10.3 几个三角恒等式课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.3　几个三角恒等式 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.能运用两角和与差的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　积化和差公式 (1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; (3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; (4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 知识点二　和差化积公式 (1)sin α+sin β=2sincos; (2)sin α-sin β=2cossin; (3)cos α+cos β=2coscos; (4)cos α-cos β=-2sinsin. 知识点三　半角公式与降幂公式 (1)半角公式 sin=±; cos=±; tan=±; tan. (2)降幂公式 sin2α=; cos2α=; tan2α=. 【拓展】万能公式:设tan=t,则sin α=,cos α=,tan α=. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)半角公式对任意角都适用.(　　) (2)cos.(　　) (3)对于任意角α,sinsin α都不成立.(　　) × × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】积化和差、和差化积公式的运用 例 1 [链接教材例1、例2]求下列各式的值: (1)cos 29°cos 31°-cos 2°; 解 cos 29°cos 31°-cos 2° =[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2° =cos 60°+cos(-2°)-cos 2°= (2)cos+cos-2sincos. 解 cos+cos-2sincos =2coscoscos =2coscoscoscoscos=0. 题后反思　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数先化为某个角的三角函数,然后化积,有时函数不同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来. 跟踪训练1 若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)=(　　) A.-m B.m C.- D. A 解析 sin(α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-2cos2β)=-m.故选A. 【题型二】运用半角公式求值 例 2 [链接教材例3]已知<θ<3π,且sin θ=,求sin ,cos ,tan ,cos 的值. 解∵<θ<3π,且sin θ=, ∴cos θ=-=-,且, ∴sin =-=-=-, cos =-=-=-, ∴tan 又, ∴cos =-=-=- 题后反思　利用半角公式求值的思路 (1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2,cos2计算. (4)下结论.结合(2)求值. 跟踪训练2 已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos的值. 解 ∵α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=, ∴cos α=-,cos β= ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= <α<π,0<β<,∴0<α-β<π,即0<, ∴cos 【题型三】运用半角公式化简(证明) 例 3 [链接教材习题10.3,T4](1)化简,α∈(,2π). 解∵<α<2π, ∴ =|cos α|=cos α, 又∵ <π, ∴ =|sin|=sin, ∴原式=sin (2)求证: . 证明 左边= = 右边=,所以左边=右边,即等式成立. 题后反思　三角恒等式的化简与证明的策略 (1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低次,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤: ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 跟踪训练3 化简:(0<α<π). 解 因为tan,所以(1+cos α)·tan=sin α. 又因为cos=-sin α,且1-cos α=2sin2, 所以原式==- 因为0<α<π,所以0<,所以sin>0, 所以原式=-2cos $