10.2 二倍角的三角函数课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.2 二倍角的三角函数 第10章 三角恒等变换 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点 二倍角的三角函数 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 倍角公式 简记符号 正弦 余弦 正切 6 其中，公式 还可以变形为 , . 说明 以上这些公式都叫作倍角公式.这里的“倍角”,实际上专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名称时，“三”字等不能省去. 7 特别提醒 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. （2）也可以通过 推得. （3）对于和,,但是在使用时，要保证分母且 有意义，即且且 . （4）一般情况下， , , . 8 2 倍角公式的变形 （1）倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . （3）因式分解变形 . 9 （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ； ； . 10 典例详解 例1 ［教材改编P70 T3］ 已知，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 11 例2 ［教材改编P69 例1］ 已知,,则___, ___, ___. 【解析】, , , . , , 于是，.也可先求 ，再用二倍角公式求 . . 12 例3 已知,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】（ ）（注意诱导公式在角度转 化中的作用.）（ ）（注意诱导公式在角度转化中的作用.） . . . . . 13 题型解析 03 题型1 利用倍角公式求值、求角 1 给角求值 母题 致经典·母题探究 命题探源 连乘式求值问题 本题是倍角公式应用的经典题型，解题时通过观察角度间的关系，发现其特征 （二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子、分母中的角是互补（余）的关系， 从而求得最终的结果. （此处是对教材第74页习题10.2第8题的深挖） 例4 求值： . 15 16 【解析】 原式 （分子、分母再乘以 ,是为逐次逆用二倍角公式作准备） . 设原式, , 则 由于,故 . 17 名师点评 方法1通过添加一个正弦值，即可逐次逆用二倍角公式求值.方法2称为配 对法，即通过给每一个余弦值配对，逆用二倍角公式，观察目标式中各角之间的关 系特征，问题的一般化结论为：… . 18 子题 _ __. 【解析】 原式 . 原式 . 19 对于给角求值问题，需观察题中角之间的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角 的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数 基本关系对已知式进行转化. 20 【变式题】 1.求值： . 【答案】 原式 . （利用配对法） 设原式 , , 则 , 因为,所以 . 21 2 给值求值 例5 (2025·山东省聊城第一中学月考)已知,,则 的值为_____. 【解析】 （将角 视为整体，再利用倍角公式） ， 其中 , . ,（注意该条件的限制,否则会出现多解的情况） , . . 22 , . 注意到 ，故可利用二倍角的余弦公式求解. 原式联想与的关系，,而与 的三角函 数值可利用诱导公式求解 . . 23 由分母中“”，联想到 ，而其中的角正是“ ” . , , , 24 , . 又 ， 原式 . 25 对所求的式子先化切为弦，再利用 原式 ①. 由已知可得 ②， , , 故 . 由②可求出 ③. ④，将②③④代入①得， 原式 . 26 名师点评 本题中的角“”与“ ”的变换方法还有其他的形式： ； ； . 27 解决给值求值问题的思路 已知 或的某个三角函数值，求 或 的三角函数值,常见解法是：先根据角 或的取值范围，确定 或 的取值范围;再根据已知的某个三角函数值和二 倍角公式，求得 或 的三角函数值. 28 【变式题】 2.(2025·湖南省衡阳县第一中学期末)已知，， ，则 ( ) A A. B. C.1 D. 【解析】因为，， ， 所以 ， 化简得 ， 解得或 ， 因为，，所以，所以 ， . 29 3 给值求角 例6 ［教材改编P72 T3］(2025·江西省南昌中学月考)已知, ,且 , ,则 ( ) C A. B.或 C. D.或或 30 【解析】,且 , , , , . ,且, , , 【明易错】若不由 , 的正负性，进一步缩小 的范围，而仅由 , 得,就会得到错误答案：-或或 又， . . . 31 解决给值求角问题的基本思路 给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，其求解关键在于 “变角”，注意选择一个适当的三角函数，并且根据题设确定所求角的范围，从而求 出角，而确定角的范围是至关重要的一步. 32 题型2 利用倍角公式化简与证明 1 利用倍角公式化简 例7 化简： （1）,其中 ; 【解析】 .（去根号时注意式子的符号） . . 33 ①当时，,则 , 此时原式 . ②当时，,则 , 此时原式 . 34 （2） . 【解析】 （从“角”入手，“倍角”变“单角”） 原式 . 35 （从“名”入手，异名化同名） 原式 . 36 （从“幂”入手，利用降幂公式降次） 原式 （从“形”入手，利用配方法，对二次项配方） 原式 . . 37 解第（1）小题的关键在于使被开方式变为完全平方式，以便去掉根号， 且在去根号时，要注意符号的选取.对于第（2）小题,观察式子可以发现：①涉及的 角有 , , , （可以利用倍角公式求解；②函数名称为正弦、余弦（可以利用 平方关系进行名称的统一）；③最高次数为2（有降次的可能）；④有平方项 （可以进行配方）.由于侧重角度不同，出发点不同，所以本小题的化简方法不止一种. 名师点评 在对三角函数式进行变形时，第（2）小题中的四种方法提供了四种变形 的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异及“形”的特征四个方面着手 研究.这也是研究其他三角问题时经常要用的变形方法.此外要熟知化简的要求. 38 【变式题】 3.若 ，化简： ________ , . 原式 . 39 2 利用倍角公式证明 例8 ［教材改编P70例2］ 求证： 且 , . 思路点拨 本题无论先化简等式哪一边，难度都相当，可考虑将同名三角函数归到 一边，再对两边分别进行化简. 【解析】由题知 ，故要证原式，只要证明 . 左边 ,右边 , 左边右边， 原式得证. 40 （1）不附加条件的三角恒等式的证明：三角恒等式的证明就是通过三角恒等式的变 换，消除三角恒等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一,证明的一般思路是 由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡. （2）附加条件的三角恒等式的证明：这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件， 或仔细探求所附加的条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法. 41 题型3 倍角知识与三角函数的综合 例9 求函数 的最小值，并判断 其单调性. 42 【解析】 . 因为，所以，所以，，当 ，即 时，取得最小值，最小值为 . 因为在，上是单调递增的，所以在， 上单调递减. 43 例10 (2025·北京市清华大学附属中学月考)已知函数 ，且满足的图象过点 ． （1）求函数 的解析式及最小正周期； 【解析】因为的图象过点 ， 所以，所以 ， 所以，最小正周期为 ． 44 （2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数 的取值范围． 【解析】由 ， 整理得 . 因为，所以 ， 由于在区间 上有两个不同解， 所以，，即， ． 45 【变式题】 4.(2025·山东省聊城第一中学期末) 设函数2的图象关于直线 对称，其中 , 为常数，且 . 46 （1）求函数 的最小正周期； 【答案】 . 由直线 是图象的一条对称轴，可得 所以 , 即 . 又,,所以,故 . 所以的最小正周期是 . 47 （2）若的图象经过点，求函数 的值域. 【答案】由的图象过点 ， 得 , 即 ， 故,函数的值域为 . 48 核心素养聚焦 考情揭秘 二倍角公式是三角恒等变换的重要工具，也是高考的必考点之一.考查内容主要涉及 利用二倍角公式进行化简、求值，且常与同角三角函数的基本关系以及三角函数的 图象、性质相结合进行综合命题.各种题型都会出现，试题难度中等. 核心素养：逻辑推理（以二倍角公式为依据研究三角函数的性质），数学运算 （求三角函数值）. 49 考向1 利用二倍角公式求值 例11（1）(2025· 全国二卷)已知 ,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 50 （2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 , ,则 , 故 , . 51 例12 (全国乙卷) ( ) D A. B. C. D. 【解析】 通解（公式法） 因为 ， （注意到 ，所以可灵活运用诱导公式转化目标问题） 所以 . 光速解（代值法） 因为， ，（熟记常见次特 殊角的三角函数值，可将问题简单化，有利于快速求解） 所以 . 52 考向2 以二倍角公式为工具考查三角函数的图象和性质 例13（1）(2022·北京)已知函数 ，则( ) C A.在上单调递减 B.在 上单调递增 C.在上单调递减 D.在 上单调递增 53 【解析】依题意可知 ， 对于A选项，因为，所以，函数 在 上单调递增，所以A选项不正确； 对于B选项，因为，所以，函数在 上 不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为，所以，函数在 上单调递 减，所以C选项正确； 对于D选项，因为，所以，函数在 上不单 调，所以D选项不正确.故选C. 54 （2）(全国Ⅰ卷)函数 的最小值为____. 【解析】 （要具有整体意识,套用二次函数性质），因为 ，所以当时，取得最小值， . . . 55 高考新题型专练 1.［多选题］在中，已知 ，则以下四个结论正确的是 ( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值为1 C.的取值范围是 D. 为定值 56 【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以，由，得 ，所 以 . 对于A，，当且仅当 时等号成立，故A正确； 57 对于B，，因为 ，所以 ，，所以 ，可得 ，故B错误； 对于C， ，因为 ，，，所以 ，故C 正确； 对于D， ，故D正确．故 选 ． 58 2.新考法 结构不良 (2025·北京师范大学第二附属中学月考)已知函数 ． 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 存在且唯一确定，并解答下面的 问题． ； 为偶函数； 的最大值为1； 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ． 59 （1）求 的解析式； 【答案】因为 ， 所以 , 显然 为奇函数，故②不能选. 若选择①③，即 的最大值为1， 所以，解得，所以 , 又，所以，即 ， ，解得 , ， 故 不能唯一确定，故舍去. 60 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得 ，所以 , 又 ， 所以，解得，所以 . 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以 ，解得 ， 所以 , 又 的最大值为1， 所以，解得，所以 . 61 （2）设，求函数在 上的单调递增区间． 【答案】由（1）可得 ， 令，，解得， ， 所以函数的单调递增区间为， ， 又 ， 所以在上的单调递增区间有和（0， ． 62 知识测评 04 建议时间:30分钟 1.(2025·广东省江门市新会第一中学期中)若，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】由,得，则 . 64 2.(2025·安徽省阜阳市期末)已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ,则 . 3.已知，则实数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由,得 . 65 4.函数 的最大值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】，因为 ，所 以当时，取得最大值，且 . 66 5.［多选题］ (2025·江苏省南京市临江高级中学期中)下列等式成立的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】A选项，由二倍角的余弦公式可知, ，故A 正确； B选项， ，故B不正确； C选项， ，故C正确； D选项，，解得，又 ，所以 ，故D正确.故选 . 67 6.［多选题］ 已知函数 ,则下列判断正确的是 ( ) AC A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于直线 对称 C.函数的图象关于点对称 D.函数的图象关于点 对称 【解析】 ，则 ，即函数的图象关于直线 对称，故A正确，D 错误； ，则函数的图象不关于直线 对称，故B错误； ，即的图象关于点对称，故C正确.故选 . 68 7.(2025·广西百色市开学考试)在中，，，分别是角，， 的对边，若 ，则 的形状是____________． 等腰三角形 【解析】在中， ， ， ，即，， ，故 为等腰三角形. 69 8.设函数 . （1）求函数 的最小正周期； 【答案】由已知得 ，故所求的最小 正周期 . （2）求函数在, 上的最大值. 【答案】 ， 因为，故当,即时，函数 取得最大值,最 大值为 . 70 高考模拟 05 建议时间:35分钟 9.新情境 黄金分割比 (2025·江苏省海门中学检测)被誉为“中国现代数学之父”的著名 数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应 用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成 ,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 , . 72 10.若，则 ( ) A A. B. C.0 D.2 【解析】, ， 由知，， , 原式 . 73 11.(2025·福建省福州市期末)已知方程 的两根为 ， ，且 ，，则 的值是( ) B A. B. C. D.或 【解析】由题意知 ，， ， ， ， . ， . 74 12.［多选题］已知，若，且 ，则下列选项中 与 的值恒相等的有( ) AD A. B. C. D. 【解析】， ， ， ， , , . 故选 . 75 13.(2025·北京市第二中学模拟)若,，则 _ ____, __. 【解析】因为，所以 ，所以 ，其 中,.所以 ，，所以 ， ，所以， .因为 ，所以 . 76 14.新考法 结构不良 ①角 的终边上有一点；②角 的终边与单位圆的交点 在第一象限且横坐标为； 为锐角且 ．在这三个条件中任选 一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答． 问题：已知角 的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，____．求 的值． 77 【答案】选条件①. 由题意可知, . 所以, . 所以 . 选条件②. 因为角 的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为 , 所以, . 所以, . 所以 . 78 选条件③. , 结合 为锐角，解得 , 所以, . 所以 . 79 15.新情境 赵爽弦图 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图10.2-1（1））是由四个 全等的直角三角形拼成的，四个全等的直角三角形也可拼成图10.2-1（2）所示的菱 形，已知弦图中大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图10.2-1（2）中菱 形的一个锐角的正弦值为___. 图10.2-1 80 【解析】由大正方形的面积为100，知大正方形的边长为10，由小正方形的面积为4， 知小正方形的边长为2.每个直角三角形的面积为 . 设弦图中一个直角三角形的较短直角边长为,则另一直角边长为 , 则有，解得 . 设小直角三角形中短边所对的角为 ， 则, ， 那么 . 故所求菱形的一个锐角的正弦值为 . 81 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 82 $