6.1.3 相等向量与共线向量 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1.3　相等向量与共线向量 1.下列量中是向量的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.课桌的高度 B.一段路程的公里数 C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 2.[2025·洛阳高一期中] 下列结论正确的是 (　 ) A.若a与b都是单位向量,则a=b B.方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量 C.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D.若a与b是平行向量,则a=b 3.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则图中所示的向量中与平行的有 (　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.[2025·湖北云学名校联盟高一联考] 已知非零向量与共线,下列说法正确的是 (　 ) A.与共线 B.与不共线 C.若||=||,则= D.若||=1,则是一个单位向量 5.如图,在单位圆O中,向量,,是 (　 ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等向量 6.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列结论一定成立的是 (　 ) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.与共线 7.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　.  8.在四边形ABCD中,若=,则四边形ABCD是　　　　　　.  9.(13分)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,分别指出图中: (1)与向量相等的向量; (2)与向量平行的向量; (3)与向量模相等的向量; (4)与向量模相等、方向相反的向量. 10.一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,如果记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么s-|a|= (　 ) A.800 km B.700 km C.600 km D.500 km 11.(多选题)已知a为非零向量,集合A={b|b是与a共线的向量},B={b|b是与a长度相等的向量},C={b|b是与a长度相等且方向相反的向量},则下列关系正确的是 (　 ) A.A∩B={a} B.C⊆A C.C⊆B D.{a}⊆A∩B 12.在如图(小正方形的边长为1)所示的向量a,b,c,d,e中,找出存在下列关系的向量: ①共线向量:　　　　　　;  ②方向相反的向量:　　　　　　;  ③模相等的向量:　　　　　　.  13.[2025·贵州黔南州高一阶段练] 某人在平面上从A点出发向西行走了60 m到达B点,然后改变方向,向西偏北60°方向行走了120 m到达C点,最后又改变方向,向东行走了60 m到达D点,则||=　　　　m.  14.(15分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点. (1)写出与向量共线的向量; (2)求证:=. 15.已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是　　　　.  16.(15分)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针转变α,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去. (1)作示意图说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量; (2)按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件? 　　　　　　第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 6.1.1　向量的实际背景与概念 6.1.2　向量的几何表示 6.1.3　相等向量与共线向量 1.D　[解析] 因为向量是既有大小,又有方向的量,而高度、公里数、频率只有大小,没有方向,弹力既有大小,又有方向,所以弹力是向量.故选D. 2.B　[解析] 对于A,由于单位向量只是模相等,但方向任意,故a=b不一定成立,故A错误;对于B,如图,记方向为南偏西60°的向量为,方向为北偏东60°的向量为,显然它们是方向相反的向量,即为共线向量,故B正确;对于C,直角坐标系中,x轴、y轴有方向,但无大小,与向量的概念不符,故C错误;对于D,若a与b是平行向量,也有可能方向相反,故a=b不一定成立,故D错误.故选B. 3.C　[解析] 与平行的向量有,,,共3个. 4.D　[解析] 当A,B,C,D四点在一条直线上时,与共线,否则与可能不共线,所以A,B选项错误;若||=||,无法确定向量方向,不能确定向量相等,C选项错误;根据单位向量定义可知,若||=1,则是一个单位向量,D选项正确.故选D. 5.C　[解析] 对于A,由图可知,,的起点为O,的起点为A,故A错误;对于B,共线向量是方向相同或相反的非零向量,显然,,不是共线向量,故B错误;对于C,||=||=||=1,故C正确;对于D,,,的方向不同,所以,,不是相等向量,故D错误.故选C. 6.ABD　[解析] ∵三个四边形是全等的菱形,∴||=||,AB∥CD∥FH,故与共线,又D,C,E三点共线,∴与共线,∴A,B,D中的结论一定成立.故选ABD. 7.0　[解析] 因为向量m与向量是平行向量,所以向量m与向量方向相同或相反.因为向量m与是共线向量,所以向量m与向量方向相同或相反.又由A,B,C是不共线的三点,可知向量与向量不共线,则m=0. 8.平行四边形　[解析] 在四边形ABCD中,若=,则一组对边平行且相等,则四边形ABCD是平行四边形. 9.解:∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点, ∴AC=2EF=2HG,BD=2HE=2FG,AC∥EF∥HG,BD∥HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形. (1)与向量相等的向量是. (2)与向量平行的向量是,,,,. (3)与向量模相等的向量是,,. (4)与向量模相等、方向相反的向量是,. 10.A　[解析] 因为一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,所以飞机飞行的路程s=400+500=900(km),位移为向东100 km,所以|a|=100 km,所以s-|a|=900-100=800(km).故选A. 11.BCD　[解析] 对于A, 与a共线且与a长度相等的向量为a,-a,则A∩B={a,-a},故A错误;对于B,C, 与a长度相等且方向相反的向量为-a,则C⊆A,C⊆B,故B,C正确;对于D,由A∩B={a,-a},可得{a}⊆A∩B,故D正确.故选BCD. 12.a与d,b与e　a与d,b与e　a,c,d　[解析] 观察图形,a∥d,b∥e,因此a与d是共线向量,并且方向相反,b与e是共线向量,并且方向相反.显然|a|=,|c|=,|d|=,因此a,c,d的模相等. 13.120　[解析] 某人从点A出发,经过B点,到达C点,最后停在D点,作出路径图如图所示,易知||=||=60 m,||=120 m,又在四边形ABCD中,=,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=120 m. 14.解:(1)因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点, 所以CE∥AF,CE=AF, 所以四边形AFCE为平行四边形,所以CF∥AE. 所以与向量共线的向量为,,. (2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC. 因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形, 所以BE=FD,BE∥FD,故=. 15.π　[解析] 由=可知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||,可知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形.菱形ABCD的内切圆圆心为BD的中点,设内切圆的半径为r,则r=||sin 60°=,所以内切圆的面积S=πr2=π. 16.解:(1)如图所示,操作8次后赛车的位移为零向量. (2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正n边形,故有n(180°-α)=(n-2)180°,得α=,n为不小于3的整数. 学科网（北京）股份有限公司 $