11.2 正弦定理（4个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

11．2 正弦定理 课程标准 学习目标 （1）学生能证明正弦定理，能掌握正弦定理； （2）能初步运用正弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题； （3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索． （1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. （2）掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． （3）了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. （4）理解三角形面积公式及解三角形的含义. 知识点01 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【即学即练1】已知， ，，解三角形． 知识点02 正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【即学即练2】（2024·河北邯郸·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 三角形面积公式 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积． 【即学即练3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 知识点04 仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 【即学即练4】（2024·河南商丘·高一校联考期末）地面上一名观测工作人员，观测到一架飞机以的速度在某一高度向正东方向飞行，在观测点上第一次观测到飞机在北偏西方向，1分钟后第二次观测到飞机在北偏东方向，仰角为，则飞机的飞行高度为 （结果保留根号）. 题型一：已知两角及任意一边解三角形 【典例1-1】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B．5 C． D． 【方法技巧与总结】 （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 【变式1-1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【变式1-3】记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 【典例2-1】在中，若，则B为（    ） A． B．或 C． D．或 【典例2-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【方法技巧与总结】 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． （2）用三角形内角和定理求出第三个角． （3）根据正弦定理求出第三条边． 其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【变式2-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【变式2-3】在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 题型三：三角形形状的判断 【典例3-1】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【典例3-2】在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【方法技巧与总结】 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【变式3-1】在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式3-2】中，角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式3-3】在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型四：三角形面积公式及其应用 【典例4-1】已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【典例4-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【方法技巧与总结】 对于面积公式，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知角A就选，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条件（如已知条件中角的大小）选取对解题有利的面积公式．如已知a，c，就以选为宜． 【变式4-1】在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【变式4-2】记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【变式4-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 题型五：判断三角形解的个数 【典例5-1】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 （2）通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养． 【变式5-1】已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-3】已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 【典例6-1】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 ． 【典例6-2】鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有神奇的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以正三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间正三角形的面积为 . 【方法技巧与总结】 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 【变式6-1】两根无弹性的绳子把物体吊在水平杆子上，．已知物体的重力大小为20，且，则当 时，绳承受的拉力最小． 【变式6-2】将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 【变式6-3】克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 1．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 6．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角的对边分别为，，，已知，，为钝角，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 9．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 10．（多选题）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 11．（多选题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 12．在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 13．在中，若，且，则的周长为 . 14．在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 15．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 16．梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 17．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11．2 正弦定理 课程标准 学习目标 （1）学生能证明正弦定理，能掌握正弦定理； （2）能初步运用正弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题； （3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索． （1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. （2）掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． （3）了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. （4）理解三角形面积公式及解三角形的含义. 知识点01 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 【即学即练1】已知， ，，解三角形． 【解析】因为，且，， 所以，， 而， 所以. 知识点02 正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 【即学即练2】（2024·河北邯郸·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理知：得. 故选：B 知识点03 三角形面积公式 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积． 【即学即练3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【解析】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 知识点04 仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 【即学即练4】（2024·河南商丘·高一校联考期末）地面上一名观测工作人员，观测到一架飞机以的速度在某一高度向正东方向飞行，在观测点上第一次观测到飞机在北偏西方向，1分钟后第二次观测到飞机在北偏东方向，仰角为，则飞机的飞行高度为 （结果保留根号）. 【答案】/ 【解析】设点C是观测点，点A，B是飞机被观测的起止位置，点E，F是飞机在地面上的射影， 已知（km），， 设CD是正北方向，则，，， 则，. 在△CEF中，由正弦定理知，， 即，解得. 在直角三角形BFC中，. 故答案为： 题型一：已知两角及任意一边解三角形 【典例1-1】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 【典例1-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】由于，故为锐角，故, 故 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 【变式1-1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，所以为钝角，所以， 由正弦定理得. 故选：D 【变式1-2】在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由，， 所以，所以， 又， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故选：D. 【变式1-3】记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 由正弦定理可得，又， 所以， 故选：A. 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 【典例2-1】在中，若，则B为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由，又且， 所以或. 故选：B 【典例2-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【解析】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 【方法技巧与总结】 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． （2）用三角形内角和定理求出第三个角． （3）根据正弦定理求出第三条边． 其中进行（1）时要注意讨论该角是否可能有两个值． 【变式2-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 【变式2-2】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A 【解析】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 【变式2-3】在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 题型三：三角形形状的判断 【典例3-1】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 【典例3-2】在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得，， 解得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②． 【变式3-1】在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以，由正弦定理可得， 所以为直角三角形. 故选：C 【变式3-2】中，角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【解析】由正弦定理得， 因为在中，则， 则， 即， 即， 因为，则当时，即时，上式成立，此时为直角三角形； 当时，即时，则有， 因为，则，此时为等腰三角形； 综上，为等腰三角形或直角三角形. 故选：B. 【变式3-3】在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 题型四：三角形面积公式及其应用 【典例4-1】已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【解析】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； （2）因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 【典例4-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【解析】（1）由正弦定理得， 因为， 所以，解得， （2）由，得， 再由面积，得， 根据余弦定理得，解得 【方法技巧与总结】 对于面积公式，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知角A就选，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条件（如已知条件中角的大小）选取对解题有利的面积公式．如已知a，c，就以选为宜． 【变式4-1】在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）由，得， 因为 ，所以, 则有： 移项可得： 因为 ， 所以. （2）因为 ，所以 ， 由（1）知 ，且 ， 则：，即， 整理得，即， 解得 或 因为，，则角是锐角． 由知，，C为锐角，则 ， 所以 ，则，那么 ， 根据 以及，可得： 由正弦定理 以及已知可得：， 的面积. 【变式4-2】记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【解析】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，或. （2）由 得， 又，所以. 由（1）得，故， 而为三角形内角，. 由正弦定理，得， 故的面积. 【变式4-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 所以， 因为，所以； （2）因为的角平分线为AD，所以 ， 因为 ， 所以， 因为，，所以， 化简可得，解得， 所以 题型五：判断三角形解的个数 【典例5-1】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 【典例5-2】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 一解 一解 一解 无解 无解 一解 无解 无解 两解 一解 无解 （2）通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养． 【变式5-1】已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 【变式5-2】在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 【变式5-3】已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使得有两组解，则，又，得到， 故选：D. 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 【典例6-1】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 ． 【答案】54m 【解析】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 【典例6-2】鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有神奇的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以正三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间正三角形的面积为 . 【答案】 【解析】设中间正三角形的边长为， 则有，解得， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 【变式6-1】两根无弹性的绳子把物体吊在水平杆子上，．已知物体的重力大小为20，且，则当 时，绳承受的拉力最小． 【答案】 【解析】作出示意图如图所示，设与物体的重力平衡的力对应的向量为， 则，以为对角线作平行四边形，其中，分别在上， 则是绳承受的拉力大小． 由，得，所以． 在中，由正弦定理得，即， 可得，又， 所以当承受的拉力最小时，. 故答案为：. 【变式6-2】将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 【答案】 【解析】由题可知， 设，则，， 由余弦定理， 则， 解得，∴，， 则，，. 由可得：， 则，解得， 则，所以. 故答案为： 【变式6-3】克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 因为，可知点到直线的距离， 可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线， 在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上， 取，则；取，则； 取，则；取，则； 可知点A在劣弧或上，且与的夹角， 所以四边形面积. 故答案为：2；. 1．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】锐角中，内角，，的对边分别为，，， 由正弦定理可得，所以，整理得， 所以，由于，所以， 又，利用正弦定理：得：，， 又为锐角三角形，故， 所以 ， 由于，故， 所以. 故选：D 3．由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 4．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 5．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 若为锐角，则由， 所以， 此时 ， 因为，所以，所以为钝角，可得， 因为，所以为最小角，边长最小， 由正弦定理得，解得； 若为钝角，则由， 所以， 此时 ，因为，所以为钝角， 这样内角和大于，故不是钝角， 综上所述，. 故选：A. 6．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 7．在中，内角的对边分别为，，，已知，，为钝角，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由正弦定理可得， 且，即，则， 且为钝角，则， 又因为，即， 由余弦定理可得， 即，解得. 故选：C. 8．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【答案】A 【解析】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 9．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 【答案】BC 【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 11．（多选题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 【答案】AB 【解析】对于A，因为， 所以， 所以，， 所以 ，， 又因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以当时，则有，， 又因为，， 所以， 所以为直角三角形，故B正确； 对于C，当为锐角三角形时， 则有，解得，故C错误； 对于D，当为锐角三角形时，由C可知， 所以， 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以， 即，故D错误. 故选：AB. 12．在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【解析】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 13．在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【解析】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 14．在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 【答案】/0.5 【解析】因为， 在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）所以的面积为． 故答案为：. 15．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【解析】（1）由，得，即且，则. （2）因为，所以，解得， 由余弦定理得， 所以，所以的周长为. 16．梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 【解析】（1），，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． （2）， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 17．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选①：由得， 即，因为，所以． 选②：由正弦定理得得，因为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 选③：由题意得，得． 因为，所以． （2）因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，． 则面积． 当时，，所以．又因为，所以． 则面积． 综上所述，的面积为或． 18．在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 【解析】（1），， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. （2），，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$