精品解析：黑龙江鸡西市实验中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2025－2026学年高一下学期开学考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 4. 关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系满足（ ） A. B. C. D. 6. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，的零点分别为，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 满足的点有且只有一个 B. 满足的点有两个 C. 存在最小值 D. 不存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为________. 13. 已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. 14. 大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师平均年龄为_____，方差为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解不等式. 注：本题中涉及的复合函数的单调性无需证明，只需说明单调性即可. 17. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若最小值为，求． 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一下学期开学考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可. 【详解】，，． 故选：D． 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义与角的定义即可得解. 【详解】根据三角函数的定义可知， ，，故C错误，BD正确； 从而可得，则，故A正确. 故选：C. 4. 关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即可求解． 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 5. 设，则的大小关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 6. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 7. 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，， 且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则， 且， 可得，， 则，故A错误； 且，故B错误； 故选：D. 8. 设函数，的零点分别为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出、、的图像，即可得，于是有，由对数的运算及对数函数的性质即可求得答案. 【详解】解：由题意可得是函数的图像和的图像的交点的横坐标，是的图像和函数的图像的交点的横坐标，且都是正实数，如图所示： 故有，故， ∴， ∴，∴. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用终边相同角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D． 【详解】对于A：因为，所以与的终边相同，故A正确； 对于B：取，则为第二象限角，但为第三象限角，故B错误； 对于C：终边经过点的角的集合是，故C正确； 对于D：设扇形的半径为，则由题意得， 所以扇形的面积为，故D正确． 故选：ACD． 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 满足的点有且只有一个 B. 满足的点有两个 C. 存在最小值 D. 不存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以，， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以； ②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在（不含点C）上时，，且， 所以，即，所以； ④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于A，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误， 对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确， 对于CD，由①②③④可得： 当，即点为点时，取到最小值0； 当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误， 故选：BC. 【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，确定由函数复合而成，根据复合函数的单调性的求解方法，即可求得答案. 【详解】由于，令，得， 即函数定义域为， 由于由函数复合而成， 且在上单调递增， 故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间， 的单调递减区间为， 故函数的单调递减区间为， 故答案为： 13. 已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得当时，有两个实数解，将问题转化为当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得：，. 当时，， 方程恰好有一个实数解，即方程在上恰有一个实数解， 解得：，. 因为方程只有一个解，所以需满足：, 所以. 14. 大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 ①. 33岁 ②. 10 【解析】 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角关系式可得，然后结合条件即得； （2）根据同角关系式可得，进而即得. 【小问1详解】 ∵， ∴，又∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴． 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解不等式. 注：本题中涉及的复合函数的单调性无需证明，只需说明单调性即可. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据奇函数的定义判断即可. （2）结合函数的奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 是奇函数. 证明：由于恒成立，恒成立， 故的定义域为， 又 ， 所以是奇函数. 【小问2详解】 等价于， 因为为奇函数，故， 所以只需证即可. 当时，，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在上单调递增， 所以，即，故， 又在定义域内单调递增， 所以，解得，所以不等式解集为. 17. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 【答案】（1）最小值，；最大值为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，，则， 的图象对称轴为，开口向上， 所以当时，即时，取得最小值，最小值为， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时. 【小问2详解】 因为 的最小值为， 所以，且,所以， 又，所以. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答. (2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答. (3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答. 【小问1详解】 假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有， 即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域， 而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R， 所以函数不是 “自均值函数”. 【小问2详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，值域是，因此在的值域包含， 当时，而，则， 若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意， 于是得，，要在的值域包含， 则在的最小值小于等于0，又时，递减，且， 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值， 当时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求， 当时，函数的对称轴为， 当，即时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则， 当，即时，，，，， 由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求， 由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时； 综上得：或， 所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $