湖北华中师范大学第一附属中学2026届高三年级下学期二月集中独立作业数学试题

高三年级二月集中独立作业数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（ ） A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 4. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 5. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作，在中，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知焦点分别在轴上的两个椭圆，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆的离心率分别是，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（ ） A. B. C. 可以等于 D. 10. 已知直线和为函数（）图象上两条相邻的对称轴．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则图象可以由图象向左平移个单位得到 D. 若，则在区间上的值域为 11. 在平面直角坐标系中，曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为__________. 13. 已知，是非零向量，是单位向量，且，，则的最小值是_____. 14. 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同． （1）若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率； （2）若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率． 16. 如图，为平面内两定点，点在线段上，点是以为圆心的单位圆上的动点，线段与圆交于，． （1）若，求； （2）当面积最大时，求的长． 17. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 18. 已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （1）求的曲线方程； （2）求证：直线经过定点，并求出点的坐标； （3）设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 给出如下定义：已知两个函数和，集合为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对于任意的，都有，则称函数为和在集合上的一个“隔离函数”. （1）若，且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”，请作出判断并证明你的结论； （2）若，且是和在上的“隔离函数”，求实数的取值范围； （3）若（其中），，其中是与在上的“隔离函数”，证明：. 高三年级二月集中独立作业数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 16 ②. 86 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）0 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 直线过定点． 已知直线的斜率为，直线的斜率为且，设的斜率为． 点在圆上，为直径，，即， ． 点在双曲线上，设，所以， ，即，，三点共线． 直线过定点，得证． （3） 设，，则． 直线，直线． 联立、整理得， 即， 即， 即． 设直线，则， 代入得 ， 联立，消去整理得， 所以， 代入． 点的轨迹是定直线． 要使的面积为定值， 点为过点与轴平行的直线与两条渐近线的交点， 又双曲线的渐近线方程为， 由，解得或，所以或． 【19题答案】 【答案】（1） 函数为和在集合上的一个“隔离函数”， 证明如下：设，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，当且仅当时等号成立； 设，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，当且仅当时等号成立. 综上所述，对于任意的，都有， 则函数为和在集合.上的一个“隔离函数”. （2） （3） 因为是和在上的“隔离函数”， 则对于任意的，都有. 当时，由，则， 即， 则， 设， 则， 又，则，，，， 则， 所以函数在上单调递减，又，， 则， 设不等式的解集为， 则， 则； 当时，， 由于，则，则，， 则，因此， 因为，所以； 则时，都有， 由于，都为偶函数， 因此当时，成立. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $