10.3几个三角恒等式课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过三级分层设计，以基础公式应用为起点，逐步过渡到综合问题解决与拓展探究，构建“概念理解—运算强化—创新应用”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|半角公式、二倍角公式、周期计算等基础应用|6道选择/填空/解答题，聚焦单一公式直接应用，如已知cosα求sin(α/2)，强化基本运算能力| |B级|三角形恒等式、公式逆向化简、命题判断等综合应用|7道题含多选/证明，如△ABC中sinAsinB与cos²(C/2)关系推导，培养推理意识与逻辑思维| |C级|切比雪夫多项式、实际问题（如锐角α计算）等拓展探究|2道探究题，通过cos4x多项式表示及sin18°推导，发展创新意识与数学建模能力|

10.3　几个三角恒等式 A级 基础达标练 1.已知cos α=,α∈,则sin 等于(　　) A. B.- C. D. 2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为(　　) A. B.- C.± D. 3.(2025启东期中)设5π<θ<6π,cos =a,则sin 等于(　　) A. B. C.- D.- 4.计算:=　　　　　.  5.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期为　　　　　.  6.已知tan α,tan β是一元二次方程x2-4x-2=0的两个根,且0<β<α<π,求tan 的值. B级 能力提升练 7.若3π<x<4π,则=(　　) A.cos B.-cos C.sin D.-sin 8.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则下列等式中一定成立的是(　　) A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C 9.(2025新海检测)若sin 74°=m,则cos 8°=(　　) A. B.± C. D.± 10.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是(　　) A.∃x∈R,sin2+cos2 B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y C.∀x∈[0,π],=sin x D.若sin x=cos y,则x+y= 11.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　　,sin-cos=　　　　　.  12.化简:=　　　　.　  13.设cos(x+y)sin x-sin(x+y)cos x=,且y是第四象限角,求tan 的值. C级 拓展探究练 14.若锐角α满足·tan 10°+,则角α的度数为　　　.  15.公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为关于cos x的二次多项式.对于cos 3x,我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x　 =(2cos2x-1)cos x-2(sin xcos x)sin x =2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x =4cos3x-3cos x. 可见cos 3x可以表示为关于cos x的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cos nx=Pn(cos x),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式. (1)请求出P4(t),即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x; (2)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x,求出sin 18°的值. 10.3　几个三角恒等式 1.A　∵α∈,∴,∴sin . 2.C　因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±. 3.D　∵5π<θ<6π,∴, ∴sin =-=-. 4.. 5.π　f(x)=sin2x+sin xcos x+1=sin 2x+1=(sin 2x-cos 2x)+sin2x-+,∴T==π. 6.解 由已知得tan α+tan β=4,tan αtan β=-2, ∴tan(α+β)=. ∵tan(α+β)=, ∴3tan =2-2tan2, 即2tan2+3tan -2=0,∴tan 或-2. 又0<β<α<π,tan α+tan β=4>0,tan αtan β=-2<0, ∴tan α与tan β异号, ∴tan β>0,tan α<0,且|tan β|>|tan α|, ∴<α<π,0<β<,∴<α+β<,∴,∴tan =-2. 7.C　因为3π<x<4π, 所以<2π,所以sin<0,cos>0. 于是=cos+sin =cos-sincossin =sin. 8.A　∵cos2cos(A+B) =(cos Acos B-sin Asin B), ∴cos Acos B+sin Asin B=. ∴cos(A-B)=1. ∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π, ∴A-B=0,∴A=B. 9.C　∵sin 74°=m=cos 16°,∴cos 8°=.故选C. 10.BC　因为sin2+cos2=1≠,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,所以B为真命题;因为sin x=,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠,所以D为假命题. 11.　因为θ∈(π,2π),所以, 所以sin, cos=-=-, 所以sin+cos,sin-cos. 12.tan 　原式==tan . 13.解 因为cos(x+y)sin x-sin(x+y)·cos x=, 所以sin y=sin [(x+y)-x]=sin(x+y)cos x-cos(x+y)sin x=-. 因为y是第四象限角,所以cos y=, 由半角公式得tan =-=-. 14.50°　原式可化为-2=2tan 10°⇒=2+2tan 10°⇒sin α==cos 40°=sin 50°.因为α为锐角,所以α=50°.故答案为50°. 15.解 (1)cos 4x=cos(2×2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4x-8cos2x+1. (2)∵sin 36°=cos 54°, ∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°, ∴4sin218°+2sin 18°-1=0, ∴sin 18°=. 学科网（北京）股份有限公司 $