9.4 向量应用课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.4 向量应用 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量在平面几何中的应用 1 用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此,用向量解决平 面几何问题,就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题,将“证”转化为“算”,思路清 晰,便于操作. 6 2 向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段） 是否垂直等，常用向量垂直的条件： . （3）求夹角问题，利用夹角公式： , . （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| 或 . 7 3 向量法解决平面几何问题的“三步曲” 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件 翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新 的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论. 8 典例详解 图9.4-1 例1-1 如图9.4-1，已知，，是 的三条高，且交于 点，于，于.求证： . 点拨 要证明 ，由向量共线定理知，只需证明 . 【解析】, , . 设,则 . 同理 .（三角形相似） 于是， ,即 . 9 点评 在初中学习平面几何时，大家证明此题要用到平行四边形的性质和三角形全 等的判定定理，这里仅仅用到向量的加法运算及交换律.利用向量的运算证明一些几 何问题，比利用平面几何的“从图形的一个性质推出另一性质”简单多了. 10 知识点2 向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度 （加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问 题.具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最 后用来解释物理现象. 1 力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的 作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决 力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上． 11 2 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠 加也用到向量的合成． 3 向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实 质是向量的数量积. （1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即， .功 是一个实数，它可正，可负，也可为零. （2）动量涉及物体的质量，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数 乘运算． 12 典例详解 例2-2 某物体做斜抛运动，初速度，与水平方向成 角，不计空气 阻力，则该物体在水平方向上的速度是___ . 5 图9.4-2 【解析】设该物体在竖直方向上的速度为 ，水平方向上的速 度为，如图9.4-2所示， . 13 例2-3 (2025·重庆市渝北中学校期中)已知两个力，的夹角为 ，它们的合力 大小为，合力与的夹角为 ，那么 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图9.4-3，由于 ，的大小为． 图9.4-3 14 题型解析 03 题型1 用向量法解决平面几何中的相关问题 例4 已知直角梯形，，，过点作于， 为 的中点，用向量的方法证明： （1） ； 【解析】 ,, , ,即 . , , ,,即 . 16 （2），， 三点共线． 【解析】 连接,, , , , 又与有公共点，,, 三点共线. 连接， . 为的中点， , , . , . 又与有公共点，，， 三点共线． 17 图9.4-4 【解析】 由已知得四边形为正方形，设 , . 如图9.4-4，以为原点，所在直线为轴， 所在直 线为 轴建立平面直角坐标系，（在建立平面直角坐标系时，要 尽可能使更多的点落在坐标轴上，使更多的线与轴、 轴平行） 令 ， 则， ． ，且, 四边形 为正方形． 可求得各点的坐标分别为，，， ． . . . . . . . . . . 18 例5 如图9.4-5所示，四边形是正方形，是对角线上的一点，， 分别在 边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明： . 图9.4-5 19 图9.4-6 【解析】易知点，， 都不在端点处，建立如图9.4-6所示的平面 直角坐标系，设正方形的边长为1， ， 则，，， ， , , , , ， . 20 向量法解决平面几何问题的两种方法 用向量法解决平面几何问题,一般来说有两种方法： （1）基底法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底）,将题中涉 及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、 平行等问题转化为代数运算. 一般地,题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法. 21 【变式题】 1.已知中，为中线，求证： . 图D 9.4-1 【答案】以为坐标原点，所在的直线为 轴建立平面直角坐 标系，如图D 9.4-1所示，设,, ,则 . ,，从而 ，即 22 2.(2025·山东省临沂市模拟)在平行四边形中，， ， ，为边上一点，若，则线段 的长为( ) A A. B. C.3 D. 【解析】 （基底法） 如图D 9.4-2，因为为边 上一点，所以设 （过可作,交于点,则 ）. 因为 ， 所以 ,即 ，解得 ， . . 23 所以 . , 即线段的长为 . 图D 9.4-2 图D 9.4-3 24 （坐标法） 如图D 9.4-3，以点为坐标原点，直线为轴，过点 垂直 于的直线为 轴，建立平面直角坐标系. 因为，， ， 所以,, . 因为为边上一点，所以设 , 则,，又,所以,则 ,解得 ，所以 , 则, ， 即线段的长为 . 25 题型2 用向量解决物理中的相关问题 例6 (2025· 全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测 出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、 方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图9.4-7所 示（线段长度代表速度大小,单位: ）,则该时刻的真风为( ) 图9.4-7 级数 名称 风速大小（单位： ） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 A 26 图9.4-8 【解析】真风风速对应的向量 视风风速对应的向量-船行风 风速对应的向量视风风速对应的向量 船速对应的向量 ，如图9.4-8所示， . 名师点评 本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情 境，引入了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关 知识，考查学生应用数学知识和方法解决问题的能力. 图9.4-9 例7 如图9.4-9所示，一个物体受到同一平面内三个力，， 的作用，沿北偏东 的方向移动了，其中 ，方向为 北偏东 ；，方向为北偏东 ； ，方向为 北偏西 ，求合力 所做的功． 图9.4-10 【解析】以为原点，正东方向为 轴的正方向建立平面直角坐 标系，如图9.4-10所示，则， ， ， 所以 . 又位移,故合力 所做的功为 . 即合力所做的功为 . 28 名师点评 平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先 根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转 化为代数方程来计算.本例中建立平面直角坐标系，把向量作正交分解，这种方法在 力学中应用非常广泛. 29 【变式题】 3.(2025·四川省仪陇中学校开学考试)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个 人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作用在行李包上的两个拉力分别为 ，，且，与的夹角为 ，则下列结论中正确的是( ) C A. 越小越费力， 越大越省力 B. 的范围为， C.当时， D.当时， 【解析】如图D 9.4-4,根据题意依次分析选项： 对于A,由于,且，则有 ,即，又 为定值，故 越小越省力， 越大越费力，A错误； （【注意】因为,所以和 一定是关于图中虚线对称的，否则左右受力不 平衡） 30 图D 9.4-4 对于B,因为,所以，即， ,B错误； （也可以理解为和的夹角不能是 ，否则竖直方向没有力和 重力 平衡） 对于C,当时,有 ,则 ,C正确； 对于D,当时，有,则 ,D错误. 31 知识测评 04 建议时间:30分钟 1.一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到 处时，行 驶速度的大小为( ) D A. B. C. D. 图D 9.4-1 【解析】如图D 9.4-1所示，由平行四边形法则和解直角三角形的 知识，可得船行驶的速度大小为 . 33 2.［教材改编P43 T1］ 质点受到平面上的三个力,, 的作用而处于平衡状 态．已知,成 角，且,的大小分别为和，则 的大小为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得,，即, . 34 图9.4-1 3.新情境 体育锻炼 (2025·江苏省南通市如东县第一高级中学检测)体 育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上 运动，处于如图9.4-1所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为 ， 每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重单位： 约为 参考数据：重力加速度大小， ( ) A A.64 B.70 C.76 D.60 【解析】设两只胳膊的拉力分别为,，则, , , . , , 35 图9.4-2 4.[多选题] (2025·广东省广州市期中)如图9.4-2所示，小船被绳 子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小 船匀速靠岸过程中( ) AC A.船受到的拉力不断增大 B.船受到的拉力不断减小 C.船受到的浮力不断减小 D.船受到的浮力保持不变 【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为，与水平方向的夹角为 ， 则，故，因为 不断增大，所以 不断减小，故 不断 增大．因为 不断增大，且 加上浮力等于船的重力，所以船受到的 浮力不断减小．故选 . 36 5.高一学生将某物体用两根绳子悬挂起来，如图9.4-3，两根绳子与铅垂线的夹角分 别为 和 ，则拉力与 大小的比值为_ __. 图9.4-3 【解析】因为水平方向上的力大小相等，方向相反，所以 , 可得 . 37 6.如图9.4-4所示，在倾斜角为，高为的斜面上，质量为 的 物体沿斜面由最高处下滑到地面，则斜面对物体的支持力所做的功为___ ，重力 对物体所做的功为____ . 0 98 图9.4-4 【解析】物体的位移大小为,则支持力对物体 所做的功为 ; 重力对物体所做的功为 . 38 7.已知平行四边形的其中两条边长分别为3和5，一条对角线长为6，则另一条对角线 的长为_____. 图D 9.4-2 【解析】如图D 9.4-2所示，设平行四边形为 ，其中 ， ，所以 ， ， 所以，不妨令,则解得 ，即平 行四边形的另一条对角线的长为 . 39 8.（1）在梯形中,,,分别是,的中点, 证明: . 图D 9.4-3 【答案】如图D 9.4-3所示,设且，则 , 所以与共线，又与无公共点，所以 . 40 图9.4-5 （2）如图9.4-5所示，若是 内的一点，且 ,求证： . 【答案】设,,,, , 则, ， 即 . 由已知可得 , 所以，即 . 因为,所以 ， 所以,即 . 41 高考模拟 05 建议时间:35分钟 9.(2025·山西省阳高县第四中学月考)在河水的流速大小为 的情况下，当航程最 短时，一艘小船以 的实际航速大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以表示水流速度，表示船在静水中的速度， 表示船行速度，由题意 知,, , , , . 故小船在静水中的速度大小为 . 43 10.(2025·四川省眉山市期中)在内，使的值最小的点 是 的( ) D A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 44 【解析】 设,, , 则, , . 为常数， 当，即，即点为的重心时， 最小. 45 设为平面内任意一点，连接,,, , 令,,,,则 . 同理可得, . . 是常数， 当时，最小，此时点为 的重心. 46 11.[多选题] 一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力 的大小 为，另一力 未知，则( ) ACD A.当该物体处于平衡状态时， B.当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为时， D.当时， 47 【解析】对于A，当该物体处于平衡状态时， ， 选项A正确； 对于B，当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为 ，选项B错误； 对于C，当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以 ,选项C正确； 对于D，当时，因为与的合力大小为 ，所以 ，选项D正确． 48 图9.4-6 12.如图9.4-6，在矩形中，,, ,垂足为 ,则 _ ___. 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建立 平面直角坐标系（图略），则，，，， , 设，则点的坐标为 , 故 . 因为，所以，即,解得 ， 所以，.故，则 ， 即 . 49 13.在等腰三角形中，和是两腰上的中线，且,则顶角 的余弦值为_ _. 图D 9.4-4 【解析】建立如图D 9.4-4所示的平面直角坐标系，设 ， ，则,,, . 和分别为, 上的中线， , , 又, , 即, . . 即顶角的余弦值为 . 50 图9.4-7 14.(2025·江苏省沭阳高级中学调研)如图 9.4-7，已知某河流 河水自西向东流速为 ，设某人在静水中游泳的速 度为，在流水中实际速度为 ． 图D 9.4-5 【答案】如图D 9.4-5，设,, , 则由题意知, , 根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形. 51 （1）若此人朝正南方向游去，且 ，求他实际前进方向与水流方向的夹 角 和 的大小； 图D 9.4-6 【答案】由此人朝正南方向游去得四边形 为矩形，且 ，如图D 9.4-6所示， 则在直角三角形中， . 因为,且,所以 . 故他实际前进方向与水流方向的夹角 为,的大小为 . 52 （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且 ，求他游泳的方向与水流 方向的夹角 和 的大小． 【答案】由题意知,且, ,如图D 9.4-7所示， 图D 9.4-7 53 则在直角三角形中， . 因为,且,所以,则 . 故他游泳的方向与水流方向的夹角 为，的大小为 . 54 15.(2025·湖北省武汉市华师一附中期中)如图9.4-8，在梯形中， ， ,，，分别为，的中点，且，是线段 上的一个动点． 图9.4-8 55 （1）求 ； 图D 9.4-8 【答案】如图D 9.4-8，建立以为原点，为 轴正半 轴，为轴正半轴的平面直角坐标系，则 ， . 设，则，， ， ， ， 由，得 ， 即 ， 又，， . 56 （2）求 ； 【答案】由（1）知，，， ， ， 又为锐角， . （3）求 的取值范围． 【答案】设 ， ， ， ， ， ， 又， . 57 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 58 $