10.3 几个三角恒等式课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.3 几个三角恒等式 第10章 三角恒等变换 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 积化和差、和差化积公式 1 积化和差公式 （1）和 两边相加得 , 即 ①. 类似地，和 两边相减，可得 ②. 6 （2）和 两边相加，可得 ③. 和 两边相减，可得 ④. 公式①②③④中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函 数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 7 2 和差化积公式 在积化和差的公式中，如果令 , ,那么, .把 , 的值代入积化和差公式 ,就有 ,所以,把 , 换 成 , ，就有 ⑤, 同样可得 ⑥, ⑦, ⑧. 公式⑤⑥⑦⑧中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角 函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 8 典例详解 例1-1 下列关系式中正确的有____（填序号）. ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ . ⑤ 9 【解析】①右边应是 ， ②右边应是 ， ③右边应是 ， ④应是 , ⑤正确. 10 例1-2 ［教材改编P77 T1（4）］ _ _. 【解析】 . 例1-3 ［教材改编P76例1］函数 的最小值是____. 【解析】 ， . 11 知识点2 半角公式 1 半角公式 ，, . 当 所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况， 应保留“ ”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 12 知识剖析 半角公式的推导 . . . 特别提醒 1.有了半角公式，只需知道 的值及相关的角的条件便可求出 的正弦 值、余弦值、正切值. 2.对于和,,但是使用时，要保证 . 13 3.半角公式根号前符号的确定规律如下： （1）当给出的角是某一象限的角时，可根据如表所示确定半角的函数值的符号. 第一象限 第一、三象限 ， ， 第二象限 第一、三象限 ， ， 第三象限 第二、四象限 ， ， 第四象限 第二、四象限 ， ， （2）当给出角 的范围（即某一区间）时，可先求的范围,再根据 的范围来 确定各函数值的符号. （3）若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号. 14 2 半角正切公式的有理化 借助同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可以得到： , ,即 . 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式. 15 典例详解 例2-4 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 是第一象限角，所以 ,符号是确定的，由半角的余弦公 式可知 . 16 例2-5 ［教材改编P79 T2］已知，，求，， . 【解析】 ， ， ， ， ， ， . 17 例2-6 设 , ,,则,, 的大小 关系为__________. 【解析】由已知可得 ,,,所以 . 例2-7 求值： ________. 【解析】原式 . 点评 本题应用公式求解的好处在于避免了对“ ”的讨论. 18 重难拓展 知识点3 万能公式 ; ; . 由以上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三 角函数值，因此以上公式称为万能公式. 19 教材链接POINT 万能公式是对教材第79页例4的探究及总结. 特别提醒 （1）使用万能公式的前提是保证每个式子都有意义. （2）万能公式的好处在于把三角函数式转化为用 表示的式子，若设 ,则 的三角函数式可转化为关于 的代数式. 20 典例详解 例3-8 ［教材改编P79 T3］已知 是第二象限角，,则 ______. 【解析】 是第二象限角， , ， 可得, . . 21 题型解析 03 题型1 求值 1 给值求值 例9 求值： . 【解析】 . 23 例10 求 的值. 思路点拨 将式子乘以 ，构造积的形式，然后利用积化和差公式展开， 即可达到求值的目的. 【解析】 . 名师点评 对形如 及 的式子，可以乘以 ，再逐 项积化和差，依次将各项一拆为二，以达到消项的目的. 24 2 条件求值 例11 已知,且 为钝角，则 __. 【解析】由 是钝角，即 ,得 , ,, , . 25 例12 已知 ①， ②,则 的值为___. 【解析】将①②两式左边分别和差化积，得： ③， ④. 由③④，得，于是，得 , 故 . 26 易错警示 由于思维定式,我们看见①②就容易联想平方，从而产生以下错解： 由,得 , . 由,得 . , , 把代入上式，得 , . 事实上，以上错解中所用解法不恰当，导致最后出现两个值，认为 没有范 围限制，没有对所得的两个值进行讨论验证. 27 题型2 三角函数式的化简与证明 例13 化简： . 【解析】原式 . 28 例14 求证： . 【解析】 （弦化切） 右边 左边, 所以等式成立. 29 （切化弦）左边 右边， 所以等式成立. （弦化切）右边 左边,所以等式成立. 30 题型3 三角恒等变换在三角形中的应用 例15 已知在中，，求证： 是直角三角形. 【解析】 在中， ， . 利用和差化积公式，得 , （由二倍角公式可得） , 显然,故 , . . 31 两边平方，得 , 即 , ， ，即或 ． , 是三角形的内角，故必有一个为直角， 是直角三角形． 名师点评 本题条件中没有边的关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两 个角互余. 32 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.利用积化和差公式化简 的结果为( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 34 2.已知 ，且，则 的值为( ) D A.3 B.2 C. D. 【解析】， . 又 ， ， . 35 3. 的值是( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 36 4.［教材改编P81 T6］ 若, ,则 等于 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以 . 因为,所以, ， 所以 , ， 所以.所以 . 37 5. 化为积的形式是_____________. 【解析】 . 6.已知,则 的值为__. 【解析】, . 38 7.已知.求证： . 【答案】, , , , , . 39 8.已知实数,满足，，求, . 【答案】已知 ①, ②. ①式两边分别平方得 ③， ②式两边分别平方得 ④. 由得 , . 40 由和差化积公式得 , 则 . 由得 ， . 由及和差化积公式得 ⑤. 由及和差化积公式得 ⑥. 由得 . 由万能公式得 . 41 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.已知, ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由 ，得 . 因为，所以, ， 所以 ，又 ， 联立解得，所以 . 43 10.在中， ，则此三角形的形状是( ) C A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 ， ， ， ，即,则 ， ， . 故此三角形为直角三角形. 44 11.[多选题] (2025·江苏省南京市金陵中学期末)如图10.3-1，已知 ， 两点在单位圆上，且都在第一象限，点是线段 的中点， 点是射线与单位圆 的交点，则( ) ABD 图10.3-1 A. B. C. D. 45 【解析】不妨设 ， 对于选项A， ， 即选项A正确； 对于选项B， ，即选项B正确； 对于选项C，由题意可得，则 ，即选项C错误； 对于选项D， ， 即，即选项D正确.故选 ． 46 12.已知函数，， ,，则 __， __. 【解析】由题意知, ， , 又 ， ， 47 则 ， ， 即 ， 又 ,， . 48 13.求函数 的周期、值域、单调 区间. 【答案】 , 所以的周期 ,值域为，单调递减区间为 ,单调递增 区间为 . 49 14.已知，，是的三个内角， ,若任意交换两个角的 位置， 的值是否变化？证明你的结论. 50 【答案】任意交换两个角的位置， 的值不变，证明如下. ，，是的三个内角， , , . 故任意交换两个角的位置， 的值不变. 51 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 52 $