平面向量概念与运算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量的概念和平面向量的运算专项训练 题型一 平面向量的概念 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【解析】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 【答案】BD 【解题思路】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【解析】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 故选：BD 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【解题思路】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【解析】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【答案】②④ 【解题思路】根据向量的定义结合温度没有方向判断命题①，根据作用力与反作用力的关系判断命题②，根据向量定义可得向量不能比较大小，判断命题③，根据向量的定义判断命题④. 【解析】对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误； 对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确； 对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误； 对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④． 故答案为：②④. 题型二 平面向量加法运算 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【解析】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 6．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【解析】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【解析】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 8．（2026高一·全国·专题练习）化简______． 【答案】 【解题思路】利用向量的加法法则化简即得. 【解析】. 故答案为：. 题型三 平面向量减法运算 9．（25-26高一上·安徽·期末）（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【解析】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平行四边形法则逐项计算平面向量的线性运算问题. 【解析】取线段的中点分别为点，如图， 对于A，， 很显然，不一定为，所以不一定为，所以A错误； 对于B，， 因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 因为，所以，D正确. 故选：D. 11．（2026高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2). 【答案】(1). (2) 【解题思路】（1）（2）利用向量减法法则化简即得. 【解析】（1） . （2）. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据向量加减法运算法则计算即可. 【解析】（1）原式 . （2） . 题型四 平面向量数乘运算（含共线问题） 13．（河南许昌市2026届高三下学期质量检测数学试题）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 14．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用共线定理即可求解. 【解析】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 15．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【解析】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 16．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解题思路】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【解析】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据向量加法、数乘向量的运算律化简即可. 【解析】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 题型五 平面向量线性运算 18．（24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基底表示即可求出. 【解析】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 19．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【解析】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 20．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 21．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D在线段上，，设，．用和表示向量，． 【答案】， 【解题思路】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得. 【解析】依题意，点A是的中点，则，因此， 由点在线段上，，得， 所以． 题型六 利用共线问题求参 22．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可. 【解析】 A、P、E三点共线，设，且， 又，所以，，即． 23．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【解析】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 24．（2026高一·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 【答案】 【解题思路】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【解析】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 25．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【答案】 【解题思路】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【解析】由可得，即， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 26．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【解题思路】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【解析】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 27．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解题思路】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【解析】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 题型七 平面向量基底问题 28．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【解析】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底； 29．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解析】对于选项A，因为，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确， 对于选项B，因为，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确， 对于选项C，，则与共线， 所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确， 对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线， 所以能作为平面向量的基底，故选项D错误， 故选：ABC. 30．（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【解题思路】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 题型八 平面向量坐标运算 31．（2026·吉林通化·模拟预测）已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求，结合平面向量的坐标运算求解即可. 【解析】因为点，，，则，， 可得，所以点P的坐标为． 32．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【解析】由图可得， 所以，则. 故选：C 33．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据题意，利用平面向量的坐标运算法则，以及向量共线的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【解析】对于A，设向量，因为由向量， 可得，即，解得， 所以，所以A正确； 对于B，由A知，所以，所以B不正确； 对于C，由B知，可得，所以，所以C正确； 对于D，由A知，可得，所以，所以D正确. 34．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 【答案】 【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标进行计算即可. 【解析】已知向量，， 所以. 故答案为：. 35．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，和，试用坐标来表示和． 【答案】， 【解题思路】根据向量的坐标运算即可求解. 【解析】由题意得，，， 题型九 平面向量坐标求平行问题 36．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 37．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【解析】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 38．（2026·新疆·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解析】因为，则向量，， 又因为，所以，解得. 39．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 40．（2026高一·全国·专题练习）已知，，若，则实数_________． 【答案】 【解题思路】根据平面向量的坐标运算得的坐标，再根据平行向量的坐标关系列方程求解实数的值即可. 【解析】因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 41．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知向量，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念和平面向量的运算专项训练 题型一 平面向量的概念 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 题型二 平面向量加法运算 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）化简______． 题型三 平面向量减法运算 9．（25-26高一上·安徽·期末）（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2). 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2). 题型四 平面向量数乘运算（含共线问题） 13．（河南许昌市2026届高三下学期质量检测数学试题）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 14．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 16．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 平面向量线性运算 18．（24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D在线段上，，设，．用和表示向量，． 题型六 利用共线问题求参 22．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 23．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 25．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 26．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 27．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 题型七 平面向量基底问题 28．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型八 平面向量坐标运算 31．（2026·吉林通化·模拟预测）已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 35．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，和，试用坐标来表示和． 题型九 平面向量坐标求平行问题 36．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 37．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 38．（2026·新疆·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 40．（2026高一·全国·专题练习）已知，，若，则实数_________． 41．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知向量，且，则的值为__________. 2 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $