湖北省沙市中学2026届高三下学期3月集中独立训练数学试题

沙市中学高三年级3月集中独立训练 数学试题 2026.3.12 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={xlog,(x-1)≤2}，则集合A∩B的子集个数为 A.32 B.16 C.8 D.4 2.若复数z满足(1-i)F=3-2i,则z的虚部为 B.5 1 C. D. 3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，+∞)上单调递增，且对任意x,x,均 有f(xx)=∫（化f()成立，则下列函数中符合条件的是 A.y=Ix B.y=x3 C.y=2 D.y=冈 4.已知a,b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+26在向量a上的投影向量为2a, 则2= A.-2 B.2 c.-2W3 D.25 3 3 5.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外 心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,在△ABC中， AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线与圆(x-3)2+y2=r2相切，则 该圆的半径”为 A.1 B.√5 C.2 D.22 6.已知函数f(x)= tan0-tan(x+0) 是 ππ 上的奇函数，则tan日= 1-2tan(x+8) 2024'2024 A.2 B.-2 C. 2 数学试卷第1页（共4页） 7.设N为正整数，在平面直角坐标系xOy中，若Cx2+Cy2=l(0≤m≤N,0≤n≤N, 且m,n∈Z)恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为 A.12 B.8 C.7 D.5 8.已知a,a2,a,a4成等比数列，且4=2，e9+ot,+o=4+a,+g,则 A.a<a B.a<a C.a,-a; D.aa 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园 林建筑中的八角窗.它们均可抽象为正八边形ABCDEFGH,如图3，O为其中心.记 OA=a,OB=b,且0A=2,则 图1 图2 图3 A. a.B=22 B.EA=a-b c.0元=√b-d D.A在OC上的投影向量为巨OC 2 10.对任意有序正实数对a,b),若存在过点P(1,1)的直线与双曲线C:-少 a2-2 =1交于A,B 两点，且P为线段AB的中点，则称该数对（α，b)为有效数对，否则称为无效数对，则 下列数对中是有效数对的有 A.(2,1) B.(4,4) C.(1,2) p.9 11.己知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点， 经过直线CO的平面与侧棱PB,PD分别交于点MN设PM=2PB,PN=PD,则 A.2=u时，AB∥平面CMN B.元=时，u=1 C.四面体PQBC的体积为3 D.四棱锥P-MCNQ体积的最小值为4 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若x1,x,,x3的方差为4，则2(1-2)，2(x2-2),…,2m-2)的方差为 13.已知△4BC的面积为1，ta4=,tmB=-2,则4B= 14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶 点的三角形称为这条弦的衍生三角形.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 y=X+t与抛物线y=x2交于A,B两点，弦AB的衍生三角形是△ABC.记△ABC为弦 AB的一阶衍生三角形；弦AC,BC的衍生三角形为弦AB的 二阶衍生三角形；弦AD,DC,CE,EB的衍生三角形为弦AB C E 的三阶衍生三角形：…，由此进行下去，记所有的弦AB的 k(k∈N)阶衍生三角形的面积之和为S,若对任意neN, 三8<36，则正整数的最大伯为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.(13分) 设8，为数列a)的前n项和，已知%=4=20，且{得}为等差数列。 (1)求证：数列{an}为等差数列： (2)者数列满足车6，且会。，设虹，为数列的前m顾和，架合 M={TTe},求M(用列举法表示). 16.(15分) 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节，每次信号只发送0和1中的 某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，己知发送信号0时， 接收为0和1的概率分别为a(0<a<1),1-a;发送信号1时，接收为1和0的概率分别 为B(0<B<1),1-B.假设每次信号的传输相互独立。 (1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率 为f(a),求f(a)的最小值； (2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1x2x,x4, 记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(x,x2x3x4中任意相邻的数字均 不相同时，令X1,若B子求x的分布列和数学期望， 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆C:+父-1,0为坐标原点，点4，B分别在直线y=5x与)=-5x上， 8 2 2 2 P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形OAPB (1)求AB的值； (2)求平行四边形OAPB面积的最大值. 18.(17分) 如图1，圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，且∠BCD=90°，AB=V6, AD=√5 B 图1 图2 (1)求AC的长： (2)如图2，将△ABD沿BD翻折，形成四面体ABCD,当AC=√6时， (i)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值： (ii)找出一组依次排列的四个相互平行的平面，02,0，u4使得A∈a,DE42, C∈a3,B∈a4,且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离. 19.(17分) 已知ab是实数，函数fN)=e+r- ,其中e是自然对数的底数. 2 (1)当a=1时，讨论f(x)的单调区间； (2)若对任意的b<-√E,f(x)均有极小值点x,且f(xo)<0,求实数a的取值范围； (3)若方程f)=有两个根x,x,k,<),当匹-，取最小值时，求的值. 2 数学试卷第4页（共4页） 高三年级3月练习数学试题参考答案与评分细则 1 2 3 只 6 8 9 10 C C D A B B C D ACD AD 11 BCD 12.16 13.5 14.8 7.【详解】根据题意，Cx2+Cy2=1为椭圆，则C%≠Cw, 从N+1个数Cw,Cw,Cw,Cw,中选两个不同的数作为系数， 当W为偶数时，去掉重复的数有)+1个数C,CCC%, 则任取两个数的排列数为A二 N(N+2个， 4 +个数C.CCCF, +1 当N为奇数时，去掉重复的数有 取两个数的排列数为A5小-个 由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程， 则当N为得数时，YV+2习=12，得-6：当V为府数时，-2，得N=7,所以C正稳 4 8.【详解】设等比数列的公比为9， 则eto恤a=4+4,+4,→e2+24+2g+29=2+2q+2g→2+2q+2g2+2g2=血(2+2g+2g2）月 设f)=20+x+2+x)-血(20+x+》,则了(=20+2x+3) 2(1+2x) 2(1+x+x2） 21+2x+3x2)(1+x+x2）-(1+2x)_6x+10x3+12x2+4x+1(1+2x+2x2)1+2x+3x2)+3x2 1+x+x2 1+x+x2 1+x+x2 因为xx1(子0,22x12分0 :+2+13x++0,3x2≥0，所以/心>0在R上恒成立所以函数)在R上单调递皇 又f(-1)=2(1-1+1-1)-n2(1-1+1)=-2<0,f(0)=2-ln2>0. 所以函数f(x)只有1个零点，且该零点在(-1,0).所以公比-1<q<0. 因为a=2,4=2q<0,所以4>4，故A错误； 因为4，=2g2>0,又-1<q<0,所以g2<1,所以4>a,故B错误； 因为a<0,a>0,所以a,<4,故C错误： 因为4=2q3<0,且4-42=2q(q-1),由-1<q<0,g2<1,所以a4-a2>0,所以a4>42,故D正确. 11.【详解】由题可知C是平面CMN和平面ABCD的交点， 当1=u时PM-Pw 寸PBPD,所以N1IBD,又Nc平面CN,BD在平面CN外， 所以BD/I平面CMN,若AB∥平面CMN, 则由ABOBD=B、AB,BDC平面ABCD得平面CMNI/平面ABCD, 则平面CMN与平面ABCD无交点，与C是平面CMN和平面ABCD的交点矛盾，故A错误： A=时.m-P丽.因为Q为PA的中点，所以QM, 2 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB/CD,则OM11CD, 又因为OMC平面CMN、C∈平面CMN,则CDc平面CMN, 所以D是平面CMN与四棱锥P-ABCD的棱PD的交点， 所以D与N重合，即PV=PD,所以4=1，故B正确： 因为Q为PA的中点，所以点P和点A到平面BQC距离相等， 所以面体P08c的体积为g-产分o-2=3. 1 22 所以四面体PQBC的体积为3，故C正确： 由题意可得PC-PA+AC=PA+AB+AD=PA+(PB-PA+(PD-PA PB+PD-PA=I PM+-PN-2P0, 因内CM心Q头霜，所以宁身女：1回克六3 设点P到平面ABCD的距离为d,则？Sd=12, 因为Pm=PB,然=》， 所以点M到平面ABCD的距离为(1-2)d,点N到平面ABCD的距离为(1-D)d, 所以s-e-2小加-名-小=60-刃.a8o-wd-名8a-小d=6-川， 所以M-Ae+'xAc=6(1-2)+6(1-)=12-6(2+四， 因为Q为PA的中点，所以点A和点P到平面CMN的距离相等， 所以VA-cwow=Y-cwQw, 2 所以四棱锥P-MCN0的体积为12-V-4@=6-8©+4=6-12-6(2+四-3(a+四 2 2 2 =以+位月}2+经名2+3险品4，当且议当分及即=时等号成立. 所以四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4，故D正确. 14.【详解】将F=x+代入y=,得到2=x,即-K-1=0:△=1+4>0,1>子 X,=-,则-=V化+x)-45=+, xA+XB=1 设 ))o.y @-“-2 2 4 4 4 8=e=2-l=-, k+广-4-+在，8 8=8*gf-含+-对 这说明弦AB的k(k∈N)阶衍生三角形都可以生成k+I阶中的两个衍生三角形，且后者的面积之和是 前者面积的寻，故数列{S,}是以8为首项，以q=4为公比的等比数列， 1-q 1- 4 对任意neN,S<36, ≤36，(N1+4≤(3x2)3, 4 1+4f≤6,1+4≤36，t≤35， 41 35 4’心正整数t的最大值为8. 故答案为：8 3 15.(13分) (1)设等差数列 s) 公差为d,则S=8+3d,即+3d=5,① 41 因为S,=4+4=8+4,所以由g=+d,得S+2d=4.② 21 由0、②解得3=2d=l,所以S=n+1,即3.=n0n+1), n 当n≥2时，a.=Sn-Sn1=n(n+l)-(n-l)n=2n, …4分 当n=1时，a=S,=2,上式也成立，所以a=2nn∈N), 5分 所以数列{a}是等差数列. .6分 2n n (2)由(1)可知 b.a+22n+4n+2' b及=0-x"2× 当n之2时，b,=b:6 1 12 ×…××6= n+17n 3 n(n+1) 9分 x--居-22品 11分 因为当12∈N时，n=12,35,11,所以M=6.89,10,11 。。。。 ......13分 n+1 16.(15分) 0由愿可知f@)=公+0-心=3汝-如+13a+星 因为0<a<1,所以当a-时，f@)的最小值为 .5分 (2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4. ①当x=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010. 21.2.1.12.128 因此，P(X=1)=二×5×二×+ 3333333381 ②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110， 或1100，或0011 因此，P(X=2)= 819 ③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000. 因此，P(X=3)= 3 3 3*3)x2=20 81 国产x=4时，应次接收到的片号数字流庆为0，或1.风此，P(x=小=付+写)- ...13分（每种情况2分) 所以X的分布列为 1 X 8 又 20 17 81 81 81 因此，X的数学期望B(x)=1×8+2×4+3 ,2 +4x17-208 81 9 8 8181 .15分 17.(15分) （1)因为点4B分别在直线=5x与y=- 设P(飞，)，则云+=1.因为四边形OAPB是平行四边形，所以OA=BP 8 2 所以x+为=x,x-x,=2y (2)因为点4，B分别在直线)=5x与y=-5x 上 2 2 设直线o1的倾斜角为a,则tana-2 ,∠AOB=2 2 tan2a= 2tang =25, 1-tan'a in2-2N2.cos2a=3即sm∠AOB=,cos∠AoB=1 3 3 3 所以平行四边形0APB的面积为S4=1Q4OBl22 10分 在△OAB中，设OA=a,|OB=bIAB=a2+b2-2ab-cos∠A0B≥2ab-2b. 所以ab≤3，当且仅当a=b时等号成立 所以平行四边形04PB的面积为S=b.25≤3.25-25， 3 3 当且仅当a=b时等号成立，所以平行四边形OAPB的面积的最大值为22.15分 5 18.(17分) (1)方法一：在圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，所以∠BAD=90°， 在Rt△ABD中，因为AB=√6，AD=√2， 所以∠ABD=30°，BD=√AB2+AD=√6+2=2√2，所以BC=CD=2. 在△4BC中，cos∠ABC=cs(∠ABD+∠CBD)=c0s(30+45)=6-2 4 由余弦定理得4CA+BC-2B-C0A0C-6+4-2×N6×2x6:5-4+25=5+1 所以AC=3+1. 5分 方法二；在圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°， 所以BD是圆的直径，∠BAD=90°， 在Rt△ABD中，AB=√6，AD=√2， 所以BD=VAB2+AD2=√6+2=2√2，∠ABD=30°，∠ADB=60°， si血∠ABC=sim(∠ABD+∠CBD)=sim(30+45)=V6+2 4 由正弦定理得 sin /ABC"sin.∠BCA'又∠BCA=∠ADB=60, AC AB 故4C-4Bm<A8C:6x6+5x2-5+1 sin∠BCA 4 5分 (2)方法一g以BD的中点O为原点，以OB,OC方向为x,y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系0-z,则B(N2,0,0),C(0,√2,0，D(-√2,0,0 6分 (i)设A(x,y,),由(1)可知，AB=√6，AD=√2，又因为AC=√6， （x-2)°+y2+z2=6 月以+-回+=6解得x=9y=车=1即A 2 -2’-2 (+2)+y2+2=2, 则AD= 22 22义 .8分 取平面BCD的一个法向量n=(O,0,1),设直线AD与平面BCD所成角为8，