形角的 关系时，要善于利用公共边及角的关系来进行过渡转化. 78 题型4 正、余弦定理与其他知识的综合应用 1 与三角函数综合 例18 在中，角,,所对的边分别为,,，且满足 . 79 （1）求 ； 思路点拨▶利用已知条件进行边角互化即可求 ； 【答案】 ,即 ,又 , . 由已知条件及正弦定理可得 , 即 , ,,又, . 80 （2）试求函数的最大值及取得最大值时 的值. 思路点拨▶化简 ,结合三角形内角和定理求最值. 【答案】 , 又,， , 当,即时，取得最大值,最大值为 . 81 2 与三角恒等变换的综合 例19 (2025·天津市南仓中学月考)在中,角,,所对的边分别为,, .已知 , . （1）求 的值; 【解析】由正弦定理,得,因为, , 所以 . （2）求 的值; 【解析】由正弦定理可得 ,不妨设 ,则, , 由余弦定理可得 . 82 （3）求 的值. 【解析】由（2）可知 , 则 , 所以, , 所以 . 83 3 与平面向量的综合 例20 (2025·江苏省无锡市天一中学月考)在中，，，分别为，， 的对 边，为的外心，且有， ， 若，，，则 ( ) A A.1 B. C.0 D. 【解析】 , ,即, ,可得 ,又, , , , , . 84 图11.2-3 如图11.2-3,为 的外心,（【知识回顾】三角形三边垂直 平分线的交点为三角形的外心） 为的中垂线，又 为等腰三角形，且 ,, 均为等边三角形. 若,则 , , 化为 ①. , ,化为 ②. . . 85 由①②解得, , . 在平行四边形中，,又 , ,, . 新考法 思维创新 例21 新定义 二倍三角形 定义：在 中，若其某一内角等于另一内角的二倍， 则称 为“二倍三角形”. （1）若为二倍三角形， ，，求 的面积. 【解析】为二倍三角形， ，若，则 ， 又，所以，所以的面积为 . 若，则 ， ，又，所以， ， 所以的面积为 . 同理可得若,则的面积为 . 综上，的面积为1或 . 87 （2）对于二倍三角形，，记，用含的代数式表示 的比. 【解析】因为为二倍三角形，， ，所以 ， ， 所以 ， 所以 . 88 （3）根据（2）的计算结果，是否存在三边长皆为整数的二倍三角形？若存在，举 出一例并验证；若不存在，则说明理由． 【解析】存在三边长皆为整数的二倍三角形，理由如下： 由（2）得 ， 设角,,的对边分别为,,,则，，（ 为常数）， 若存在三边长皆为整数的二倍三角形，则为大于0的整数，如， 时， ，， ， 89 即，， ,满足题意， 所以存在三边长皆为整数的二倍三角形． 素养提升 本题属于新定义加开放性试题,这样的试题在更大程度上帮助学生形成抽 象思维,让学生通过思维的发散,结合已有的知识经验,快速提高数学素养. 90 核心素养聚焦 考情揭秘 高考对正弦定理的考查主要涉及边角互化，除直接考查利用正、余弦定理解三角形 外，还常与三角恒等变换和几何图形中的相关计算相结合进行考查.另外，近些年的 高考中还出现了与解三角形相结合的开放性问题，应引起重视.题型有选择题、填空 题、解答题,命题难度中等. 核心素养:数学运算（求角、求边、求面积）,直观想象（画出图形，依据图形构建等 式或不等式）. 91 考向1 运用正、余弦定理解三角形 1 边角互化解三角形 例22 (2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,,，若 , ,则 ( ) C A. B. C. D. 92 【解析】由正弦定理得,因为，所以 . 由余弦定理得 ，所以 ，所以 ，所以 ， 又，，所以 . 93 例23 (2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若 ,且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以由正弦定理得 ，则.在 中， ，则, .（【另解】也可以根据余弦定理化简得出关于边的关 系式，即，得出 为直角） 所以 . 94 例24 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 , , . （1）求 的值； 【解析】第1步：求 的值 因为,所以由正弦定理可得 ,因为 ,所以,所以,所以 . 第2步：确定角 的值 又,所以 . 95 （2）求 的值; 【解析】第1步：由余弦定理求 因为,, , 所以由 , 可得 , 化简得，又，故 . 第2步：求 的值 由,得 . 96 （3）求 的值. 【解析】第1步：由正弦定理求 由正弦定理,得 , 解得 . 97 第2步：由同角三角函数的基本关系求 因为，所以 为锐角， . 第3步：由二倍角公式求和 ， . 第4步：利用两角和的正弦公式计算 所以 . 98 2 与面积有关的解三角形问题 例25 (2023·全国乙卷)在中，已知 ，， . 99 （1）求 ; 图11.2-4 【解析】如图11.2-4，由余弦定理得，得 . 由正弦定理 ， 得 . 由余弦定理得 ，所以 . （2）若为上一点，且 ，求 的面积. 【解析】 由，得 , 又，所以 ， 故的面积为 . 的面积为 ， ， 故的面积为 . 101 例26 (2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知 , . （1）求 ； 【解析】由余弦定理得 , 又 ， . , , 又 , . 102 （2）若的面积为，求 【解析】由（1）得 ， 由正弦定理，得（【扫清障碍】） ， . 的面积,解得 . . . 103 3 与解三角形有关的结构不良试题 例27 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， , . （1）求 ; 【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知， . 104 （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在, 求 边上的高. 条件 ; 条件 ； 条件的面积为 . 105 【解析】若选择条件 ， 由（1）知,所以 ， 又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①. 若选择条件 ， 则，,此时 存在. 设边上的高为，则，即边上的高为 . 若选择条件的面积为 ， 106 因为 ， 所以 .由余弦定理可得 ，所以 . 设边上的高为 ， 则，得 ， 即边上的高为 . 命题 探源 结构不良试题区别于传统试题，题目给出2或3个可选条件，填入空中，然 后进行解答，选的条件不同，解答的难易度不同，得出的答案也可能不同. 107 变式探源(新高考全国Ⅰ卷)在,, 这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存 在，说明理由. 问题：是否存在，它的内角,,的对边分别为,,,且, , ________? 108 【解析】方案一 选条件①. 由和余弦定理得 . 由及正弦定理得 . 于是,由此可得 . 结合,解得, . 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 . 109 方案二 选条件②. 由和余弦定理得 . 由及正弦定理得 . 于是，由此可得,， . 因为,所以, . 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 . 110 方案三 选条件③. 由和余弦定理得 . 由及正弦定理得 . 于是，由此可得 . 因为与 矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 111 考向2 解三角形与三角恒等变换的综合 例28 ［多选题］ (2025·全国一卷)已知的面积为 ， ， ,则( ) ABC A. B. C. D. 112 【解析】 ， （发现所给式子中有, ，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形） 所以 ，故A正确. 令,,,则（为 的外接圆半径）,由 ,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨 论） 若,则角为锐角，则,即 ，则 ,所以 ,矛盾. 113 故,即，所以 ,又 ,所以 .因为 ,所以,所以 ,所以 ,所以 ，故B正确. , 所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以 利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断） ，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用 勾股定理即可判断） 114 例29 (2024·新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知 . （1）求 ; 【解析】 （辅助角公式） 由，得 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以，故 . 115 （同角三角函数的基本关系） 由 ， 又，消去 得， ， 解得，又，故 . 116 （2）若,，求 的周长. 【解析】由和正弦定理得， ， 又,，则，进而，得到 ，于是 ， 所以 , （【注意】解答题需写出 的计算过程） 由正弦定理 ， 可得，解得, ， 故的周长为 . . . 117 例30 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在中，， . （1）求 ; 【解析】在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 易得,所以 ， 又，所以 . 118 （2）设,求 边上的高. 【解析】由（1）知，，所以为锐角，所以 ， 所以 ， 由正弦定理 ， 得 ， 故边上的高为 . （【另解】利用正弦定理求出，利用余弦定理求出,通过等面积法，求出 边 上的高） 119 命题探 源 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系、诱导公式等基础知 识，是高考高频考点. 素养探 源 素养 考查途径 逻辑推理 利用正弦定理进行边角互化，利用同角三角函 数的基本关系、诱导公式等进行恒等变换. 数学运算 运用正、余弦定理解三角形. 120 变式探源 (2023·全国甲卷)记的内角，，的对边分别为，，，已知 . （1）求 ； 【解析】由余弦定理知，代入，得，故 . 121 （2）若，求 面积． 【解析】由正弦定理及 ， 得 ， 化简得 . ， ， ， ， . 122 ，， . , . 由（1）知 ， 故的面积 . 123 高考新题型专练 1.[多选题](2025·江苏省东台市期中)符合下列条件的 有且只有一个的是 ( ) AC A.,, B.,, C., D.,, 【解析】对于A，由正弦定理得,所以 ， 又,所以 ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于B， ,构不成三角形； 对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形. 124 2.新考法 结构不良 (2024·北京)在中,内角,,的对边分别为,,, 为钝角, ， . （1）求 . 【答案】由题知， . 又为钝角，所以 为锐角， 故，所以.又，所以.又 为 钝角,所以 . 125 （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在， 求 的面积. 条件①： ； 条件②： ； 条件③： . 126 【答案】若选①，结合（1）得,所以，, , 则 不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知 ， 又，即，所以 . 又 ，所以 . 127 所以 . 若选③，由题知，所以 . 由得，,即 ,解得 （负值舍去）. 所以 . 128 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.(2025·山东省青岛第二中学期中)在中，，，，则角 等 于( ) D A. B. C. D.或 【解析】,,, 由正弦定理,可得 ,得 .,则或 ,故选D. 130 2.在中，已知，则 等于 ( ) A A.3:5:7 B.7:5:3 C.6:5:4 D.4:5:6 【解析】因为,所以不妨设则 , ,,所以,即 .故选A. 131 3.在中，内角，，的对边分别是,,.若 , ,，则 ( ) B A. B.1 C. D. 【解析】由条件及正弦定理可得,即,所以 .又 ，所以 . 由得，所以 . 132 4.［多选题］(2025·湖南省永州市检测)在中，角，，的对边分别为 ， ，．若为锐角三角形，且满足 ， 则下列等式成立的是( ) AC A. B. C. D. 133 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ，整理可得， ， 因为为锐角，所以，所以 ， 由正弦定理可得， ， 由三角形的大边对大角可得， . 故选 ． 134 5.设的内角，，的对边分别为,,.若,,,则 ___. 1 【解析】由,得或 . 因为,所以舍去，即,于是 . 由正弦定理，得,所以 . 135 图11.2-1 6.如图11.2-1所示，已知在四边形中，， ， ， ， ，求 的长． 【答案】设，在 中，由余弦定理得 ， 即 ， ，舍去，即 . 在中，由正弦定理得 ， . 136 高考模拟 05 建议时间：35分钟 7.在中，角,,所对的边分别为,,,若, ,则 的面积是( ) D A. B. C.4 D. 【解析】在中， , 所以,所以 . 又为的内角,所以 . 又，所以,得 . 故的面积 . 138 8.(2025·山西省晋城市期中)在中，,,分别为内角,, 所对的边，且满足 ，，则 的形状是( ) C A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】在中，，，分别为内角，，所对的边， ,则 ,整理得,由于 ,所以 ,则 ,由于,故,所以 为等边三角形. 139 9.在中，,,是角,,的对边，已知, ，则以下判断错误的是 ( ) D A.的外接圆的面积是 B. C. 可能等于14 D.作关于的对称点,则的最大值是 140 【解析】对于选项A，由正弦定理知，为 外接圆的半 径, , 的外接圆的面积为 ,故选项A正确; 对于选项B, , , , ,故选项B正确; 141 对于选项C,由余弦定理知, , , ,当且仅当 时，等号成立，故选项C正确; 对于选项D,设的边上的高为 , , , ,的最大值是 ,故选项D错误. 故选D. 142 10.［多选题］(2025·江苏省南通市第一中学检测)对于 ，下列说法中正确的是 ( ) CD A.若，则 为等腰三角形 B.若，则 为直角三角形 C.若，则 为钝角三角形 D.若,, ,则的面积为或 143 【解析】对于选项A,若,则或 ,所以 或 ,即 为等腰三角形或直角三角形，所以A错误. 对于选项B,例如 , ,满足,但 不是直角三角形， 所以B错误.（验证某一结论错误，只需举一反例即可） 对于选项C,由正弦定理及知 ,所以 ，所以为钝角， 为钝角三角形，即C正确. 144 对于选项D,由正弦定理知，,即,所以 ,因为 ,所以 或 . 当 时，为直角三角形，且 ,所以 ;当 时，为等腰三角形, ,所以 . 综上所述，的面积为或 ,所以D正确. 故选 . 145 11.(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角平分 线交于,则 ___. 2 【解析】由余弦定理得,整理得,得 . 又 ，所以 , 所以 . 146 12.在中，满足条件，，，则 ___，的面积等于____ . 【解析】由，得，则 . 由得，所以 ， 则，的面积 ． 147 图11.2-2 13.(2025·广东省茂名市第一中学月考)在中，角，， 的对边分别为,,.已知,, . （1）求 的值； 【答案】在中，因为,， , 由余弦定理 ，得 ,所以 . 在中，由正弦定理,得 , 所以 . 148 （2）在边上取一点（如图11.2-2），使得,求 的值. 【答案】在中，因为，所以 为钝角, 而 ，所以 为锐角. 故，则 . 因为,所以 , . 从而 . 149 14.新考法 结构不良 在中， ． （1）求 . 【答案】在中， ,由正弦定理得, , 因为,所以,所以 , 因为,所以 . 150 （2）求 的最大值． 【答案】因为,所以,所以,且 , 所以 , 所以当时， , 即 的最大值为1. 151 （3）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 存在 且唯一确定，求 的面积． 条件①：；条件②：；条件③： ． 【答案】选条件①②:在中，,, , 由正弦定理得,,所以 , 因为,所以必为锐角，所以 , 所以 , 所以这样的三角形不存在. 152 选条件①③：在中，,, , 由得, , 解得 . 所以,满足,即 为直角三角形，这样的三角形存在 且唯一. 此时， . 选条件②③:在中，,, . 153 由正弦定理得, , 由得, , 解得舍去 , 因为,, ,满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边, 故这样的三角形存在且唯一, 此时, . 154 15.在等边三角形中，为内一点，且 ，则 的最小值为_ __. 图D 11.2-1 【解析】如图D 11.2-1，将绕点顺时针旋转 到 处，易知与全等，所以 . 连接，易得 为等边三角形， 所以 ,所以 . 在 中，应用正弦定理可得 ,当且仅当 时取等号，又 ，所以的最小值为 . 155 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 156 $